Zonální sférická funkce - Zonal spherical function

V matematiky , je zonální sférické funkce nebo často jen sférické funkce je funkce na místně kompaktní skupiny G s kompaktní podskupiny K (často maximální kompaktní podskupiny ), který vzniká jako koeficient matice části K -invariant vektoru v ireducibilní zobrazení z G . Klíčovými příklady jsou matrice koeficienty kulové hlavní řady , je ireducibilní reprezentace vyskytující se v rozkladem jednotné zastoupení z G na L ²( G / K ). V tomto případě je komutantu z G je generován algebry biinvariant funkcí na G , pokud jde o K působící pravým konvoluce . Je komutativní -li navíc G / K je symetrický prostor , například když G je připojený polojednoduché Lie skupina s konečnou středu a K je maximální kompaktní podskupina. Maticové koeficienty sférické hlavní řady přesně popisují spektrum odpovídající C* algebry generované biinvariantními funkcemi kompaktní podpory , často nazývané Heckeova algebra . Spektrum komutativní Banach *-algebry biinvariantních funkcí L ¹ je větší; když G je poloprostá Lieova skupina s maximální kompaktní podskupinou K , další znaky pocházejí z maticových koeficientů doplňkové řady , získané analytickým pokračováním sférické hlavní řady.

Haron -Chandra výslovně určil zónové sférické funkce pro skutečné poloprosté skupiny . Pro speciální lineární skupiny je nezávisle objevili Israel Gelfand a Mark Naimark . U složitých skupin, teorie podstatně zjednodušuje, protože G je complexification z K , a vzorce jsou spojené s analytickými pokračováním v charakteru vzorce Weyl, na K . Abstraktní funkční analytická teorie zónových sférických funkcí byla poprvé vyvinuta Rogerem Godementem . Na rozdíl od jejich skupiny teoretického výkladu, zonální sférické funkce pro polojednoduché Lie skupiny G také řadu současných vlastních funkcí pro přírodní působení středu univerzální obalové algebry z G na L ² ( G / K ), jak diferenciálních operátorů na symetrické prostoru G / k . U poloprostých p-adických Lieových skupin byla teorie zónových sférických funkcí a Heckeových algeber poprvé vyvinuta Satakeem a Ianem G. Macdonaldem . Analogy Plancherelovy věty a Fourierova inverzního vzorce v tomto nastavení generalizují rozšíření vlastní funkce Mehlera, Weyla a Focka pro singulární obyčejné diferenciální rovnice : byly získány v plné obecnosti v šedesátých letech minulého století, pokud jde o c-funkci Harish-Chandry .

Název „zonální sférická funkce“ pochází z případu, kdy G je SO (3, R ) působící na 2 sféry a K je podskupina určující bod: v tomto případě mohou být zonální sférické funkce považovány za určité funkce na koule invariantní pod rotací kolem pevné osy.

Definice

Nechť G být lokálně kompaktní unimodular topologické skupinu a K kompaktní podskupina a nechat H ₁ = L ² ( G / K ). Tak H ₁ připouští jednotné zastoupení n a G levým překladu. Toto je subreprezentace pravidelné reprezentace, protože pokud H = L ² ( G ) s levou a pravou pravidelnou reprezentací λ a ρ G a P je ortogonální projekce

${\ Displaystyle P = \ int _ {K} \ rho (k) \, dk}$

od H do H _1, pak H ₁ lze přirozeně identifikovat s PH působením G daným omezením λ.

Na druhé straně von Neumannovou větou o komutaci

${\ Displaystyle \ lambda (G)^{\ prime} = \ rho (G)^{\ prime \ prime},}$

kde S ' označuje komutant sady operátorů S , takže

${\ Displaystyle \ pi (G)^{\ prime} = P \ rho (G)^{\ prime \ prime} P.}$

Komutant π je tedy generován operátorem jako von Neumannova algebra

${\ Displaystyle P \ rho (f) P = \ int _ {G} f (g) (P \ rho (g) P) \, dg}$

kde f je spojitá funkce kompaktní podpory na G .

Nicméně P ρ ( f ) P je pouze omezení ρ ( F ) na H ₁ , kde

${\ Displaystyle F (g) = \ int _ {K} \ int _ {K} f (kgk^{\ prime}) \, dk \, dk^{\ prime}}$

je spojitá funkce K -biinvariant kompaktní podpory získaná průměrováním f na K na obou stranách.

Tak komutantu z n generuje omezení provozovatelů p ( F ), s F v C _c ( K \ G / K ), přičemž K -biinvariant spojité funkce kompaktní podpory na G .

Tyto funkce tvoří * algebru pod konvolucí s involucí

${\ displaystyle F^{*} (g) = {\ overline {F (g^{-1})}},}$

často nazývaná Heckeova algebra pro dvojici ( G , K ).

