Punkt proces operation - Point process operation

I sandsynlighed og statistik er en punktprocessoperation eller punktprocessetransformation en type matematisk operation udført på et tilfældigt objekt kendt som en punktproces , der ofte bruges som matematiske modeller af fænomener, der kan repræsenteres som punkter tilfældigt placeret i rummet. Disse operationer kan være rent tilfældige, deterministiske eller begge dele og bruges til at konstruere nye punktprocesser, som derefter også kan bruges som matematiske modeller. Operationerne kan omfatte fjernelse eller udtynding af punkter fra en punktproces, kombination eller overlejring af flere punktprocesser til en punktproces eller omdannelse af det underliggende rum i punktprocessen til et andet rum. Punktprocessoperationer og de resulterende punktprocesser bruges i teorien om punktprocesser og relaterede felter såsom stokastisk geometri og rumlig statistik .

En punktproces, der giver særdeles praktiske resultater under tilfældige punktprocessoperationer, er Poisson-punktprocessen . Poisson-punktprocessen udviser ofte en type matematisk lukning, således at når en punktprocessoperation anvendes til en eller anden Poisson-punktproces, så forudsat nogle betingelser på punktprocessoperationen, vil den resulterende proces ofte være en anden Poisson-punktprocessoperation, derfor bruges den ofte som en matematisk model.

Punktprocessoperationer er blevet undersøgt i den matematiske grænse, da antallet af tilfældige punktprocessoperationer, der anvendes, nærmer sig uendelig. Dette havde ført til konvergenssætninger for punktprocessoperationer, som har deres oprindelse i det banebrydende arbejde Conny Palm i 1940'erne og senere Aleksandr Khinchin i 1950'erne og 1960'erne, som begge studerede punktprocesser på den rigtige linje i forbindelse med at studere ankomsten af telefonopkald og køteori generelt. Forudsat at den oprindelige punktproces og punktprocessoperationen opfylder visse matematiske betingelser, så når punktprocessoperationer anvendes på processen, vil den resulterende punktproces ofte opføre sig stokastisk mere som en Poisson-punktproces, hvis den har et ikke-tilfældigt gennemsnit mål , som giver det gennemsnitlige antal punkter i punktprocessen, der findes i en region. Med andre ord, i grænsen når antallet af anvendte operationer nærmer sig uendelig, vil punktprocessen konvergere i distribution (eller svagt) til en Poisson-punktproces eller, hvis dens mål er et tilfældigt mål, til en Cox-punktproces . Konvergensresultater, såsom Palm-Khinchin-sætningen til fornyelsesprocesser, bruges derefter også til at retfærdiggøre brugen af Poisson-punktprocessen som matematik for forskellige fænomener.

Punkt proces notation

Punktprocesser er matematiske objekter, der kan bruges til at repræsentere samlinger af punkter, der er tilfældigt spredt på et underliggende matematisk rum . De har en række fortolkninger, hvilket afspejles i de forskellige typer point-proces notation . For eksempel, hvis et punkt tilhører eller er medlem af en punktproces, betegnet med , kan dette skrives som: ${\ displaystyle \ textstyle x}$ ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$

{\ displaystyle \ textstyle x \ i {N},}

og repræsenterer punktprocessen som et tilfældigt sæt . Alternativt skrives antallet af punkter i nogle Borelsæt ofte som: ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$ ${\ displaystyle \ textstyle B}$

{\ displaystyle \ textstyle {N} (B),}

der afspejler en fortolkning af tilfældige mål for punktprocesser.

En punktproces skal defineres på et underliggende matematisk rum. Ofte er dette rum d -dimensionalt euklidisk rum betegnet her med , selv om punktprocesser kan defineres på mere abstrakte matematiske rum . ${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$

Eksempler på operationer

For at udvikle egnede modeller med punktprocesser i stokastisk geometri, rumlig statistik og relaterede felter er der antal nyttige transformationer, der kan udføres på punktprocesser, herunder: udtynding, superposition, kortlægning (eller transformation af rum), klyngedannelse og tilfældig forskydning.

