Frame bundel - Frame bundle

In wiskunde , een gestel bundel is een voornaamste vezelbundel F ( E ) behorende geven vectorbundel E . De vezel van F( E ) over een punt x is de verzameling van alle geordende basen , of frames , voor E _x . De algemene lineaire groep werkt natuurlijk op F( E ) via een verandering van basis , waardoor de framebundel de structuur krijgt van een hoofd-GL( k , R )-bundel (waarbij k de rangorde van E is ).

De framebundel van een gladde variëteit is degene die is gekoppeld aan de raakbundel . Om deze reden wordt het soms de raaklijnbundel genoemd .

Definitie en constructie

Zij E → X een reële vectorbundel van rang k over een topologische ruimte X . Een gestel op een punt x ∈ X een geordende basis van de vectorruimte E _x . Op equivalente wijze kan een frame worden gezien als een lineair isomorfisme

${\displaystyle p:\mathbf {R} ^{k}\naar E_{x}.}$

De verzameling van alle frames bij x , aangeduid met F _x , heeft een natuurlijke rechtswerking door de algemene lineaire groep GL( k , R ) van inverteerbare k × k matrices: een groepselement g ∈ GL( k , R ) werkt op het frame p via compositie om een ​​nieuw frame te geven

${\displaystyle p\circ g:\mathbf {R} ^{k}\naar E_{x}.}$

Deze actie van GL( k , R ) op F _x is zowel vrij als transitief (Dit volgt uit het standaard lineaire algebra-resultaat dat er een unieke inverteerbare lineaire transformatie is die de ene basis naar de andere stuurt). Als topologische ruimte, F _x is homeomorf GL ( k , r ) maar het ontbreekt aan een perimeter, aangezien er geen "voorkeur lijst". De ruimte F _x wordt gezegd dat een GL (be k , R ) - torsor .

De framebundel van E , aangeduid met F ( E ) of F _GL ( E ), is de disjuncte vereniging van alle F _x :

${\ Displaystyle \ mathrm {F} (E) = \ coprod _ {x \ in X} F_ {x}.}$

Elk punt in F( E ) is een paar ( x , p ) waarbij x een punt in X is en p een frame op x . Er is een natuurlijke projectie π : F ( E ) → X die ( x , p ) naar x stuurt . De groep GL( k , R ) werkt op F( E ) rechts zoals hierboven. Deze actie is duidelijk vrij en de banen zijn slechts de vezels van π.

Het frame bundel F ( E ) kunnen van een natuurlijke topologie en bundelstructuur bepaald door die van E . Laat ( U _i , φ _i ) een lokale trivialisering van E zijn . Dan heeft voor elke x ∈ U _i een lineair isomorfisme φ _{i , x}  : E _x → R ^k . Deze gegevens bepalen een bijectie

${\ Displaystyle \ psi _ {i}: \ pi ^ {-1} (U_ {i}) \ naar U_ {i} \ times \ mathrm {GL} (k, \ mathbf {R})}$

gegeven door

${\displaystyle \psi _{i}(x,p)=(x,\varphi _{i,x}\circ p).}$

Met deze bijecties kan aan elke π ⁻¹ ( U _i ) de topologie worden gegeven van U _i × GL( k , R ). De topologie op F( E ) is de uiteindelijke topologie die mede wordt geïnduceerd door de inclusiekaarten π ⁻¹ ( U _i ) → F ( E ).

Bij alle bovenstaande gegevens het frame bundel F ( E ) wordt een principal vezelbundel via X met structuurgroep GL ( k , R ) en lokale trivializations ({ U _i }, {ψ _i }). Men kan controleren of de overgangsfuncties van F( E ) dezelfde zijn als die van E .

Het bovenstaande werkt ook in de gladde categorie: als E een gladde vectorbundel is over een gladde variëteit M, dan kan de framebundel van E de structuur krijgen van een gladde hoofdbundel over M .

Bijbehorende vectorbundels

Een vectorbundel E en zijn framebundel F( E ) zijn geassocieerde bundels . Het een bepaalt het ander. De framebundel F( E ) kan worden geconstrueerd uit E zoals hierboven, of meer abstract met behulp van de vezelbundelconstructiestelling . Bij de laatste methode is F( E ) de vezelbundel met dezelfde basis, structuurgroep, bagatelliserende buurten en overgangsfuncties als E maar met abstracte vezel GL( k , R ), waarbij de werking van structuurgroep GL( k , R ) op de vezel GL( k , R ) is die van linker vermenigvuldiging.

Gegeven elke lineaire voorstelling ρ : GL( k , R ) → GL( V , F ) is er een vectorbundel

${\ Displaystyle \ mathrm {F} (E) \ keer _ {\ rho } V}$

geassocieerd met F( E ) die wordt gegeven door product F( E ) × V modulo de equivalentierelatie ( pg , v ) ~ ( p , ρ( g ) v ) voor alle g in GL( k , R ). Geef de equivalentieklassen aan met [ p , v ].