Nechť A ( K \ G / K ) označuje algebru C* generovanou operátory ρ ( F ) na H ₁ .

Dvojice ( G , K ) se říká, že je Gelfandovým párem, pokud je jedna, a tedy všechny následující algebry komutativní :

• ${\ displaystyle \ pi (G)^{\ prime}}$
• ${\ displaystyle C_ {c} (K \ zpětné lomítko G/K)}$
• ${\ Displaystyle A (K \ zpětné lomítko G/K).}$

Vzhledem k tomu, ( K \ G / K ) je komutativní C * algebry , podle Gelfand-Naimark teorém , že má tvar C ₀ ( X ), kde X je lokálně kompaktní prostor normativních kontinuální * homomorfismů z A ( K \ G / K ) na C .

Konkrétní realizace * homomorfismů v X jako K -biinvariant jednotně ohraničených funkcí na G se získá následujícím způsobem.

Kvůli odhadu

${\ Displaystyle \ | \ pi (F) \ | \ leq \ int _ {G} | F (g) | \, dg \ equiv \ | F \ | _ {1},}$

zastoupení π o C _c ( K \ G / K ) v A ( K \ G / K ) prochází kontinuita na L ¹ ( K \ G / K ), k * algebry z K -biinvariant integrovatelných funkcí. Obraz tvoří hustou * subalgebru A ( K \ G / K ). Omezení a * homomorfismu χ spojité pro operátorovou normu je také spojité pro normu || · || ₁ . Protože Banachův prostorový duál L ¹ je L ^∞ , vyplývá z toho

${\ Displaystyle \ chi (\ pi (F)) = \ int _ {G} F (g) h (g) \, dg,}$

pro některé unikátní jednotně vymezené K -biinvariant funkce h na G . Tyto funkce h jsou přesně zonální sférické funkce pro dvojici ( G , K ).

Vlastnosti

Zónová sférická funkce h má následující vlastnosti:

1. h je na G rovnoměrně spojité
2. ${\ Displaystyle h (x) h (y) = \ int _ {K} h (xky) \, dk \, \, (x, y \ v G).}$
3. h (1) = 1 (normalizace)
4. h je pozitivní určitá funkce na G
5. f * h je úměrné h pro všechna f v C _c ( K \ G / K ).

To jsou snadné důsledky skutečnosti, že ohraničená lineární funkční χ definovaná h je homomorphism. Vlastnosti 2, 3 a 4 nebo vlastnosti 3, 4 a 5 charakterizují zónové sférické funkce. Obecnější třídu zónových sférických funkcí lze získat vypuštěním pozitivní definitivity z podmínek, ale pro tyto funkce již neexistuje žádné spojení s unitárními reprezentacemi . U semisimple Lieových skupin existuje další charakterizace jako vlastní funkce invariantních diferenciálních operátorů na G / K (viz níže).

Ve skutečnosti, jako zvláštní případ konstrukce Gelfand – Naimark – Segal , existuje jedna-jedna shoda mezi neredukovatelnými reprezentacemi σ G s jednotkovým vektorem v fixovaným K a zonálními sférickými funkcemi h danými

${\ Displaystyle h (g) = (\ sigma (g) v, v).}$

Takové neredukovatelné reprezentace jsou často popisovány jako třídy první . Jsou to přesně neredukovatelné reprezentace potřebné k rozložení indukované reprezentace π na H ₁ . Každá reprezentace σ se jedinečně rozšiřuje o spojitost na A ( K \ G / K ), takže každá zónová sférická funkce splňuje

${\ Displaystyle \ left | \ int _ {G} f (g) h (g) \, dg \ right | \ leq \ | \ pi (f) \ |}$

pro f v A ( K \ G / K ). Navíc, protože komutant π ( G ) 'je komutativní, existuje v prostoru homomorfismů X jedinečná míra pravděpodobnosti μ , takže

${\ Displaystyle \ int _ {G} | f (g) |^{2} \, dg = \ int _ {X} | \ chi (\ pi (f)) |^{2} \, d \ mu ( \ chi).}$

μ se nazývá Plancherelova míra . Protože π ( G ) 'je středem von Neumannovy algebry generované G , udává také míru spojenou s přímým integrálním rozkladem H ₁ z hlediska neredukovatelných reprezentací σ _χ .