Fortynding

De udtynding operation indebærer hjælp nogle foruddefineret regel at fjerne punkter fra et punkt proces at danne et nyt punkt proces . Disse udtyndingsregler kan være deterministiske, det vil sige ikke tilfældige, hvilket er tilfældet for en af de enkleste regler kendt som -fortynding: hvert punkt af fjernes uafhængigt (eller holdes) med en vis sandsynlighed (eller ). Denne regel kan generaliseres ved at indføre en ikke-negativ funktion for at definere den lokaliseringsafhængige- udtynding, hvor sandsynligheden for, at et punkt fjernes nu er og afhænger af, hvor punktet er placeret på det underliggende rum. En yderligere generalisering er at have den udtyndende sandsynlighed tilfældig i sig selv. ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$ ${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {p}}$ ${\ displaystyle \ textstyle p}$ ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$ ${\ displaystyle \ textstyle p}$ ${\ displaystyle \ textstyle 1-p}$ ${\ displaystyle \ textstyle p (x) \ leq 1}$ ${\ displaystyle \ textstyle p (x)}$ ${\ displaystyle \ textstyle p (x)}$ ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$ ${\ displaystyle \ textstyle p}$

Disse tre operationer er alle typer uafhængig udtynding, hvilket betyder, at interaktionen mellem punkter ikke har nogen indvirkning på, hvor et punkt fjernes (eller holdes). En anden generalisering involverer afhængig udtynding, hvor punkter i punktprocessen fjernes (eller holdes) afhængigt af deres placering i forhold til andre punkter i punktprocessen. Udtynding kan bruges til at oprette nye punktprocesser såsom hard-core processer, hvor punkter ikke findes (på grund af udtynding) inden for en bestemt radius af hvert punkt i den tyndede punktproces.

Superposition

Den superposition operation anvendes til at kombinere to eller flere punktprocesser sammen på én underliggende matematiske rum eller tilstandsrum. Hvis der er et tælleligt sæt eller samling af punktprocesser med middelmål , så er deres superposition ${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {1}, {N} _ {2} \ dots}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda _ {1}, \ Lambda _ {2}, \ dots}$

{\ displaystyle {N} = \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} {N} _ {i},}

danner også en punktproces. I dette udtryk betegnes superposition-operationen med en sæt union ), hvilket indebærer en tilfældig sæt fortolkning af punktprocesser; se Punktprocesnotation for mere information.

Poisson punkt proces sag

I det tilfælde hvor hver er en Poisson-punktproces, er den resulterende proces også en Poisson-punktproces med gennemsnitlig intensitet ${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$

{\ displaystyle \ Lambda = \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {\ infty} \ Lambda _ {i}.}

Klyngedannelse

Punktoperationen kendt som klyngedannelse indebærer at erstatte hvert punkt i en given punktproces med en klynge af punkter . Hver klynge er også en punktproces, men med et begrænset antal point. Foreningen af alle klynger danner en klyngepunktproces ${\ displaystyle \ textstyle x}$ ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$ ${\ displaystyle \ textstyle N ^ {x}}$

{\ displaystyle {N} _ {c} = \ bigcup _ {x \ i {N}} N ^ {x}.}

Ofte antages det, at klyngerne er alle sæt af endelige punkter, hvor hvert sæt er uafhængigt og identisk fordelt . Desuden, hvis den oprindelige punktproces har en konstant intensitet , vil intensiteten af klyngepunktprocessen være ${\ displaystyle \ textstyle N ^ {x}}$ ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {c}}$

{\ displaystyle \ lambda _ {c} = c \ lambda,}

hvor konstanten er gennemsnittet af antallet af punkter i hver . ${\ displaystyle \ textstyle c}$ ${\ displaystyle \ textstyle N ^ {x}}$

Tilfældig forskydning og oversættelse

En matematisk model kan kræve tilfældige bevægelsespunkter for en punktproces fra nogle placeringer til andre placeringer på det underliggende matematiske rum . Denne punktprocessoperation kaldes tilfældig forskydning eller oversættelse . Hvis hvert punkt i processen forskydes eller oversættes uafhængigt til andre alle andre punkter i processen, danner operationen en uafhængig forskydning eller oversættelse. Det antages normalt, at alle tilfældige oversættelser har en fælles sandsynlighedsfordeling ; derfor danner forskydningerne et sæt uafhængige og identisk fordelte tilfældige vektorer i det underliggende matematiske rum.

Anvendelse af tilfældige forskydninger eller oversættelser til punktprocesser kan bruges som matematiske modeller til mobilitet af objekter i f.eks. Økologi eller trådløse netværk.

Forskydningssætning

Resultatet kendt som forskydningssætningen siger effektivt, at den tilfældige uafhængige forskydning af punkter i en Poisson-punktproces (på det samme underliggende rum) danner en anden Poisson-punktproces.

Transformation af rummet

En anden egenskab, der betragtes som nyttig, er evnen til at kortlægge en punktproces fra et underliggende rum til et andet rum. For eksempel et punkt, der er defineret på flyet R ² kan omdannes fra retvinklede koordinater til polære koordinater .

