Q -funktion - Q-function

I statistiken , den Q-funktionen är den svans fördelningsfunktionen av standardnormalfördelning . Med andra ord är sannolikheten att en normal (gaussisk) slumpmässig variabel kommer att få ett värde som är större än standardavvikelser. På motsvarande sätt är sannolikheten att en vanlig normal slumpmässig variabel tar ett värde större än . ${\ displaystyle Q (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle Q (x)}$${\ displaystyle x}$

Om är en gaussisk slumpmässig variabel med medelvärde och varians , då är standard normal och ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ sigma ^{2}}$${\ displaystyle X = {\ frac {Y- \ mu} {\ sigma}}}$

${\ displaystyle P (Y> y) = P (X> x) = Q (x)}$

var . ${\ displaystyle x = {\ frac {y- \ mu} {\ sigma}}}$

Andra definitioner av Q -funktionen, som alla är enkla transformationer av den normala kumulativa fördelningsfunktionen , används också ibland.

På grund av dess relation till den kumulativa fördelningsfunktionen för normalfördelningen kan Q -funktionen också uttryckas i termer av felfunktionen , som är en viktig funktion i tillämpad matematik och fysik.

Definition och grundläggande egenskaper

Formellt definieras Q -funktionen som

${\ displaystyle Q (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {x}^{\ infty} \ exp \ left (-{\ frac {u^{2} } {2}} \ höger) \, du.}$

Således,

${\ displaystyle Q (x) = 1-Q (-x) = 1- \ Phi (x) \, \ !,}$

var är den kumulativa fördelningsfunktionen för den normala normala gaussiska fördelningen . ${\ displaystyle \ Phi (x)}$

Den Q -funktion kan uttryckas i termer av felfunktionen eller komplementära felfunktionen, som

${\ displaystyle {\ begin {align} Q (x) & = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {x/{ \ sqrt {2}}}^{\ infty} \ exp \ vänster (-t^{2} \ höger) \, dt \ höger) \\ & = {\ frac {1} {2}}-{\ frac {1} {2}} \ operatornamn {erf} \ vänster ({\ frac {x} {\ sqrt {2}}} \ höger) ~~ {\ text {-eller -}} \\ & = {\ frac {1} {2}} \ operatorname {erfc} \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {2}}} \ right). \ End {align}}}$

En alternativ form av Q -funktionen som kallas Craigs formel, efter dess upptäckare, uttrycks som:

${\ displaystyle Q (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0}^{\ frac {\ pi} {2}} \ exp \ left (-{\ frac {x^{ 2}} {2 \ sin ^{2} \ theta}} \ höger) d \ theta.}$

Detta uttryck gäller endast för positiva värden på x , men det kan användas tillsammans med Q ( x ) = 1 - Q ( - x ) för att erhålla Q ( x ) för negativa värden. Denna form är fördelaktig genom att integrationsintervallet är fast och ändligt.

Craigs formel förlängdes senare av Behnad (2020) för Q -funktionen av summan av två icke -negativa variabler, enligt följande:

${\ displaystyle Q (x+y) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0}^{\ frac {\ pi} {2}} \ exp \ left (-{\ frac {x ^{2}} {2 \ sin ^{2} \ theta}}-{\ frac {y ^{2}} {2 \ cos ^{2} \ theta}} \ höger) d \ theta, \ quad x , y \ geqslant 0.}$

Gränser och approximationer

• Den Q -funktionen är inte en elementär funktion . Borjesson-Sundberg-gränserna, där är dock densitetsfunktionen för standardnormalfördelningen,${\ displaystyle \ phi (x)}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {1+x^{2}}} \ right) \ phi (x) <Q (x) <{\ frac {\ phi (x)} {x}} , \ qquad x> 0,}$

blir allt tätare för stora x , och är ofta användbara.

Med hjälp av substitutions v = u ² /2, den övre gränsen är härledd enligt följande:

${\ displaystyle Q (x) = \ int _ {x}^{\ infty} \ phi (u) \, du <\ int _ {x}^{\ infty} {\ frac {u} {x}} \ phi (u) \, du = \ int _ {\ frac {x^{2}} {2}}^{\ infty} {\ frac {e^{-v}} {x {\ sqrt {2 \ pi }}}} \, dv =-{\ biggl.} {\ frac {e^{-v}} {x {\ sqrt {2 \ pi}}}} {\ biggr |} _ {\ frac {x^ {2}} {2}}^{\ infty} = {\ frac {\ phi (x)} {x}}.}$

På samma sätt använder och kvotregeln ,${\ displaystyle \ phi '(u) =-u \ phi (u)}$

${\ displaystyle \ left (1+{\ frac {1} {x^{2}}} \ right) Q (x) = \ int _ {x}^{\ infty} \ left (1+{\ frac { 1} {x^{2}}} \ höger) \ phi (u) \, du> \ int _ {x}^{\ infty} \ vänster (1+{\ frac {1} {u^{2} }} \ höger) \ phi (u) \, du =-{\ biggl.} {\ frac {\ phi (u)} {u}} {\ biggr |} _ {x}^{\ infty} = { \ frac {\ phi (x)} {x}}.}$

Lösning för Q ( x ) ger den nedre gränsen.

