Ramme bundt - Frame bundle

I matematik , en ramme bundt er en principal fiberbundt F ( E ) associeret til enhver vektor bundt E . Fiberen af ​​F ( E ) over et punkt x er sættet af alle ordnede baser eller rammer for E _x . Den generelle lineære gruppe virker naturligt på F ( E ) via en ændring af grundlaget , hvilket giver rammebundlen strukturen af ​​en hoved GL ( k , R ) -bundt (hvor k er rangen E ).

Rammebundtet i en glat manifold er den, der er forbundet med dens tangentbundt . Af denne grund kaldes det undertiden tangentrammebundt .

Definition og konstruktion

Lad E → X være en reel vektor bundt af rang k over en topologisk rum X . En ramme ved et punkt x ∈ X er et ordnet grundlag for vektorrummet E _x . Tilsvarende kan en ramme ses som en lineær isomorfisme

${\ displaystyle p: \ mathbf {R} ^{k} \ til E_ {x}.}$

Sættet af alle rammer ved x , betegnet F _x , har en naturlig højre handling af den generelle lineære gruppe GL ( k , R ) af inverterbare k × k -matricer: et gruppeelement g ∈ GL ( k , R ) virker på rammen p via komposition for at give en ny ramme

${\ displaystyle p \ circ g: \ mathbf {R} ^{k} \ til E_ {x}.}$

Denne handling af GL ( k , R ) på F _x er både fri og transitiv (Dette følger af det standard lineære algebra -resultat, at der er en unik invertibel lineær transformation, der sender det ene grundlag til det andet). Som en topologisk rum, F _x er homeomorphic til GL ( k , R ), selv om det mangler en gruppe struktur, da der ikke er nogen "foretrukken frame". Rummet F _x siges at være en GL ( k , R )- torsor .

Den ramme bundt af E , betegnet med F ( E ) eller F _GL ( E ), er disjunkte forening af alle F _x :

${\ displaystyle \ mathrm {F} (E) = \ coprod _ {x \ in X} F_ {x}.}$

Hvert punkt i F ( E ) er et par ( x , p ), hvor x er et punkt i X, og p er en ramme ved x . Der er en naturlig projektion π: F ( E ) → X, som sender ( x , p ) til x . Gruppen GL ( k , R ) virker på F ( E ) til højre som ovenfor. Denne handling er klart fri, og banerne er kun fibrene i π.

Rammen bundt F ( E ) kan gives en naturlig topologi og bundtstruktur bestemt af anvendelsesområdet for E . Lad ( U _jeg , φ _i ) være en lokal trivialisering af E . Derefter har man for hver x ∈ U _i en lineær isomorfisme φ _{i , x}  : E _x → R ^k . Disse data bestemmer en bijektion

${\ displaystyle \ psi _ {i}: \ pi ^{-1} (U_ {i}) \ til U_ {i} \ times \ mathrm {GL} (k, \ mathbf {R})}$

givet af

${\ displaystyle \ psi _ {i} (x, p) = (x, \ varphi _ {i, x} \ circ p).}$

Med disse bijections, hver π ^-1 ( U _i ) kan indgives topologi U _i × GL ( k , R ). Topologien på F ( E ) er den endelige topologi, der er inkorporeret af inklusionskortene π ⁻¹ ( U _i ) → F ( E ).

Med alle de ovennævnte data bliver rammebundtet F ( E ) et hovedfiberbundt over X med strukturgruppe GL ( k , R ) og lokale trivialiseringer ({ U _i }, {ψ _i }). Man kan kontrollere, at overgangsområder funktioner af F ( E ) er de samme som dem af E .

Ovenstående alle værker i glat kategori samt: hvis E er en glat vektor bundt over en glat manifold M derefter rammen bundt af E kan gives strukturen af et glat principal bundt løbet M .

Tilhørende vektorgrupper

Et vektorbundt E og dets stelbundt F ( E ) er tilknyttede bundter . Hver bestemmer den anden. Rammebundtet F ( E ) kan konstrueres ud fra E som ovenfor eller mere abstrakt ved hjælp af fiberbundtkonstruktionens sætning . Med sidstnævnte metode er F ( E ) fiberbundtet med samme base, strukturgruppe, trivialiserende kvarterer og overgangsfunktioner som E, men med abstrakt fiber GL ( k , R ), hvor virkningen af ​​strukturgruppe GL ( k , R ) på fiberen GL ( k , R ) er den for venstre multiplikation.

I betragtning af enhver lineær repræsentation ρ: GL ( k , R ) → GL ( V , F ) er der et vektorbundt

${\ displaystyle \ mathrm {F} (E) \ times _ {\ rho} V}$

associeret med F ( E ), der er givet af produkt F ( E ) × V modulo ækvivalensforholdet ( pg , v ) ~ ( p , ρ ( g ) v ) for alle g i GL ( k , R ). Angiv ækvivalensklasser med [ p , v ].