Gelfandové páry

Pokud G je připojen Lie skupina , pak díky práci Cartan , Malcev , Iwasawa a Chevalley , G má maximální kompaktní podskupinu , jedinečný až do konjugace. V tomto případě je K spojeno a kvocient G / K je do euklidovského prostoru diffeomorfní. Když je G navíc polojednoduchý , lze to vidět přímo pomocí Cartanova rozkladu spojeného se symetrickým prostorem G / K , což je zobecnění polárního rozkladu invertibilních matic. Skutečně, pokud τ je asociovaná perioda dva automorfismus G s podskupinou K s pevným bodem , pak

${\ Displaystyle G = P \ cdot K,}$

kde

${\ Displaystyle P = \ {g \ v G | \ tau (g) ​​= g^{-1} \}.}$

Pod exponenciální mapy , P je diffeomorphic na -1 eigenspace o ▼ se v lživé algebře z G . Protože τ zachovává K , indukuje automorfismus Heckeovy algebry C _c ( K \ G / K ). Na druhou stranu, pokud F leží v C _c ( K \ G / K ), pak

F (τ g ) = F ( g ⁻¹ ),

takže τ indukuje anti-automorfismus, protože inverze ano. Když je tedy G poloviční,

• Heckeova algebra je komutativní
• ( G , K ) je pár Gelfandů.

Obecněji stejný argument udává následující kritérium Gelfanda, aby ( G , K ) byl pár Gelfandů:

• G je unimodulární lokálně kompaktní skupina;
• K je kompaktní podskupina vznikající jako pevné body období dva automorfismus τ G ;
• G = K · P (nemusí jít o přímý produkt), kde P je definováno výše.

Dva nejdůležitější příklady, kterých se to týká, jsou, když:

• G je kompaktní propojená semisimple Lieova skupina s τ automorfismu období dvě;
• G je semidirect produkt , s A místně kompaktní abelovská skupina bez 2-kroucení a ▼ se ( · K ) = k · ^-1 pro v A a k v K .${\ Displaystyle A \ rtimes K}$

Tyto tři případy pokrývají tři typy symetrických prostorů G / K :

1. Nekompaktní typ , když K je maximální kompaktní podskupina nekompaktní skutečné poloprosté Lieovy skupiny G ;
2. Kompaktní typ , když K je podskupina s pevným bodem období dva automorfismus kompaktního poloprostého Lieova skupina G ;
3. Euklidovská typu , když je konečná-rozměrný euklidovský prostor s ortogonálním působením K .

Cartan – Helgasonova věta

Nechť G je kompaktní poloprostě propojená a jednoduše spojená Lieova skupina a τ perioda dva automorfismus G s podskupinou pevných bodů K = G ^τ . V tomto případě K je spojená kompaktní Lieova skupina. Dále ať T být maximální torus z G invariantní ▼, tak, že T P je maximální torus v P , a sada ${\ displaystyle \ cap}$

${\ Displaystyle S = K \ cap T = T^{\ tau}.}$

S je přímým produktem torusu a elementární abelianské 2-skupiny .

V roce 1929 élie cartan nalezeno pravidlo pro určení rozklad L ² ( G / K ) do přímého součet konečných-dimenzionální ireducibilních reprezentací z G , která byla prokázána důsledně jen v roce 1970 Sigurður Helgason . Protože komutant G na L ² ( G / K ) je komutativní, každá neredukovatelná reprezentace se objeví s multiplicitou jedna. Tím, Frobeniova reciprocity kompaktních skupin je ireducibilní reprezentace V , které se vyskytují, jsou právě ty, které připouští nenulovou vektor stanovenou K .

Z teorie reprezentace kompaktních semisimple skupin jsou neredukovatelné reprezentace G klasifikovány podle jejich nejvyšší hmotnosti . To je specifikována homomorfismu na maximální anuloidu T do T .

Tyto Cartan-Helgason věta se uvádí, že

jsou ireducibilní reprezentace G vpuštění nenulový vektor stanovenou K , jsou právě ty, které s nejvyšší hmotností odpovídající homomorfismů triviální na S .

Odpovídající neredukovatelné reprezentace se nazývají sférické reprezentace .

Tuto větu lze dokázat pomocí Iwasawova rozkladu :

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {k}} \ oplus {\ mathfrak {a}} \ oplus {\ mathfrak {n}},}$

kde , , jsou complexifications těchto algeber z G , K , A, = T P a ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {k}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$ ${\ displaystyle \ cap}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {n}} = \ bigoplus {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha},}$

sečteno na všech vlastních prostorech pro T v odpovídajících kladných kořenech α nefixovaných τ. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Nechť V být sférický reprezentace s nejvyšším hmotnostním vektorem V ₀ a K -fixed vektor v _K . Vzhledem k tomu, v ₀ je vlastní vektor řešitelná algebry lži je Poincaré-Birkhoffova-Witt věta znamená, že K -module generovaný V ₀ je celé V . Pokud Q je ortogonální projekce na pevné body K ve V získaná zprůměrováním přes G s ohledem na Haarovu míru , vyplývá z toho, že ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} \ oplus {\ mathfrak {p}}}$

${\ displaystyle \ displaystyle {v_ {K} = cQv_ {0}}}$

pro nějakou nenulovou konstantu c . Vzhledem k tomu, v _K je stanovena S a v ₀ je vlastní vektor pro S , podskupina S , musí být skutečně opravit V ₀ , ekvivalentní forma stavu trivialitou na S .

