Rammebunt - Frame bundle

I matematikk , en ramme bunt er en hovedfiberbunt F ( E ) som er tilknyttet til en hvilken som helst vektor bunt E . Fiberen til F ( E ) over et punkt x er settet med alle ordnede baser , eller rammer , for E _x . Den generelle lineære gruppen virker naturlig på F ( E ) via en grunnendring , og gir rammebunten strukturen til en hoved GL ( k , R ) -bunt (hvor k er rangen til E ).

Rammebunten til en glatt manifold er den som er knyttet til dens tangentbunt . Av denne grunn kalles det noen ganger tangentrammebunten .

Definisjon og konstruksjon

La E → X være en reell vektor bunt av rang k over et topologisk rom X . En ramme på et punkt x ∈ X er et ordnet grunnlag for vektorrommet E _x . Tilsvarende kan en ramme ses på som en lineær isomorfisme

${\ displaystyle p: \ mathbf {R} ^{k} \ til E_ {x}.}$

Settet av alle rammer ved x , betegnet F _x , har en naturlig høyre handling av den generelle lineære gruppen GL ( k , R ) av inverterbare k × k -matriser: et gruppeelement g ∈ GL ( k , R ) virker på rammen p via komposisjon for å gi en ny ramme

${\ displaystyle p \ circ g: \ mathbf {R} ^{k} \ til E_ {x}.}$

Denne handlingen til GL ( k , R ) på F _x er både fri og transitiv (Dette følger av det standard lineære algebra -resultatet at det er en unik inverterbar lineær transformasjon som sender ett grunnlag til et annet). Som et topologisk rom, F _x er homøomorfiske til GL ( k , R ) selv om det mangler en gruppe struktur, siden det ikke er noen "foretrukne ramme". Plassen F _x sies å være en GL ( k , R )- torsor .

Den ramme bunt av E , betegnet med F ( E ) eller F _GL ( E ), er det disjunkte unionen av alle F _x :

${\ displaystyle \ mathrm {F} (E) = \ coprod _ {x \ in X} F_ {x}.}$

Hvert punkt i F ( E ) er et par ( x , p ) hvor x er et punkt i X og p er en ramme på x . Det er en naturlig projeksjon π: F ( E ) → X som sender ( x , p ) til x . Gruppen GL ( k , R ) virker på F ( E ) til høyre som ovenfor. Denne handlingen er helt klart gratis og banene er bare fibrene til π.

Rammen bunt F ( E ) kan gis en naturlig topologi og bunten struktur som ble bestemt ved den av E . La ( U _i , φ _i ) være en lokal trivia av E . Så for hver x ∈ U _i har en lineær isomorfisme φ _{i , x}  : E _x → R ^k . Disse dataene bestemmer en vedeksjon

${\ displaystyle \ psi _ {i}: \ pi ^{-1} (U_ {i}) \ til U_ {i} \ ganger \ mathrm {GL} (k, \ mathbf {R})}$

gitt av

${\ displaystyle \ psi _ {i} (x, p) = (x, \ varphi _ {i, x} \ circ p).}$

Med disse vedeksjonene kan hver π ⁻¹ ( U _i ) gis topologien til U _i × GL ( k , R ). Topologien på F ( E ) er den endelige topologien som er indusert av inkluderingskartene π ⁻¹ ( U _i ) → F ( E ).

Med alle de ovennevnte dataene blir rammebunten F ( E ) en hovedfiberbunt over X med strukturgruppe GL ( k , R ) og lokale trivialiseringer ({ U _i }, {ψ _i }). Man kan kontrollere at overgangsfunksjoner av f ( E ) er de samme som de for E .

Den ovenfor alle arbeider i den glatte kategori også: Hvis E er en vektor jevn bunt over en glatt manifold M da rammen bunt E kan gis strukturen av en jevn hoved bunt løpet M .

Tilknyttede vektorgrupper

En vektorbunt E og dens rammebunt F ( E ) er tilknyttede bunter . Hver bestemmer den andre. Rammebunten F ( E ) kan konstrueres fra E som ovenfor, eller mer abstrakt ved bruk av fiberbuntkonstruksjonen . Med den siste metoden er F ( E ) fiberbunten med samme base, strukturgruppe, trivialiserende nabolag og overgangsfunksjoner som E, men med abstrakt fiber GL ( k , R ), der virkningen av strukturgruppe GL ( k , R ) på fiberen GL ( k , R ) er den for venstre multiplikasjon.

Gitt enhver lineær representasjon ρ: GL ( k , R ) → GL ( V , F ) er det en vektorgruppe

${\ displaystyle \ mathrm {F} (E) \ times _ {\ rho} V}$

assosiert med F ( E ) som er gitt av produkt F ( E ) × V modulo ekvivalensforholdet ( pg , v ) ~ ( p , ρ ( g ) v ) for alle g i GL ( k , R ). Betegn ekvivalensklassene med [ p , v ].