De vectorbundel E is van nature isomorf met de bundel F( E ) × _ρ R ^k waarbij ρ de fundamentele representatie is van GL( k , R ) op R ^k . Het isomorfisme wordt gegeven door

${\displaystyle [p,v]\mapsto p(v)}$

waarbij v een vector is in R ^k en p  : R ^k → E _x is een frame op x . Men kan gemakkelijk controleren of deze kaart goed gedefinieerd is .

Elke vectorbundel geassocieerd met E kan worden gegeven door de bovenstaande constructie. De dubbele bundel van E wordt bijvoorbeeld gegeven door F( E ) × _ρ* ( R ^k )* waarbij ρ* de duale is van de fundamentele representatie. Tensorbundels van E kunnen op een vergelijkbare manier worden geconstrueerd.

Tangent frame bundel

De raaklijnbundel (of gewoon de framebundel ) van een gladde variëteit M is de framebundel die is gekoppeld aan de raakbundel van M . Het frame bundel M wordt vaak aangeduid F M of GL ( M ) in plaats van F ( TM ). Indien M is n dimensionale dan de raakbundel heeft rang n , zodat het gestel bundel M een principal GL ( n , r ) bundelen in M .

Gladde frames

Lokale secties van de framebundel van M worden gladde frames op M genoemd . De dwarsdoorsnedestelling voor hoofdbundels stelt dat de framebundel triviaal is over elke open verzameling in U in M die een glad frame toelaat. Gegeven een glad frame s  : U → F U , wordt de trivialisering ψ : F U → U × GL( n , R ) gegeven door

${\displaystyle \psi (p)=(x,s(x)^{-1}\circ p)}$

waarbij p een frame is op x . Hieruit volgt dat een variëteit parallelliseerbaar is dan en slechts dan als de framebundel van M een globale doorsnede toelaat.

Omdat de raakbundel van M trivializeerbaar is over coördinaatbuurten van M , is de framebundel dat ook. In feite, gegeven elke coördinatenomgeving U met coördinaten ( x ¹ , ..., x ⁿ ) de coördinaatvectorvelden

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\ldots ,{\frac {\partial}{\partial x^{n}}}\right)}$

definieer een vloeiend frame op U . Een van de voordelen van het werken met framebundels is dat je hiermee kunt werken met andere frames dan coördinatenframes; men kan een frame kiezen dat aangepast is aan het probleem. Dit wordt ook wel de methode van bewegende frames genoemd .

soldeer vorm

De framebundel van een verdeelstuk M is een speciaal type hoofdbundel in die zin dat de geometrie ervan fundamenteel verbonden is met de geometrie van M . Deze relatie kan worden uitgedrukt met behulp van een -vectorwaardige 1-vorm van F M genoemd soldeer vorm (ook bekend als de fundamentele of tautologische 1-vorm ). Laat x een punt zijn van het spruitstuk M en p een frame op x , zodat

${\displaystyle p:\mathbf {R} ^{n}\naar T_{x}M}$

is een lineair isomorfisme van R ⁿ met de raakruimte van M op x . Het soldeer vorm van F M is R ⁿ -valued 1-vorm θ gedefinieerd

${\ Displaystyle \ theta _ {p} (\ xi ) = p ^ {-1} \ mathrm {d} \ pi (\ xi)}$

waarbij ξ een raakvector F M in het punt ( x , p ), en p ^-1  : T _x M  →  R ⁿ is het omgekeerde van het gestel kaart en dn is het verschil van de projectiekaart π: V M → M . De soldeervorm is horizontaal in die zin dat het verdwijnt op vectoren die raken aan de vezels van π en rechts equivariant in die zin dat

${\displaystyle R_{g}^{*}\theta =g^{-1}\theta}$

waarbij R _{g de} juiste vertaling is door g ∈ GL( n , R ). Een vorm met deze eigenschappen wordt op F M een basis- of tensoriale vorm genoemd . Dergelijke vormen zijn in overeenstemming met 1-1 TM -valued 1-formulieren M die, op hun beurt, in 1-1 correspondentie met glanzend bundel kaarten TM → TM boven M . In dit licht bezien is θ slechts de identiteitskaart op TM .

Als naamgevingsconventie is de term "tautologische één-vorm" meestal gereserveerd voor het geval dat de vorm een ​​canonieke definitie heeft, zoals hier, terwijl "soldeervorm" meer geschikt is voor die gevallen waarin de vorm niet canoniek is gedefinieerd . Deze afspraak wordt hier niet nageleefd.