Naopak je -li v ₀ fixováno pomocí S , pak lze ukázat, že maticový koeficient

${\ displaystyle \ displaystyle {f (g) = (gv_ {0}, v_ {0})}}$

je na K nezáporná . Vzhledem k tomu, f (1)> 0, z toho vyplývá, že ( Qv ₀ , v ₀ )> 0, a tím, že Qv ₀ je nenulový vektor stanovena K .

Harish-Chandrův vzorec

Pokud G je nekompaktní poloprostá Lieova skupina, její maximální kompaktní podskupina K působí konjugací na složku P v Cartanově rozkladu . Pokud je maximální abelovská podskupina G obsažené v P , pak je diffeomorphic jeho algebry lži pod exponenciální mapě a, jako další zobecnění z polárního rozkladu matric, každý prvek P je konjugát v K na prvek A , takže

G = KAK .

Existuje také související rozklad Iwasawa

G = KAN ,

kde N je uzavřená nilpotentní podskupina, diffeomorphic jeho algebry lži pod exponenciální mapě a normalizovány A . Tak S = je uzavřený řešitelný podskupina z G , v semidirect produkt z N o A , a G = KS .

Pokud α v Hom ( A , T ) je charakter z A , pak α vztahuje na charakteru S , tím, že definuje to být triviální na N . Existuje odpovídající unitární indukovaná reprezentace σ G na L ² ( G / S ) = L ² ( K ), takzvaná (sférická) reprezentace hlavní řady .

Tuto reprezentaci lze explicitně popsat následovně. Na rozdíl od G a K není rozpustná Lieova skupina S neimodulární. Nechť dx značí opustil neměnný opatření Haar na S a Δ _S modulární funkce na S . Pak

${\ Displaystyle \ int _ {G} f (g) \, dg = \ int _ {S} \ int _ {K} f (x \ cdot k) \, dx \, dk = \ int _ {S} \ int _ {K} f (k \ cdot x) \ Delta _ {S} (x) \, dx \, dk.}$

Hlavní reprezentace řady σ je realizována na L ² ( K ) as

${\ Displaystyle (\ sigma (g) \ xi) (k) = \ alpha^{\ prime} (g^{-1} k)^{-1} \, \ xi (U (g^{-1} k)),}$

kde

${\ Displaystyle g = U (g) \ cdot X (g)}$

je Iwasawův rozklad g pomocí U ( g ) v K a X ( g ) v S a

${\ Displaystyle \ alpha ^{\ prime} (kx) = \ Delta _ {S} (x) ^{1/2} \ alpha (x)}$

pro k v K a x v S .

Reprezentace σ je neredukovatelná, takže pokud v označuje konstantní funkci 1 na K , fixovanou K ,

${\ Displaystyle \ varphi _ {\ alpha} (g) = (\ sigma (g) v, v)}$

definuje zonální sférické funkce G .

Výpočet vnitřního produktu výše vede k Harish-Chandrově vzorci pro zonální sférickou funkci

${\ Displaystyle \ varphi _ {\ alpha} (g) = \ int _ {K} \ alpha ^{\ prime} (gk) ^{-1} \, dk}$

jako integrální přes K .

Harish-Chandra dokázal, že tyto zónové sférické funkce vyčerpávají znaky algebry C* generované C _c ( K \ G / K ) působícími pravou konvolucí na L ² ( G / K ). On také ukázal, že dvě různé znaky α a β dát stejnou zonální sférické funkce, právě když α = β · s , kde s je ve skupině Weyl z A

${\ displaystyle W (A) = N_ {K} (A)/C_ {K} (A),}$

kvocient Normaliser části A v K podle jeho Centrátor , v konečné reflexní skupiny .

Lze také přímo ověřit, že tento vzorec definuje zonální sférickou funkci, bez použití teorie reprezentace. Důkaz obecné poloprosté Lieových skupin, že každý zónový sférický vzorec vzniká tímto způsobem, vyžaduje podrobnou studii G - invariantních diferenciálních operátorů na G / K a jejich simultánních vlastních funkcí (viz níže). V případě složitých semiminimálních skupin si Harish-Chandra a Felix Berezin nezávisle uvědomili, že vzorec se značně zjednodušil a lze jej přímo dokázat.

Zbývající kladně určité zonální sférické funkce jsou dány Harish-Chandrovým vzorcem s α v Hom ( A , C *) namísto Hom ( A , T ). Jsou povoleny pouze určité α a odpovídající neredukovatelné reprezentace vznikají jako analytické pokračování sférické hlavní řady. Tuto takzvanou „ doplňkovou řadu “ poprvé studoval Bargmann (1947) pro G = SL (2, R ) a Harish-Chandra (1947) a Gelfand & Naimark (1947) pro G = SL (2, C ). Následně v 60. letech 20. století byla systematicky vyvinuta komplementární řada analytickým pokračováním sférické hlavní řady pro obecné poloprosté Lieovy skupiny Ray Kunze, Elias Stein a Bertram Kostant . Protože tyto neredukovatelné reprezentace nejsou temperovány , nejsou obvykle vyžadovány pro harmonickou analýzu na G (nebo G / K ).