Vektoren bunt E er naturligvis isomorf til bunten F ( E ) x _ρ R ^k hvor ρ er den grunnleggende fremstilling av GL ( k , R ) på R- ^k . Isomorfismen er gitt av

${\ displaystyle [p, v] \ mapsto p (v)}$

hvor v er en vektor i R ^k og p  : R ^k → E _x er en ramme på x . Man kan enkelt kontrollere at dette kartet er veldefinert .

Enhver vektorknippe assosiert med E kan gis av konstruksjonen ovenfor. For eksempel er dobbeltbunten av E gitt av F ( E ) × _ρ* ( R ^k )* hvor ρ* er den dobbelte av den grunnleggende representasjonen. Tensorbunter av E kan konstrueres på lignende måte.

Tangent ramme bunt

Den tangent ramme bunt (eller ganske enkelt ramme bunt ) av en jevn manifold M er rammen bunt forbundet til den tangentbunten av M . Rammebunten til M er ofte betegnet F M eller GL ( M ) i stedet for F ( TM ). Hvis M er n -dimensjonale deretter tangentbunten har rang n , slik at rammen bunt av M er et hoved GL ( n , R ) pakke i løpet M .

Glatte rammer

Lokale deler av rammen bunt av M kalles myke rammer på M . Tverrsnittssetningen for hovedpakker sier at rammebunten er triviell over ethvert åpent sett i U i M som innrømmer en jevn ramme. Gitt en jevn ramme s  : U → F U , er trivialiseringen ψ: F U → U × GL ( n , R ) gitt av

${\ displaystyle \ psi (p) = (x, s (x)^{-1} \ circ p)}$

hvor p er en ramme på x . Det følger at en manifold er parallelliserbar hvis og bare hvis rammebunten til M innrømmer en global seksjon.

Siden tangentbunten av M er trivialiserbar over koordinatnabolag i M, er ramme -bunten det samme. Faktisk gitt et koordinatområde U med koordinater ( x ¹ ,…, x ⁿ ) koordinatvektorfeltene

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial} {\ partiell x^{1}}}, \ ldots, {\ frac {\ partiell} {\ delvis x^{n}}} \ høyre)}$

definerer en glatt ramme på U . En av fordelene med å jobbe med rammebunter er at de lar en arbeide med andre rammer enn koordinatrammer; man kan velge en ramme tilpasset problemet. Dette kalles noen ganger metoden for å flytte rammer .

Loddeform

Rammen bunt av en manifold M er en spesiell type av hovedbunten i den forstand at dens geometri er fundamentalt knyttet til geometrien av M . Dette forholdet kan uttrykkes ved hjelp av en vektorverdi 1-form på F M som kalles loddeformen (også kjent som den grunnleggende eller tautologiske 1-formen ). La x være et punkt på manifolden M og p en ramme på x , slik at

${\ displaystyle p: \ mathbf {R} ^{n} \ til T_ {x} M}$

er en lineær isomorfisme av R ⁿ med tangensrommet til M ved x . Loddeformen til F M er den R ⁿ -verdsatte 1 -formen θ definert av

${\ displaystyle \ theta _ {p} (\ xi) = p^{-1} \ mathrm {d} \ pi (\ xi)}$

hvor ξ er en tangensvektor til F M på punktet ( x , p ), og p ⁻¹  : T _x M  →  R ⁿ er inversen av rammekartet, og dπ er differensialen til projeksjonskartet π: F M → M . Loddeformen er horisontal i den forstand at den forsvinner på vektorer som tangerer fibrene til π og høyre ekvivalente i den forstand at

${\ displaystyle R_ {g}^{*} \ theta = g^{-1} \ theta}$

hvor R _g er riktig oversettelse av g ∈ GL ( n , R ). En form med disse egenskapene er kalt en basisk eller tensorial formen på F M . Slike former er i overensstemmelse med 1-1 TM -valued 1-former på M , som er i sin tur i 1-1 korrespondanse med jevn bunt kart TM → TM løpet M . Sett i dette lyset θ er bare identitetskartet på TM .

Som en navnekonvensjon er begrepet "tautologisk enform" vanligvis forbeholdt tilfellet der formen har en kanonisk definisjon, slik den gjør her, mens "loddeform" er mer passende for de tilfellene der formen ikke er kanonisk definert . Denne konvensjonen blir ikke observert her.