Vektoren bundle E er naturligt isomorf til bundtet F ( E ) × _ρ R ^k hvor ρ er den grundlæggende repræsentation af GL ( k , R ) på R ^k . Isomorfismen er givet af

${\ displaystyle [p, v] \ mapsto p (v)}$

hvor v er en vektor i R ^k og p  : R ^k → E _x er en ramme ved x . Man kan let kontrollere, at dette kort er veldefineret .

Enhver vektorgruppe, der er forbundet med E, kan gives ved ovenstående konstruktion. For eksempel er det dobbelte bundt af E givet ved F ( E ) × _ρ* ( R ^k )*, hvor ρ* er det dobbelte af den grundlæggende repræsentation. Tensorbundter af E kan konstrueres på en lignende måde.

Tangent stelbundt

Den tangent ramme bundt (eller blot ramme bundt ) af en glat manifold M er rammen bundt forbundet til tangenten bundt af M . Rammebundlen af M er ofte betegnet F M eller GL ( M ) frem for F ( TM ). Hvis M er n -dimensionale derefter tangenten bundt har rang n , så rammen bundt af M er en principal GL ( n , R ) bundle løbet M .

Glatte rammer

Lokale afdelinger af rammen bundt af M kaldes glatte rammer på M . Tværsnitsætningen for hovedbundter angiver, at rammebundtet er trivielt over ethvert åbent sæt i U i M, som indrømmer en glat ramme. I betragtning af en glat ramme s  : U → F U , er trivialiseringen ψ: F U → U × GL ( n , R ) givet af

${\ displaystyle \ psi (p) = (x, s (x)^{-1} \ circ p)}$

hvor p er en ramme ved x . Det følger heraf, at en manifold kan paralleliseres, hvis og kun hvis frame -bundtet af M indrømmer en global sektion.

Da tangentbundtet af M er trivialiserbart over koordinatkvarterer i M , er ramme -bundtet det også. Faktisk givet alle koordinatområder U med koordinater ( x ¹ ,…, x ⁿ ) koordinatvektorfelterne

${\ displaystyle \ venstre ({\ frac {\ partial} {\ partiel x^{1}}}, \ ldots, {\ frac {\ delvis} {\ delvis x^{n}}} \ højre)}$

definere en glat ramme på U . En af fordelene ved at arbejde med rammebundter er, at de tillader en at arbejde med andre rammer end koordinaterammer; man kan vælge en ramme tilpasset det aktuelle problem. Dette kaldes undertiden metoden til at flytte rammer .

Loddeform

Rammebundtet på en manifold M er en særlig type hovedbundt i den forstand, at dens geometri er fundamentalt knyttet til M 's geometri . Dette forhold kan udtrykkes ved hjælp af en vektorværdi 1-form på F M kaldet loddeformen (også kendt som den grundlæggende eller tautologiske 1-form ). Lad x være et punkt på manifolden M og p en ramme ved x , så det

${\ displaystyle p: \ mathbf {R} ^{n} \ til T_ {x} M}$

er en lineær isomorfisme af R ⁿ med tangensrummet M ved x . Loddemetoden af ​​F M er den R ⁿ -værdsatte 1 -form θ defineret af

${\ displaystyle \ theta _ {p} (\ xi) = p^{-1} \ mathrm {d} \ pi (\ xi)}$

hvor ξ er en tangentvektor til F M ved punktet ( x , p ), og p ⁻¹  : T _x M  →  R ⁿ er inversen af ​​rammekortet, og dπ er differentialet på projektionskortet π: F M → M . Loddeformen er vandret i den forstand, at den forsvinder på vektorer, der tangerer fibrene i π og højre ækvivalente i den forstand, at

${\ displaystyle R_ {g}^{*} \ theta = g^{-1} \ theta}$

hvor R _g er den rigtige oversættelse af g ∈ GL ( n , R ). En form med disse egenskaber kaldes en basisk eller tensorial formular på F M . Sådanne former er i 1-1 korrespondance med TM -valued 1-former på M , som på sin side i 1-1 korrespondance med blank bundt maps TM → TM løbet M . Set i dette lys θ er bare identitetskortet på TM .

Som en navngivningskonvention er udtrykket "tautologisk enform" normalt forbeholdt det tilfælde, hvor formen har en kanonisk definition, som den gør her, mens "loddeform" er mere passende i de tilfælde, hvor formen ikke er kanonisk defineret . Denne konvention overholdes ikke her.