Vlastní funkce

Harish-Chandra ukázala, že zonální sférické funkce mohou být charakterizovány jako ty normalizovaných pozitivně definitní K -invariant funkcí na G / K , které jsou vlastní funkce z D ( G / K ), algebře invariantních diferenciálních operátorů na G . Tato algebra působí na G / K a dojíždí přirozeným působením G levým překladem. To může být identifikován s podalgebry o univerzální obalové algebry z G pevné pod adjoint akci z K . Pokud jde o komutant G na L ² ( G / K ) a odpovídající Heckeovu algebru, tato algebra operátorů je komutativní ; ve skutečnosti je to subalgebra algebry měřitelných operátorů přidružených k komutantu π ( G ) ', algebře Abelian von Neumann. Jak Harish-Chandra dokázal, je izomorfní s algebrou W ( A ) -variantních polynomů na Lieově algebře A , která sama je polynomickým prstencem podle Chevalley – Shephard – Toddovy věty o polynomiálních invariantech konečných reflexních skupin . Nejjednodušším invariantním diferenciálním operátorem na G / K je Laplaciánský operátor ; až do znamení tento operátor je jen obraz v n o provozovatele Casimir v centru univerzální obalové algebry G .

Normalizovaná pozitivní definitivní K -biinvariantní funkce f na G je tedy zonální sférická funkce právě tehdy, když pro každé D v D ( G / K ) existuje konstanta λ _D taková, že

${\ Displaystyle \ displaystyle \ pi (D) f = \ lambda _ {D} f,}$

tj. f je současná vlastní funkce operátorů π ( D ).

Pokud ψ je zonální sférická funkce, pak je považována za funkci na G / K , je to vlastní funkce Laplaciana, eliptického diferenciálního operátoru se skutečnými analytickými koeficienty. Podle analytické eliptické pravidelnosti , ψ je reálná analytická funkce na G / K , a tím i G .

Harish-Chandra použil tato fakta o struktuře invariantních operátorů, aby dokázal, že jeho vzorec dával všechny zónové sférické funkce pro skutečné poloprosté Lieovy skupiny. Komutativita komutantu skutečně znamená, že všechny simultánní vlastní prostory algebry invariantních diferenciálních operátorů mají dimenzi jedna; a polynomická struktura této algebry nutí současná vlastní čísla být přesně ta, která jsou již spojená s Harish-Chandrovým vzorcem.

Příklad: SL (2, C)

Skupina G = SL (2, C ) je complexification z kompaktního lži skupiny K = SU (2) a dvojitým víkem na Lorentzovy grupy . Nekonečně dimenzionální reprezentace Lorentzovy skupiny byly poprvé studovány Diracem v roce 1945, který zvažoval diskrétní série reprezentací, které nazval expanzory . Systematickou studii krátce poté zahájili Harish-Chandra, Gelfand – Naimark a Bargmann. Neredukovatelné reprezentace první třídy, odpovídající zonálním sférickým funkcím, lze snadno určit pomocí radiální složky laplaciánského operátoru .

Skutečně jakýkoli unimodulární komplex 2 × 2 matice g připouští jedinečný polární rozklad g = pv s v jednotkovým a p kladným. Na druhé straně p = UAU * s u jednotný a diagonální matice s pozitivní záznamy. Tedy g = uaw s w = u * v , takže jakákoli K -biinvariantní funkce na G odpovídá funkci diagonální matice

${\ Displaystyle a = {\ begin {pmatrix} e^{r/2} & 0 \\ 0 & e^{-r/2} \ end {pmatrix}},}$

invariantní pod Weylovou skupinou. Identifikace G / K s hyperbolickým 3-prostorem, zónové hyperbolické funkce ψ odpovídají radiálním funkcím, které jsou vlastními funkcemi Laplacianu. Ale pokud jde o radiální souřadnici r , Laplacián je dán vztahem

${\ Displaystyle L =-\ částečné _ {r}^{2} -2 \ coth r \ částečné _ {r}.}$

Nastavení f ( r ) = sinh ( r ) · ψ ( r ), to znamená, že f je lichá z r a vlastní funkce na . ${\ Displaystyle \ partial _ {r}^{2}}$

Proto

${\ Displaystyle \ varphi (r) = {\ sin (\ ell r) \ over \ ell \ sinh r}}$

kde je skutečné. ${\ displaystyle \ ell}$

Podobné obecné zacházení pro zobecněné Lorentzovy skupiny SO ( N , 1) existuje v Takahashi (1963) a Faraut & Korányi (1994) (připomeňme, že SO ⁰ (3,1) = SL (2, C ) / ± I) .