Kortlægningssætning

Forudsat at kortlægningen (eller transformation) overholder nogle betingelser, siger et resultat, der undertiden er kendt som Mapping-sætningen , at hvis den oprindelige proces er en Poisson-punktproces med en vis intensitetsmåling, så resulterer den resulterende kortlagte (eller transformerede) samling af punkter også danner en Poisson-punktproces med et andet intensitetsmål.

Konvergens af punktprocessoperationer

En punktoperation udført en gang på en eller anden punktproces kan generelt udføres igen og igen. I teorien om punktprocesser er der opnået resultater for at studere den resulterende punktproces adfærd via konvergensresultater i grænsen, når antallet af udførte operationer nærmer sig uendelig. For eksempel, hvis hvert punkt i en generel punktproces gentagne gange fortrænges på en bestemt tilfældig og uafhængig måde, vil den nye punktproces uformelt set mere og mere ligne en Poisson-punktproces. Lignende konvergensresultater er blevet udviklet til operationer med udtynding og superposition (med passende omskalering af det underliggende rum).

Referencer

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h D. Stoyan, WS Kendall, J. Mecke og L. Ruschendorf. Stokastisk geometri og dens anvendelser , bind 2. Wiley Chichester, 1995.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ J. FC Kingman. Poisson-processer , bind 3. Oxford universitetspresse, 1992.
^ O. Kallenberg. Tilfældige foranstaltninger . Sider 173-175, Academic Pr, 1983.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f D. J. Daley og D. Vere-Jones. En introduktion til teorien om punktprocesser. Vol. {II }. Sandsynligheden og dens anvendelser (New York). Springer, New York, anden udgave, 2008.
^ ^a ^b F. Baccelli og B. Błaszczyszyn. Stokastisk geometri og trådløse netværk, bind II - applikationer , bind 4, nr. 1-2 af fundament og tendenser inden for netværk . NoW Publishers, 2009.
^ Moller, J .; Plenge Waagepetersen, R. (2003). Statistisk inferens og simulering af rumlige punktprocesser . C & H / CRC-monografier om statistik og anvendt sandsynlighed. 100 . CiteSeerX 10.1.1.124.1275 . doi : 10.1201 / 9780203496930 . ISBN 978-1-58488-265-7 .
^ ^a ^b F. Baccelli og B. Błaszczyszyn. Stokastisk geometri og trådløse netværk, bind I - teori , bind 3, nr. 3-4 af fundament og tendenser inden for netværk . NoW Publishers, 2009.
^ A. Baddeley, I. Bárány og R. Schneider. Rumlige punktprocesser og deres applikationer. Stokastisk geometri: Forelæsninger holdt på CIME-sommerskolen, der blev afholdt i Martina Franca, Italien, 13. - 18. september 2004 , side 1–75, 2007.

[stoyan1995stochastic-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h D. Stoyan, WS Kendall, J. Mecke og L. Ruschendorf. Stokastisk geometri og dens anvendelser , bind 2. Wiley Chichester, 1995.

[kingman1992poisson-2] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ J. FC Kingman. Poisson-processer , bind 3. Oxford universitetspresse, 1992.

[kallenberg1983random-3] O. Kallenberg. Tilfældige foranstaltninger . Sider 173-175, Academic Pr, 1983.

[daleyPPII2008-4] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f D. J. Daley og D. Vere-Jones. En introduktion til teorien om punktprocesser. Vol. {II }. Sandsynligheden og dens anvendelser (New York). Springer, New York, anden udgave, 2008.

[BB2-5] F. Baccelli og B. Błaszczyszyn. Stokastisk geometri og trådløse netværk, bind II - applikationer , bind 4, nr. 1-2 af fundament og tendenser inden for netværk . NoW Publishers, 2009.

[moller2003statistical-6] Moller, J .; Plenge Waagepetersen, R. (2003). Statistisk inferens og simulering af rumlige punktprocesser . C & H / CRC-monografier om statistik og anvendt sandsynlighed. 100 . CiteSeerX 10.1.1.124.1275 . doi : 10.1201 / 9780203496930 . ISBN 978-1-58488-265-7 .

[BB1-7] F. Baccelli og B. Błaszczyszyn. Stokastisk geometri og trådløse netværk, bind I - teori , bind 3, nr. 3-4 af fundament og tendenser inden for netværk . NoW Publishers, 2009.

[baddeley2007spatial-8] A. Baddeley, I. Bárány og R. Schneider. Rumlige punktprocesser og deres applikationer. Stokastisk geometri: Forelæsninger holdt på CIME-sommerskolen, der blev afholdt i Martina Franca, Italien, 13. - 18. september 2004 , side 1–75, 2007.

Languages

In other projects