Hukommelsesløshed - Memorylessness

I sandsynlighed og statistik er hukommelsesløshed en egenskab ved visse sandsynlighedsfordelinger . Det refererer normalt til de tilfælde, hvor fordelingen af en "ventetid" indtil en bestemt begivenhed ikke afhænger af, hvor lang tid der allerede er gået. For at modellere situationer uden hukommelse præcist skal vi hele tiden 'glemme' hvilken tilstand systemet er i: sandsynlighederne ville ikke blive påvirket af procesens historie.

Kun to former for distributioner er hukommelsesløse : geometriske fordelinger af ikke-negative heltal og eksponentielle fordelinger af ikke-negative reelle tal.

I forbindelse med Markov -processer refererer hukommelsesløshed til Markov -ejendommen , en endnu stærkere antagelse, der indebærer, at egenskaberne ved tilfældige variabler relateret til fremtiden kun afhænger af relevant information om den aktuelle tid, ikke af oplysninger fra tidligere i fortiden. Denne artikel beskriver brugen uden for Markov -ejendommen.

Ventetid eksempler

Med hukommelse

De fleste fænomener er ikke hukommelsesløse, hvilket betyder, at observatører vil få information om dem over tid. Antag for eksempel, at $X$ er en tilfældig variabel , en bilmotors levetid, udtrykt i "antal kørte miles, indtil motoren går i stykker". Det er klart, baseret på vores intuition, at en motor, der allerede har været kørt i 300.000 miles, vil have et meget lavere $X$ end en anden (ækvivalent) motor, der kun har været kørt i 1.000 miles. Derfor ville denne tilfældige variabel ikke have hukommelsesløshedsegenskaben.

Uden hukommelse

Lad os derimod undersøge en situation, der ville udvise hukommelsesløshed. Forestil dig en lang gang, foret på en væg med tusindvis af pengeskabe. Hver pengeskab har en urskive med 500 positioner, og hver har fået tildelt en åbningsposition tilfældigt. Forestil dig, at en excentrisk person går ned ad gangen og stopper en gang ved hver pengeskab for at gøre et enkelt tilfældigt forsøg på at åbne den. I dette tilfælde kan vi definere tilfældig variabel $X$ som deres søges levetid, udtrykt i "antal forsøg personen skal gøre, indtil han med succes åbner et pengeskab". I dette tilfælde vil $E [X]$ altid være lig med værdien af 500, uanset hvor mange forsøg der allerede er foretaget. Hvert nyt forsøg har en (1/500) chance for at lykkes, så personen vil sandsynligvis åbne præcis en pengeskab engang i de næste 500 forsøg - men med hver ny fiasko gør de ingen "fremskridt" mod i sidste ende at lykkes. Selvom safe-cracker lige har mislykkedes 499 gange i træk (eller 4.999 gange), forventer vi at vente 500 forsøg mere, indtil vi ser den næste succes. Hvis denne person i stedet fokuserede deres forsøg på en enkelt pengeskab og "huskede" deres tidligere forsøg på at åbne den, ville han med garanti åbne pengeskabet efter højst 500 forsøg (og faktisk ved starten ville det kun forventer at have brug for 250 forsøg, ikke 500).

Eksempler i virkeligheden på hukommelsesløshed inkluderer den universelle lov om radioaktivt henfald , som beskriver tiden, indtil en given radioaktiv partikel forfalder, og muligvis tiden til opdagelsen af en ny Bitcoin- blok, selvom dette er blevet sat i tvivl. Et ofte brugt (teoretisk) eksempel på hukommelsesløshed i køteori er den tid, en butiksejer skal vente før den næste kundes ankomst.

Diskret hukommelsesløshed

Antag, at $X$ er en diskret tilfældig variabel, hvis værdier ligger i sættet {0, 1, 2, ...}. Sandsynlighedsfordelingen for $X$ er præcis hukommelsesløs , hvis vi for enhver $m$ og $n$ i ${0, 1, 2, ...}$ har

{\ displaystyle \ Pr (X> m+n \ mid X \ geq m) = \ Pr (X> n).}

Her betegner $Pr (X > m + n | X \geq m)$ den betingede sandsynlighed for , at værdien af $X$ er større end $m + n$ givet, at den er større end eller lig med $m$ .

De eneste hukommelsesløse diskrete sandsynlighedsfordelinger er de geometriske fordelinger , der tæller antallet af uafhængige , identisk fordelte Bernoulli -forsøg, der er nødvendige for at få én "succes". Med andre ord er det fordelingen af ventetid i en Bernoulli -proces .