Složitý případ

Jestliže G je komplexní polojednoduché Lie skupina, to je complexification jeho maximální kompaktní podskupiny K . Pokud a jsou to jejich Lieovy algebry, pak ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {k}}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {k}} \ oplus i {\ mathfrak {k}}.}$

Nechť T je maximální torus v K s Lieovou algebrou . Pak ${\ displaystyle {\ mathfrak {t}}}$

${\ Displaystyle A = \ exp i {\ mathfrak {t}}, \, \, P = \ exp i {\ mathfrak {k}}.}$

Nechat

${\ displaystyle W = N_ {K} (T)/T}$

je skupina Weyl z T v K . Vyvolávací znaky v Hom ( T , T ) se nazývají váhy a lze je identifikovat s prvky váhové mřížky Λ v Hom ( , R ) = . Existuje přirozené uspořádání hmotností a každá konečně dimenzionální neredukovatelná reprezentace (π, V ) K má jedinečnou nejvyšší hmotnost λ. Hmotnosti adjoint zastoupení z K na se nazývají kořeny a ρ se používá k označení polovinu součet kladných kořenů a, charakter vzorec Weyl tvrdí, že pro Z = exp X v T${\ displaystyle {\ mathfrak {t}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {t}}^{*}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {k}} \ ominus {\ mathfrak {t}}}$

${\ Displaystyle \ displaystyle \ chi _ {\ lambda} (e^{X}) \ equiv {\ rm {Tr}} \, \ pi (z) = A _ {\ lambda +\ rho} (e^{X} )/A _ {\ rho} (e^{X}),}$

kde, pro u in , _μ označuje antisymmetrisation ${\ displaystyle {\ mathfrak {t}}^{*}}$

${\ Displaystyle \ displaystyle A _ {\ mu} (e^{X}) = \ sum _ {s \ in W} \ varepsilon (s) e^{i \ mu (sX)},}$

a ε označuje znaménkem na konečných reflexní skupiny W .

Weylův jmenovatel vyjadřuje jmenovatele A _ρ jako součin:

${\ Displaystyle \ Displaystyle A _ {\ rho} (e^{X}) = e^{i \ rho (X)} \ prod _ {\ alpha> 0} (1-e^{-i \ alpha (X) }),}$

kde je produkt nad pozitivními kořeny.

Weylův vzorec dimenze to potvrzuje

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ chi _ {\ lambda} (1) \ equiv {\ rm {dim}} \, V = {\ prod _ {\ alpha> 0} (\ lambda +\ rho, \ alpha) \ přes \ prod _ {\ alpha> 0} (\ rho, \ alpha)}.}$

kde vnitřní produkt na se tím, že k formě smrtící na . ${\ displaystyle {\ mathfrak {t}}^{*}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {k}}}$

Nyní

• každá neredukovatelná reprezentace K se holomorfně rozšiřuje na komplexifikaci G
• každý neredukovatelný znak χ _λ ( k ) K se holomorfně rozšiřuje na komplexifikaci K a .${\ displaystyle {\ mathfrak {t}}^{*}}$
• pro každé λ v Hom ( A , T ) = existuje zonální sférická funkce φ _λ .${\ displaystyle i {\ mathfrak {t}}^{*}}$

Berezin-Harish-Chandra vzorec tvrdí, že pro X v${\ displaystyle i {\ mathfrak {t}}}$

${\ Displaystyle \ varphi _ {\ lambda} (e^{X}) = {\ chi _ {\ lambda} (e^{X}) \ over \ chi _ {\ lambda} (1)}.}$

Jinými slovy:

• zónové sférické funkce na komplexní poloprosté Lieově skupině jsou dány analytickým pokračováním vzorce pro normalizované znaky.

Jeden z nejjednodušších důkazů této formule zahrnuje radiální složku na A Laplaciana na G , což je důkaz formálně rovnoběžný s Helgasonovým přepracováním Freudenthalova klasického důkazu formule Weyla pomocí radiální složky na T Laplacianu na K .

V posledně uvedeném případě se funkce třídy na K, mohou být identifikovány s W -invariant funkcí na T . Radiální složka Δ _K na T je pouze výrazem pro omezení Δ _K na W -variantní funkce na T , kde je dána vzorcem

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ Delta _ {K} = h^{-1} \ circ \ Delta _ {T} \ circ h+\ | \ rho \ |^{2},}$

kde

${\ displaystyle \ displaystyle h (e^{X}) = A _ {\ rho} (e^{X})}$

pro X v . Pokud χ je znak s nejvyšší hmotností λ, vyplývá z toho, že φ = h · χ splňuje ${\ displaystyle {\ mathfrak {t}}}$

${\ Displaystyle \ Delta _ {T} \ varphi = (\ | \ lambda +\ rho \ |^{2}-\ | \ rho \ |^{2}) \ varphi.}$

Tedy pro každou hmotnost μ s nenulovým Fourierovým koeficientem v φ,

${\ displaystyle \ displaystyle \ | \ lambda +\ rho \ |^{2} = \ | \ mu +\ rho \ |^{2}.}$

Klasický Freudenthalov argument ukazuje, že μ + ρ musí mít pro některá s ve W formu s (λ + ρ) , takže znakový vzorec vyplývá z antisymetrie φ.