Det geometriska medelvärdet för den övre och nedre gränsen ger en lämplig approximation för :${\ displaystyle Q (x)}$

${\ displaystyle Q (x) \ approx {\ frac {\ phi (x)} {\ sqrt {1+x^{2}}}}, \ qquad x \ geq 0.}$

• Stramare gränser och approximationer av kan också erhållas genom att optimera följande uttryck${\ displaystyle Q (x)}$

${\ displaystyle {\ tilde {Q}} (x) = {\ frac {\ phi (x)} {(1-a) x+a {\ sqrt {x^{2}+b}}}}.}$

För , den bästa övre gränsen ges av och med maximalt absoluta relativa fel på 0,44%. På samma sätt ges den bästa approximationen av och med maximalt absoluta relativa fel på 0,27%. Slutligen ges den bästa nedre gränsen av och med det maximala absoluta relativa felet på 1,17%.${\ displaystyle x \ geq 0}$${\ displaystyle a = 0.344}$${\ displaystyle b = 5.334}$${\ displaystyle a = 0.339}$${\ displaystyle b = 5.510}$${\ displaystyle a = 1/\ pi}$${\ displaystyle b = 2 \ pi}$

• Den Chernoff bunden av Q -funktionen är

${\ displaystyle Q (x) \ leq e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}}, \ qquad x> 0}$

• Förbättrade exponentiella gränser och en ren exponentiell approximation är

${\ displaystyle Q (x) \ leq {\ tfrac {1} {4}} e^{-x^{2}}+{\ tfrac {1} {4}} e^{-{\ frac {x^ {2}} {2}}} \ leq {\ tfrac {1} {2}} e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}}, \ qquad x> 0}$

${\ displaystyle Q (x) \ approx {\ frac {1} {12}} e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}}+{\ frac {1} {4}} e ^{-{\ frac {2} {3}} x^{2}}, \ qquad x> 0}$

• Ovanstående generaliserades av Tanash & Riihonen (2020), som visade att det exakt kan approximeras eller begränsas av${\ displaystyle Q (x)}$

${\ displaystyle {\ tilde {Q}} (x) = \ sum _ {n = 1}^{N} a_ {n} e^{-b_ {n} x^{2}}.}$

I synnerhet, de fram en systematisk metod för att lösa de numeriska koefficienterna som ger en minimax approximation eller bunden: , , eller för . Med exempel coef fi cients tabellerade i papper för , de relativa och absoluta tillnärmning fel är mindre än och , respektive. Koefficienterna för många variationer av de exponentiella approximationerna och gränserna för att ha släppts för open access som en omfattande dataset.${\ displaystyle \ {(a_ {n}, b_ {n}) \} _ {n = 1}^{N}}$${\ displaystyle Q (x) \ approx {\ tilde {Q}} (x)}$${\ displaystyle Q (x) \ leq {\ tilde {Q}} (x)}$${\ displaystyle Q (x) \ geq {\ tilde {Q}} (x)}$${\ displaystyle x \ geq 0}$${\ displaystyle N = 20}$${\ displaystyle 2.831 \ cdot 10^{-6}}$${\ displaystyle 1.416 \ cdot 10^{-6}}$${\ displaystyle \ {(a_ {n}, b_ {n}) \} _ {n = 1}^{N}}$${\ displaystyle N = 25}$

• En annan approximation av för ges av Karagiannidis & Lioumpas (2007) som visade för lämpligt val av parametrar som${\ displaystyle Q (x)}$${\ displaystyle x \ in [0, \ infty)}$${\ displaystyle \ {A, B \}}$

${\ displaystyle f (x; A, B) = {\ frac {\ left (1-e^{-Ax} \ right) e^{-x^{2}}} {B {\ sqrt {\ pi} } x}} \ approx \ operatorname {erfc} \ vänster (x \ höger).}$

Det absoluta felet mellan och över intervallet minimeras genom utvärdering${\ displaystyle f (x; A, B)}$${\ displaystyle \ operatorname {erfc} (x)}$${\ displaystyle [0, R]}$

