Elementær funktion - Elementary function

I matematik er en elementær funktion en funktion af en enkelt variabel (typisk ægte eller kompleks ), der defineres som at tage summer , produkter og sammensætninger af endeligt mange polynomiske , rationelle , trigonometriske , hyperbolske og eksponentielle funktioner, herunder muligvis deres inverse funktioner (f.eks. bueformet , log eller x ^{1 / n} ).

Elementære funktioner blev introduceret af Joseph Liouville i en række papirer fra 1833 til 1841. En algebraisk behandling af elementære funktioner blev startet af Joseph Fels Ritt i 1930'erne.

Eksempler

Grundlæggende eksempler

Elementære funktioner for en enkelt variabel $x$ inkluderer:

Konstant funktioner : osv. ${\ displaystyle 2, \ \ pi, \ e,}$
Strømfunktioner : osv. ${\ displaystyle x, \ x ^ {2}, \ x ^ {3},}$
Kvadratrodfunktion : ${\ displaystyle {\ sqrt {x}}}$
$n$ te rod funktioner : etc. ${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {x}}, \ {\ sqrt [{4}] {x}},}$
Eksponentielle funktioner : ${\ displaystyle e ^ {x}, \ a ^ {x}}$
Logaritmer : ${\ displaystyle \ ln x, \ \ log _ {a} x}$
Trigonometriske funktioner : etc. ${\ displaystyle \ sin x, \ \ cos x, \ \ tan x,}$
Inverse trigonometriske funktioner : osv. ${\ displaystyle \ arcsin x, \ \ arccos x,}$
Hyperboliske funktioner : osv. ${\ displaystyle \ sinh x, \ \ cosh x,}$
Inverse hyperbolske funktioner : osv. ${\ displaystyle \ operatorname {arsinh} x, \ \ operatorname {arcosh} x,}$
Alle funktioner opnået ved at tilføje, trække fra, multiplicere eller dividere et endeligt antal af en af de tidligere funktioner
Alle funktioner opnået ved at komponere et endeligt antal af en af de tidligere nævnte funktioner

Visse elementære funktioner i en enkelt kompleks variabel $z$ , såsom og , kan være flere værdier . ${\ displaystyle {\ sqrt {z}}}$ ${\ displaystyle \ log z}$

Sammensatte eksempler

Eksempler på elementære funktioner inkluderer:

Tilføjelse, f.eks. ( X +1)
Multiplikation, f.eks. (2 x )
Polynomiske funktioner
${\ displaystyle {\ frac {e ^ {\ tan x}} {1 + x ^ {2}}} \ sin \ left ({\ sqrt {1 + (\ ln x) ^ {2}}} \ right) }$
${\ displaystyle -i \ ln \ left (x + i {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ højre)}$

Den sidste funktion er lig med , det inverse cosinus , i hele det komplekse plan . ${\ displaystyle \ arccos x}$

Alle monomier , polynomier og rationelle funktioner er elementære. Også den absolutte værdi funktion , for real , er også elementære som det kan udtrykkes som sammensætningen af en kraft og roden af : . ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ textstyle | x | = {\ sqrt {x ^ {2}}}}$

Ikke-elementære funktioner

Et eksempel på en funktion, der ikke er elementær, er fejlfunktionen

${\ displaystyle \ mathrm {erf} (x) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {2}} \, dt ,}$

en kendsgerning, der måske ikke umiddelbart er åbenbar, men som kan bevises ved hjælp af Risch algoritmen .

Se også eksemplerne i Liouvillian-funktion og Nonelementary integral .

Lukning

Det følger direkte af definitionen, at sættet af elementære funktioner er lukket under aritmetiske operationer og komposition. De elementære funktioner lukkes under differentiering . De er ikke lukket under grænser og uendelige summer . Vigtigere er, at de elementære funktioner ikke er lukket under integration , som vist af Liouville's sætning , se ikke- elementær integral . De Liouvillian-funktioner defineres som de elementære funktioner og rekursivt integralerne af de Liouvillian-funktioner.

Differentiel algebra

Den matematiske definition af en elementær funktion eller en funktion i elementær form betragtes i sammenhæng med differentiel algebra . En differentiel algebra er en algebra med den ekstra operation for afledning (algebraisk version af differentiering). Ved hjælp af afledningsoperationen kan nye ligninger skrives, og deres løsninger anvendes i udvidelser af algebraen. Ved at starte med feltet for rationelle funktioner kan to specielle typer af transcendentale udvidelser (logaritmen og den eksponentielle) føjes til marken, der bygger et tårn, der indeholder elementære funktioner.

Et differensfelt F er et felt F ₀ (rationelle funktioner over f.eks. Rationerne Q ) sammen med et afledningskort u → ∂ u . (Her er a u en ny funktion. Nogle gange bruges betegnelsen u ′.) Afledningen fanger egenskaberne af differentiering, således at afledningen for et hvilket som helst to elementer i basisfeltet er lineær

{\ displaystyle \ partial (u + v) = \ partial u + \ partial v}

og opfylder Leibniz-produktreglen

{\ displaystyle \ partial (u \ cdot v) = \ partial u \ cdot v + u \ cdot \ partial v \ ,.}

Et element h er en konstant, hvis ∂h = 0 . Hvis basisfeltet er over rationelle, skal der udvises forsigtighed, når feltet udvides for at tilføje de nødvendige transcendentale konstanter.

En funktion u af en differentiel udvidelse F [ u ] af et differensfelt F er en elementær funktion over F, hvis funktionen u

er algebraisk over F , eller
er en eksponentiel , det vil sige u u = u ∂ a for a ∈ F , eller
er en logaritme , dvs. ∂ u = ∂ en / et for et ∈ F .

(se også Liouvilles sætning )

Se også

Bemærkninger

Referencer

Liouville, Joseph (1833a). "Premier mémoire sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique" . Journal de l'École Polytechnique . tome XIV: 124-148.
Liouville, Joseph (1833b). "Andet mémoire sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique" . Journal de l'École Polytechnique . tome XIV: 149–193.
Liouville, Joseph (1833c). "Note sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 10 : 347–359.
Ritt, Joseph (1950). Differentiel algebra . AMS .
Rosenlicht, Maxwell (1972). "Integration i endelige termer". Amerikansk matematisk månedlig . 79 (9): 963-972. doi : 10.2307 / 2318066 . JSTOR 2318066 .

Yderligere læsning

Davenport, JH: Hvad kan "forstå en funktion" betyde. I: Kauers, M .; Kerber, M., Miner, R .; Windsteiger, W .: Mod mekaniserede matematiske assistenter. Springer, Berlin / Heidelberg 2007, s. 55-65. [1]

Languages

In other projects