Podobně K -biinvariant funkce na G mohou být identifikovány s W ( A ) -invariant funkce na A . Radiální složka delta _G na A, je jen výraz pro omezení delta _G na W ( A ) -invariant funkce na A . Je to dáno vzorcem

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ Delta _ {G} = H^{-1} \ circ \ Delta _ {A} \ circle H- \ | \ rho \ |^{2},}$

kde

${\ displaystyle \ displaystyle H (e^{X}) = A _ {\ rho} (e^{X})}$

pro X v . ${\ displaystyle i {\ mathfrak {t}}}$

Vzorec Berezin – Harish – Chandra pro zónovou sférickou funkci φ lze stanovit zavedením antisymetrické funkce

${\ Displaystyle \ displaystyle f = H \ cdot \ varphi,}$

což je vlastní funkce Laplacian delta _A . Protože K je generován kopiemi podskupin, které jsou homomorfními obrazy SU (2) odpovídajícími jednoduchým kořenům , je jeho komplexizace G generována odpovídajícími homomorfními obrazy SL (2, C ). Vzorec pro zonální sférické funkce SL (2, C ) znamená, že F je periodická funkce na vzhledem k nějakému sublattice . Antisymetrie pod Weylovou skupinou a Freudenthalova argumentace opět naznačují, že ψ musí mít uvedenou formu až do multiplikativní konstanty, kterou lze určit pomocí vzorce Weylovy dimenze. ${\ displaystyle i {\ mathfrak {t}}}$

Příklad: SL (2, R)

Teorie zonálních sférických funkcí pro SL (2, R ) vznikla v práci Mehlera v roce 1881 o hyperbolické geometrii. Objevil analog Plancherelovy věty, kterou znovu objevil Fock v roce 1943. Odpovídající rozšíření vlastní funkce se nazývá Mehler – Fockova transformace . Už v roce 1910 byla postavena na pevný základ důležitou prací Hermanna Weyla o spektrální teorii obyčejných diferenciálních rovnic . Radiální část Laplacianu v tomto případě vede k hypergeometrické diferenciální rovnici , jejíž teorii podrobně zpracoval Weyl. Weylův přístup následně zobecnil Harish-Chandra ke studiu zonálních sférických funkcí a odpovídající Plancherelovy věty pro obecnější poloprosté Lieovy skupiny. V návaznosti na Diracovu práci na diskrétních řadových reprezentacích SL (2, R ) byla obecná teorie unitárních neredukovatelných reprezentací SL (2, R ) vyvinuta nezávisle Bargmannem, Harishem-Chandrou a Gelfandem-Naimarkem. Neredukovatelné reprezentace první třídy, nebo ekvivalentně teorie zónových sférických funkcí, tvoří důležitý speciální případ této teorie.

Skupina G = SL (2, R ) je dvojitý kryt z 3-dimenzionální Lorentz skupina SO (2,1), přičemž symetrie skupiny v hyperbolického letadla s jeho Poincaré metriky . Působí Möbiusovými transformacemi . Horní poloviční rovinu lze identifikovat s jednotkovým diskem pomocí Cayleyovy transformace . Pod touto identifikací se G identifikuje se skupinou SU (1,1), rovněž jednající podle Möbiusových transformací. Protože je akce tranzitivní , lze obě mezery identifikovat pomocí G / K , kde K = SO (2) . Metrika je invariantní pod G a související Laplacian je G -invariantní, shodující se s obrazem Casimirova operátora . V modelu horní poloroviny je Laplacián dán vzorcem

${\ displaystyle \ displaystyle \ Delta = -4y^{2} (\ částečné _ {x}^{2}+\ částečné _ {y}^{2}).}$

Pokud s je komplexní číslo a z = x + iy s y > 0, funkce

${\ displaystyle \ displaystyle f_ {s} (z) = y^{s} = \ exp ({s} \ cdot \ log y),}$

je vlastní funkce Δ:

${\ displaystyle \ displaystyle \ Delta f_ {s} = 4 s (1 s) f_ {s}.}$

Protože Δ dojíždí s G , jakýkoli levý překlad f _s je také vlastní funkcí se stejnou vlastní hodnotou. Zejména průměrování přes K , funkce