Bemærk, at ovenstående definition gælder definitionen af geometrisk distribution med understøttelse {0, 1, 2, ...}. Den alternative parameterisering med understøttelse {1, 2, ...} svarer til en lidt anden definition af diskret hukommelsesløshed: nemlig at ${\ displaystyle \ Pr (X> m+n \ mid X> m) = \ Pr (X> n).}$

En hyppig misforståelse

"Hukommelsesløshed" om sandsynlighedsfordelingen af antallet af forsøg $X$ indtil den første succes betyder, at f.eks.

{\ displaystyle \ Pr (X> 40 \ mid X \ geq 30) = \ Pr (X> 10).}

Det betyder ikke det

{\ displaystyle \ Pr (X> 40 \ mid X \ geq 30) = \ Pr (X> 40),}

hvilket kun ville være sandt, hvis hændelserne $X > 40$ og $X \geq 30$ var uafhængige, dvs. ${\ displaystyle \ Pr (X \ geq 30) = 1.}$

Kontinuerlig hukommelsesløshed

Antag, at $X$ er en kontinuerlig tilfældig variabel, hvis værdier ligger i de ikke-negative reelle tal $[0, \infty)$ . Sandsynlighedsfordelingen for $X$ er hukommelsesløs præcist, hvis for alle ikke-negative reelle tal $t$ og $s$ , vi har

{\ displaystyle \ Pr (X> t+s \ mid X> t) = \ Pr (X> s).}

Dette ligner den diskrete version, bortset fra at $s$ og $t kun$ er begrænset til at være ikke-negative reelle tal i stedet for heltal . I stedet for at tælle forsøg indtil den første "succes", kan vi f.eks. Markere tiden, indtil det første telefonopkald ankommer til et tavle.

Den hukommelsesløse distribution er en eksponentiel distribution

Den eneste hukommelsesløse kontinuerlige sandsynlighedsfordeling er den eksponentielle fordeling , så hukommelsesløshed fuldstændig karakteriserer den eksponentielle fordeling blandt alle kontinuerlige. Ejendommen stammer fra følgende bevis:

For at se dette skal du først definere overlevelsesfunktionen , $S$ , som

{\ displaystyle S (t) = \ Pr (X> t).}

Bemærk, at $S (t)$ derefter er monotont faldende . Fra forholdet

{\ displaystyle \ Pr (X> t+s \ mid X> t) = \ Pr (X> s)}

og definitionen af betinget sandsynlighed , følger det

{\ displaystyle {\ frac {\ Pr (X> t+s)} {\ Pr (X> t)}} = \ Pr (X> s).}

Dette giver den funktionelle ligning (som er et resultat af hukommelsesløshedsegenskaben):

{\ displaystyle S (t+s) = S (t) S (s)}

Fra dette skal vi f.eks. Have:

{\ displaystyle S (2) = S (1)^{2} \ quad}

{\ displaystyle S (1) = S (1/2)^{2} {\ text {ie}} \ quad S (1/2) = S (1)^{1/2}.}

Generelt:

{\ displaystyle S (a) = S (1)^{a}}

Den eneste kontinuerlige funktion, der vil tilfredsstille denne ligning for enhver positiv, rationel $a$ er:

{\ displaystyle S (a) = S (1)^{a} = e^{\ ln (S (1)) a} = e^{-\ lambda a},}

hvor ${\ displaystyle \ lambda =-\ ln (S (1)).}$

Da $S (a) derfor$ er en sandsynlighed og skal have, skal enhver hukommelsesløshedsfunktion derfor være en eksponentiel. ${\ displaystyle \ lambda> 0,}$

Sagt på en anden måde, $S$ er en monoton formindskende funktion (hvilket betyder, at i perioder derefter ) ${\ displaystyle x \ leq y,}$ ${\ displaystyle S (x) \ geq S (y).}$

Den funktionelle ligning alene vil betyde, at $S$ begrænset til rationelle multipler af et bestemt tal er en eksponentiel funktion . Kombineret med det faktum, at $S$ er monoton, betyder det, at $S$ over hele sit domæne er en eksponentiel funktion.

Noter

Referencer

Feller, W. (1971) Introduction to Probability Theory and Its Applications, bind II (2. udgave), Wiley. Afsnit I.3 ISBN 0-471-25709-5

Languages

In other projects