Ortonormal rammepakke

Hvis en vektorbunt E er utstyrt med en Riemannian -buntmetrisk, er hver fiber E _x ikke bare et vektorrom, men et indre produktrom . Det er da mulig å snakke om settet til alle ortonormale rammer for E _x . En ortonormal ramme for E _x er et ordnet ortonormalt grunnlag for E _x , eller tilsvarende en lineær isometri

${\ displaystyle p: \ mathbf {R} ^{k} \ til E_ {x}}$

der R ^k er utstyrt med standard euklidisk metrikk . Den ortogonale gruppen O ( k ) virker fritt og transittivt på settet til alle ortonormale rammer via riktig sammensetning. Med andre ord er settet til alle ortonormale rammer en riktig O ( k )- torsor .

Den orthonormal ramme bunt av E , betegnet F _O ( E ), er mengden av alle ortonormale rammer ved hvert punkt x i basis plass X . Den kan konstrueres ved en helt analog metode til den vanlige rammebunten. Den orthonormal ramme bunt av en rang k Riemannisk vektor bunt E → X er en hoved O ( k ) -bundle enn X . Igjen fungerer konstruksjonen like godt i kategorien glatt.

Hvis vektorbunten E er orienterbar, kan man definere den orienterte ortonormale rammebunten til E , betegnet F _SO ( E ), som den viktigste SO ( k ) -bunten for alle positivt orienterte ortonormale rammer.

Hvis M er en n -dimensjonal Riemannian manifold , så er den ortonormale rammebunten til M , betegnet F _O M eller O ( M ), den ortonormale rammebunten knyttet til tangentbunten til M (som er utstyrt med en Riemannian -metrikk per definisjon ). Hvis M er orienterbart, så har man også den orienterte ortonormal rammen bunten F _SO M .

Gitt en Riemannian vektorbunt E , er den ortonormale rammebunten en hoved O ( k )- underbunt av den generelle lineære rammebunten. Med andre ord inkluderingskartet

${\ displaystyle i: {\ mathrm {F}} _ {\ mathrm {O}} (E) \ to {\ mathrm {F}} _ {\ mathrm {GL}} (E)}$

er hovedpakken . Den ene sier at F _O ( E ) er en reduksjon av strukturgruppen til F _GL ( E ) fra GL ( k , R ) til O ( k ).

G -strukturer

Hvis en glatt manifold M kommer med tilleggsstruktur, er det ofte naturlig å vurdere en underbunt av fullrammebunten av M som er tilpasset den gitte strukturen. For eksempel, hvis M er en Riemannsk manifold Vi så ovenfor at det er naturlig å vurdere orthonormal ramme bunt av M . Den ortonormale rammebunten er bare en reduksjon av strukturgruppen til F _GL ( M ) til den ortogonale gruppen O ( n ).

Generelt, hvis M er en glatt n -manifold, og G er en Lie undergruppe av GL ( n , R ) definerer vi en G -struktur på M for å være en reduksjon av strukturen gruppe av F _GL ( M ) til G . Eksplisitt, er dette en hoved G -bundle F _G ( M ) over M sammen med en G -equivariant bunt kart

${\ displaystyle {\ mathrm {F}} _ {G} (M) \ to {\ mathrm {F}} _ {\ mathrm {GL}} (M)}$

løpet M .

I dette språk, en Riemannisk metrikk på M gir opphav til en O ( n ) -struktur på M . Følgende er noen andre eksempler.

• Hver orientert manifolden har en orientert ramme bunt som bare er en GL ⁺ ( n , R ) -struktur på M .
• Et volum skjema på M bestemmer en SL ( n , R ) -struktur på M .
• En 2 n -dimensjonal symplektisk manifold har en naturlig Sp (2 n , R ) -struktur.
• Et 2 n -dimensjonalt kompleks eller nesten komplekst manifold har en naturlig GL ( n , C ) -struktur.

I mange av disse tilfellene, en G -struktur på M bestemmer entydig den tilsvarende struktur på M . For eksempel, en SL ( n , R ) -struktur på M bestemmer et volum på skjema M . I noen tilfeller, for eksempel for symplektiske og komplekse manifolder, er det imidlertid nødvendig med en ekstra integrerbarhetstilstand . En Sp (2 n , R ) -struktur på M bestemmer unikt en ikke- generert 2-form på M , men for at M skal være symplektisk, må denne 2-formen også lukkes .

Referanser

• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry , vol. 1 (Ny red.), Wiley Interscience , ISBN 0-471-15733-3 |volume=har ekstra tekst ( hjelp )
• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Natural operators in differential geometry (PDF) , Springer-Verlag, arkivert fra originalen (PDF) 2017-03-30 , hentet 2008-08-02
• Sternberg, S. (1983), Lectures on Differential Geometry ((2. utg.) Red.), New York: Chelsea Publishing Co., ISBN 0-8218-1385-4