${\ Displaystyle \ varphi _ {s} (z) = \ int _ {K} f_ {s} (k \ cdot z) \, dk}$

je K -invariant vlastní funkce z delta na G / K . Když

${\ displaystyle \ displaystyle s = {1 \ over 2}+i \ tau,}$

s ▼ je skutečné, tyto funkce dát všem zonální sférické funkce na G . Stejně jako u Harish-Chandrova obecnějšího vzorce pro semisimple Lieovy skupiny, φ _s je zonální sférická funkce, protože je to maticový koeficient odpovídající vektoru fixovanému K v hlavní řadě . K dispozici jsou různé argumenty, které dokazují, že neexistují žádné další. Jedním z nejjednodušších klasických algebraických argumentů Lie je poznamenat, že jelikož Δ je eliptický operátor s analytickými koeficienty, podle analytické eliptické pravidelnosti je každá vlastní funkce nutně skutečnou analytikou. Pokud tedy zónová sférická funkce odpovídá maticovému koeficientu pro vektor v a reprezentaci σ, vektor v je analytický vektor pro G a

${\ Displaystyle \ displaystyle (\ sigma (e^{X}) v, v) = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} (\ sigma (X)^{n} v, v)/n! }$

pro X v . Nekonečně malá forma neredukovatelných unitárních reprezentací s vektorem fixovaným K byla klasicky zpracována Bargmannem. Přesně odpovídají hlavní řadě SL (2, R ). Z toho vyplývá, že zonální sférická funkce odpovídá reprezentaci hlavní řady. ${\ displaystyle i {\ mathfrak {t}}}$

Další klasický argument pokračuje tím, že ukazuje, že na radiálních funkcích má Laplacian formu

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ Delta =-\ částečné _ {r}^{2}-\ coth (r) \ cdot \ částečné _ {r},}$

takže jako funkce r musí zonální sférická funkce φ ( r ) splňovat obyčejnou diferenciální rovnici

${\ Displaystyle \ displaystyle \ varphi ^{\ prime \ prime}+\ coth r \, \ varphi ^{\ prime} = \ alpha \, \ varphi}$

pro nějakou konstantní α. Změna proměnných t = sinh r transformuje tuto rovnici na hypergeometrickou diferenciální rovnici . Obecné řešení z hlediska funkcí Legendre komplexního indexu je dáno vztahem

${\ Displaystyle \ varphi (r) = P _ {\ rho} (\ cosh r) = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {0}^{2 \ pi} (\ cosh r+\ sinh r \, \ cos \ theta)^{\ rho} \, d \ theta,}$

kde α = ρ (ρ+1). Další omezení p jsou uložena omezenosti a pozitivní-určitosti zonálního sférické funkce na G .

Existuje ještě další přístup, díky Mogens Flensted-Jensen, který odvozuje vlastnosti zonálních sférických funkcí na SL (2, R ), včetně Plancherelova vzorce, z odpovídajících výsledků pro SL (2, C ), které jsou jednoduché důsledky vzorce Plancherel a Fourierovy inverze vzorec pro R . Tato „metoda sestupu“ funguje obecněji, což umožňuje, aby výsledky pro skutečnou poloprostou Lieovu skupinu byly odvozeny sestupem z odpovídajících výsledků pro její komplexifikaci.

Další směry

• Teorie zonálních funkcí, které nemusí být nutně pozitivní. Ty jsou dány stejnými vzorci jako výše, ale bez omezení komplexního parametru s nebo ρ. Odpovídají nejednotným reprezentacím.
• Harish-Chandrův vzorec pro expanzi a inverzi vlastních funkcí pro sférické funkce . Toto je důležitý speciální případ jeho Plancherelovy věty pro skutečné poloprosté Lieovy skupiny.
• Struktura Heckeovy algebry . Harish-Chandra a Godement dokázali, že jako konvoluční algebry existují přirozené izomorfismy mezi C _c ^∞ ( K \ G / K ) a C _c ^∞ ( A ) ^W , subalgebrálním invariantem pod Weylovou skupinou. To je snadné stanovit pro SL (2, R ).
• Sférické funkce pro euklidovské pohybové skupiny a kompaktní Lieovy skupiny .
• Sférické funkce pro p-adic Lieovy skupiny . Tyto byly podrobně studovány Satakeem a Macdonaldem . Jejich studium a studium přidružených Heckeových algeber bylo jedním z prvních kroků v rozsáhlé teorii reprezentace semisimple p-adic Lie skupin, klíčového prvku v programu Langlands .

Viz také

• Plancherelova věta pro sférické funkce
• Heckeova algebra lokálně kompaktní skupiny
• Zastoupení Lieových skupin
• Nekomutativní harmonická analýza
• Temperované zastoupení
• Pozitivní určitá funkce ve skupině
• Symetrický prostor
• Gelfandský pár

Poznámky

Citace

Prameny

externí odkazy

• Casselman, William, Poznámky ke sférickým funkcím (PDF)