Orthonormale framebundel

Als een vectorbundel E is voorzien van een Riemannian bundel metriek vervolgens elke vezel E _x is niet alleen een vectorruimte maar een inproductruimte . Het is dan mogelijk om te praten over de verzameling van alle orthonormale frames voor E _x . Een orthonormaal frame voor E _x is een geordende orthonormale basis voor E _x , of equivalent, een lineaire isometrie

${\displaystyle p:\mathbf {R} ^{k}\naar E_{x}}$

waarbij R ^k is uitgerust met de standaard Euclidische metriek . De orthogonale groep O( k ) werkt vrij en transitief op de verzameling van alle orthonormale frames via de juiste compositie. Met andere woorden, de verzameling van alle orthonormale frames is een rechter O( k ) -torsor .

De orthonormale framebundel van E , aangeduid met F _O ( E ), is de verzameling van alle orthonormale frames op elk punt x in de basisruimte X . Het kan worden geconstrueerd met een methode die geheel analoog is aan die van de gewone framebundel. De orthonormale raamwerkbundel van een rang k Riemann-vectorbundel E → X is een hoofd-O( k )-bundel over X . Nogmaals, de constructie werkt net zo goed in de soepele categorie.

Indien de vectorbundel E is oriënteerbaar en hierbij kan het bepalen georiënteerde orthonormale gestel bundel van E , F aangeduid _SO ( E ), als voornaamste SO ( k ) -bundle van positief georiënteerde orthonormale frames.

Als M een n- dimensionaal Riemann-spruitstuk is , dan is de orthonormale raamwerkbundel van M , aangeduid met F _O M of O( M ), de orthonormale raamwerkbundel die hoort bij de raakbundel van M (die per definitie is uitgerust met een Riemann-metriek ). Als M oriënteerbaar is, dan heeft men ook de georiënteerde orthonormale framebundel _FSO M .

Gegeven een Riemann-vectorbundel E , is de orthonormale framebundel een hoofd O( k )- subbundel van de algemene lineaire framebundel . Met andere woorden, de inclusiekaart

${\ Displaystyle ik: {\ mathrm {F} } _ {\ mathrm {O} } (E) \ naar {\ mathrm {F} } _ {\ mathrm {GL} } (E)}$

is de hoofdbundelkaart . Men zegt dat F _O ( E ) een reductie is van de structuurgroep van F _GL ( E ) van GL ( k , R ) naar O ( k ).

G -structuren

Als een gladde spruitstuk M een extra structuur heeft, is het vaak logisch om een ​​subbundel van de volledige framebundel van M te overwegen die is aangepast aan de gegeven structuur. Als M bijvoorbeeld een Riemann-variëteit is, hebben we hierboven gezien dat het normaal is om de orthonormale framebundel van M te beschouwen . De orthonormale framebundel is slechts een reductie van de structuurgroep van F _GL ( M ) tot de orthogonale groep O ( n ).

In het algemeen, wanneer M een glad n -manifold en G is een Lie subgroep van GL ( n , R ) definiëren we een G -structuur op M te zijn een vermindering van de structuurgroep F _GL ( M ) tot G . Expliciet Dit is een voornaamste G -bundle F _G ( M ) over M met een G -equivariant bundel map

${\ Displaystyle {\ mathrm {F} } _ {G} (M) \ naar {\ mathrm {F} } _ {\ mathrm {GL} } (M)}$

boven M .

In deze taal geeft een Riemannse metriek op M aanleiding tot een O( n )-structuur op M . Hieronder volgen enkele andere voorbeelden.

• Elk georiënteerd spruitstuk heeft een georiënteerde framebundel die slechts een GL ⁺ ( n , R )-structuur op M is .
• Een volumevorm op M bepaalt een SL( n , R )-structuur op M .
• Een 2 n- dimensionaal symplectisch spruitstuk heeft een natuurlijke Sp(2 n , R )-structuur.
• Een 2 n- dimensionaal complex of bijna complex spruitstuk heeft een natuurlijke GL( n , C )-structuur.

In veel van deze gevallen een G -structuur op M bepaalt op unieke wijze de corresponderende structuur op M . Zo bepaalt een SL( n , R )-structuur op M een volumevorm op M . In sommige gevallen, zoals voor symplectische en complexe variëteiten, is echter een extra integreerbaarheidsvoorwaarde nodig. Een Sp(2 n , R )-structuur op M bepaalt op unieke wijze een niet - ontaarde 2-vorm op M , maar wil M symplectisch zijn, dan moet deze 2-vorm ook gesloten zijn .

Referenties

• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Grondslagen van differentiële meetkunde , Vol. 1 (Nieuwe red.), Wiley Interscience , ISBN 0-471-15733-3 |volume=heeft extra tekst ( help )
• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Natuurlijke operatoren in differentiële meetkunde (PDF) , Springer-Verlag, gearchiveerd van het origineel (PDF) op 30-03-2017 , teruggewonnen 2008-08-02
• Sternberg, S. (1983), Lezingen over differentiaalmeetkunde ((2e ed.) ed.), New York: Chelsea Publishing Co., ISBN 0-8218-1385-4