Funkce třídy (algebra) - Class function (algebra)

V matematiky , zejména v oblasti teorie grup a teorie reprezentací skupin , je funkce třídy je funkce na skupinu G , která je konstantní na conjugacy tříd z G . Jinými slovy, pod konjugační mapou na  G je neměnný . Tyto funkce hrají v teorii reprezentace základní roli .

Postavy

Charakter z lineárního znázornění z G přes pole K je vždy funkce třídy s hodnotami v K . Funkce třídy tvoří střed ze skupiny kruhu K [ G ]. Zde je třídní funkce f identifikována s prvkem . ${\ displaystyle \ sum _ {g \ v G} f (g) g}$

Vnitřní výrobky

Sada třídních funkcí skupiny G s hodnotami v poli K tvoří K - vektorový prostor . Pokud je G konečné a charakteristika pole nerozděluje pořadí G , pak je v tomto prostoru definován vnitřní součin definovaný kde | G | označuje pořadí G . Množina nesnížitelných znaků z G tvoří ortogonální základnu , a pokud K je rozdělení pole pro G , například v případě, K je algebraicky uzavřený , pak nesnížitelné znaky tvoří ortonormální báze . ${\ displaystyle \ langle \ phi, \ psi \ rangle = {\ frac {1} {| G |}} \ součet _ {g \ v G} \ phi (g) \ psi (g ^ {- 1})}$

V případě kompaktní skupiny a K  =  C pole komplexních čísel umožňuje pojem Haarovy míry nahradit konečnou částku výše integrálem:${\ displaystyle \ langle \ phi, \ psi \ rangle = \ int _ {G} \ phi (t) \ psi (t ^ {- 1}) \, dt.}$

Když K jsou reálná čísla nebo komplexní čísla, vnitřní produkt je nedegenerovaný hermitovský bilineární tvar .

Viz také

• Brauerova věta o indukovaných postavách

Reference

• Jean-Pierre Serre , Lineární reprezentace konečných skupin , Graduate Texts in Mathematics 42 , Springer-Verlag, Berlín, 1977.