${\ displaystyle \ {A, B \} = {\ underset {\ {A, B \}} {\ arg \ min}} {\ frac {1} {R}} \ int _ {0}^{R} | f (x; A, B)-\ operatorname {erfc} (x) | dx.}$

Genom att använda och numeriskt integrera fann de att det minsta felet inträffade när vilket gav en bra approximation för${\ displaystyle R = 20}$${\ displaystyle \ {A, B \} = \ {1.98,1.135 \},}$${\ displaystyle \ forall x \ geq 0.}$

Att ersätta dessa värden och använda förhållandet mellan och uppifrån ger${\ displaystyle Q (x)}$${\ displaystyle \ operatorname {erfc} (x)}$

${\ displaystyle Q (x) \ approx {\ frac {\ left (1-e^{-1.98x} \ right) e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}}} {1.135 {\ sqrt {2 \ pi}} x}}, x \ geq 0.}$

Alternativa koefficienter är också tillgängliga för ovanstående "Karagiannidis – Lioumpas approximation" för att skräddarsy noggrannhet för en specifik applikation eller omvandla den till en tät gräns.

• En tätare och lättare approximation av för positiva argument ges av López-Benítez & Casadevall (2011) baserat på en andra ordnings exponentiell funktion:${\ displaystyle Q (x)}$${\ displaystyle x \ in [0, \ infty)}$

${\ displaystyle Q (x) \ approx e^{-ax^{2} -bx-c}, \ qquad x \ geq 0.}$

Beslaget koefficienter kan optimeras över varje önskat intervall av argument för att minimera summan av kvadratiska fel ( , , för ) eller minimera det maximala absoluta felet ( , , för ). Denna approximation erbjuder vissa fördelar, till exempel en bra avvägning mellan noggrannhet och analytisk bearbetbarhet (till exempel är utvidgningen till godtycklig kraft av trivial och förändrar inte den approximativa algebraiska formen).${\ displaystyle (a, b, c)}$${\ displaystyle a = 0.3842}$${\ displaystyle b = 0.7640}$${\ displaystyle c = 0.6964}$${\ displaystyle x \ in [0,20]}$${\ displaystyle a = 0.4920}$${\ displaystyle b = 0.2887}$${\ displaystyle c = 1.1893}$${\ displaystyle x \ in [0,20]}$${\ displaystyle Q (x)}$

Omvänd Q

Den inversa Q -funktionen kan relateras till de inversa felfunktionerna :

${\ displaystyle Q ^{-1} (y) = {\ sqrt {2}} \ \ mathrm {erf} ^{-1} (1-2y) = {\ sqrt {2}} \ \ mathrm {erfc} ^{-1} (2y)}$

Funktionen hittar tillämpning i digital kommunikation. Det uttrycks vanligtvis i dB och kallas i allmänhet Q-faktor : ${\ displaystyle Q^{-1} (y)}$

${\ displaystyle \ mathrm {Q {\ text {-}} faktor} = 20 \ log _ {10} \! \ vänster (Q^{-1} (y) \ höger) \! ~ \ mathrm {dB}}$

där y är bitfelhastigheten (BER) för den digitalt modulerade signalen under analys. Till exempel för QPSK i additivt vitt gaussiskt brus sammanfaller Q-faktorn ovan med värdet i dB för signal-brusförhållandet som ger en bitfelhastighet lika med y .

Värden

Den Q -funktionen är väl i tabellform och kan beräknas direkt i de flesta av de matematiska mjukvarupaket som R och de som finns tillgängliga i Python , MATLAB och Mathematica . Några värden för Q -funktionen anges nedan som referens.

Generalisering till höga dimensioner

Den Q -funktion kan generaliseras till högre dimensioner:

${\ displaystyle Q (\ mathbf {x}) = \ mathbb {P} (\ mathbf {X} \ geq \ mathbf {x}),}$

där följer den multivariata normalfördelningen med kovarians och tröskeln har formen för någon positiv vektor och positiv konstant . Som i det endimensionella fallet finns det ingen enkel analytisk formel för Q -funktionen. Icke desto mindre, den Q kan -funktionen kan approximeras godtyckligt väl som blir större och större. ${\ displaystyle \ mathbf {X} \ sim {\ mathcal {N}} (\ mathbf {0}, \, \ Sigma)}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ gamma \ Sigma \ mathbf {l} ^{*}}$${\ displaystyle \ mathbf {l} ^{*}> \ mathbf {0}}$${\ displaystyle \ gamma> 0}$${\ displaystyle \ gamma}$

Referenser