Ortonormalt stelbundt

Hvis et vektorbundt E er udstyret med en Riemannian bundt -metrisk, er hver fiber E _x ikke kun et vektorrum, men et indre produktrum . Det er derefter muligt at tale om sættet af alle orthonormale rammer til E _x . En orthonormal ramme for E _x er et ordnet orthonormalt grundlag for E _x , eller tilsvarende en lineær isometri

${\ displaystyle p: \ mathbf {R} ^{k} \ til E_ {x}}$

hvor R ^k er udstyret med standard Euclidean metric . Den ortogonale gruppe O ( k ) virker frit og transitivt på sættet af alle ortonormale rammer via den rigtige sammensætning. Med andre ord er sættet af alle orthonormale rammer en højre O ( k )- torsor .

Den ortonormal ramme bundt af E , benævnt F _O ( E ), er mængden af alle ortonormale frames ved hvert punkt x i basen rum X . Det kan konstrueres ved en metode, der er helt analog med den i det almindelige rammebundt. Den ortonormal ramme bundt af en rang k Riemannian vektor bundt E → X er en primær O ( k ) -bundle løbet X . Igen fungerer konstruktionen lige så godt i kategorien glat.

Hvis vektorbundtet E er orienterbart, kan man definere det orienterede orthonormale rammebundt af E , betegnet F _SO ( E ), som det primære SO ( k ) -bundt for alle positivt orienterede orthonormale rammer.

Hvis M er en n -dimensionel Riemannian manifold , så er det orthonormale stelbundt af M , betegnet F _O M eller O ( M ), det orthonormale stelbundt, der er knyttet til tangentbundtet af M (som pr. Definition er udstyret med en Riemannian metric ). Hvis M er orienterbar, så man også har den orienterede ortonormal ramme bundt F _SO M .

I betragtning af et Riemannian vektorbundt E er det orthonormale stelbundt et hoved O ( k )- underbundt af det generelle lineære rammebundt. Med andre ord inklusionskortet

${\ displaystyle i: {\ mathrm {F}} _ {\ mathrm {O}} (E) \ to {\ mathrm {F}} _ {\ mathrm {GL}} (E)}$

er hovedbundtkort . Den ene siger, at F _O ( E ) er en reduktion af strukturgruppen af F _GL ( E ) fra GL ( k , R ) til O ( k ).

G -strukturer

Hvis en glat manifold M kommer med yderligere struktur, er det ofte naturligt at overveje en underbundt af den fulde frame bundt af M, som er tilpasset den givne struktur. For eksempel, hvis M er en Riemannsk manifold vi sav ovenfor, at det er naturligt at overveje ortonormal ramme bundt af M . Det orthonormale stelbundt er blot en reduktion af strukturgruppen af ​​F _GL ( M ) til den ortogonale gruppe O ( n ).

Generelt, hvis M er en glat n -manifold og G er en Lie undergruppe af GL ( n , R ) definerer vi en G -struktur på M at være en reduktion af strukturen gruppe af F _GL ( M ) til G . Eksplicit er dette en principal G -bundle F _G ( M ) i løbet af M sammen med et G -equivariant bundt kort

${\ displaystyle {\ mathrm {F}} _ {G} (M) \ to {\ mathrm {F}} _ {\ mathrm {GL}} (M)}$

løbet M .

I dette sprog, en riemannsk metrik på M giver anledning til en O ( n ) -struktur på M . Det følgende er nogle andre eksempler.

• Hver orienteret manifold har en orienteret ramme bundt som er blot en GL ⁺ ( n , R ) -struktur på M .
• En volumen formular på M bestemmer en SL ( n , R ) -struktur på M .
• En 2 n -dimensionel symplektisk manifold har en naturlig Sp (2 n , R ) -struktur.
• En 2 n -dimensionel kompleks eller næsten kompleks manifold har en naturlig GL ( n , C ) -struktur.

I mange af disse tilfælde, en G -struktur på M entydigt bestemmer den tilsvarende struktur på M . For eksempel kan en SL ( n , R ) -struktur på M bestemmer en volumen form på M . I nogle tilfælde, f.eks. For symplektiske og komplekse manifolder, er der imidlertid behov for en ekstra integrerbarhedstilstand . En Sp (2 n , R ) -struktur på M bestemmer entydigt en ikke - degenereret 2-form på M , men for at M skal være symplektisk, skal denne 2-form også lukkes .

Referencer

• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry , bind. 1 (Ny red.), Wiley Interscience , ISBN 0-471-15733-3 |volume=har ekstra tekst ( hjælp )
• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Natural operators in differential geometry (PDF) , Springer-Verlag, arkiveret fra originalen (PDF) den 2017-03-30 , hentet 2008-08-02
• Sternberg, S. (1983), Forelæsninger om differential geometri ((2. udgave) red.), New York: Chelsea Publishing Co., ISBN 0-8218-1385-4