Maticový koeficient - Matrix coefficient

V matematice je maticový koeficient (nebo maticový prvek ) funkcí skupiny zvláštního tvaru, která závisí na lineárním vyjádření skupiny a dalších datech. Přesně tak, že je funkce na kompaktní topologické skupiny G získané skládání znázornění G na vektorovém prostoru V, s lineární mapa od endomorphisms z V do V podkladové je pole . Nazývá se také reprezentativní funkcí . Vznikají přirozeně z konečně-dimenzionálních reprezentací G jako funkce matice- vstup odpovídajících maticových reprezentací. Peter-Weyl teorém říká, že matice koeficienty na G jsou husté v prostoru Hilberta ze čtvercového integrovatelných funkcí na G .

Ukázalo se, že maticové koeficienty reprezentací Lieových skupin úzce souvisí s teorií speciálních funkcí , což poskytuje sjednocující přístup k velkým částem této teorie. Růstové vlastnosti matricových koeficientů hrají klíčovou roli v klasifikaci ireducibilních reprezentací z místně kompaktní skupiny , zejména redukční reálné a p -adic skupin. Formalismus maticových koeficientů vede k zevšeobecnění pojmu modulární formy . V jiném směru jsou vlastnosti míchání určitých dynamických systémů řízeny vlastnostmi vhodných maticových koeficientů.

Definice

Matice koeficient (nebo prvek matice ) lineárního znázornění $p$ skupinového $G$ na vektorovém prostoru $V,$ je funkce $f v, η$ na skupinu, typu

{\ displaystyle f_ {v, \ eta} (g) = \ eta (\ rho (g) v)}

kde $v$ je vektor $V.$ , $η$ je kontinuální lineární funkční na $V$ , a $g$ je prvek $G$ . Tato funkce má skalárních hodnot, na $G$ . Pokud $V$ je Hilbertův prostor , pak podle Rieszovy věty o reprezentaci mají všechny maticové koeficienty tvar

{\ displaystyle f_ {v, w} (g) = \ langle \ rho (g) v, w \ rangle}

pro některé vektorů $V$ a $W$ v $V$ .

Pro $V$ konečné dimenze a $v$ a $w$ převzaté ze standardní báze je to vlastně funkce daná záznamem matice na pevném místě.

Aplikace

Konečné skupiny

Maticové koeficienty neredukovatelných reprezentací konečných skupin hrají významnou roli v teorii reprezentace těchto skupin, jak je vyvinuli Burnside , Frobenius a Schur . Uspokojují Schurovy vztahy ortogonality . Charakter reprezentace p je součet koeficientů matrice f _{V _I , η _i} , kde { v _i } tvoří základ v reprezentaci prostoru p, a {η _i } tvoří dvojí základ .

Konečně-dimenzionální Lieovy skupiny a speciální funkce

Maticové koeficienty reprezentací Lieových skupin byly poprvé zvažovány Élie Cartan . Izrael Gelfand si uvědomil, že mnoho klasických speciálních funkcí a ortogonální polynomy jsou vyjádřitelné jako koeficienty maticové reprezentace Lieových grup G . Tento popis poskytuje jednotný rámec pro prokázání mnoha dosud nesourodých vlastností speciálních funkcí, jako jsou vzorce pro sčítání, určité relace opakování, vztahy ortogonality, integrální reprezentace a vlastnosti vlastních čísel s ohledem na diferenciální operátory. Speciální funkce matematické fyziky, jako jsou trigonometrické funkce , hypergeometrická funkce a její zobecnění, ortogonální polynomy Legendre a Jacobi a Besselovy funkce, vznikají jako maticové koeficienty reprezentací Lieových skupin. Funkce Theta a skutečná analytická Eisensteinova řada , důležité v algebraické geometrii a teorii čísel , také tyto realizace připouštějí.

Automorfní formy

Účinný přístup k teorii klasických modulárních forem , iniciovaných Gelfand, Graev a Piatetski-Shapiro , považuje je jako matrice koeficientů některých nekonečných trojrozměrný jednotkových reprezentací, automorphic reprezentací z adelic skupin . Tento přístup byl dále rozvíjen podle Langlands , pro obecné redukčních algebraických skupin nad globálním poli .

Viz také

Poznámky

^ Theodor Bröcker a Tammo tom Dieck, Reprezentace kompaktních Lieových skupin , Graduate Texts in Mathematics 98 , Springer-Verlag, Berlín, 1995.
^ „Speciální funkce“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
^ Viz reference pro kompletní léčbu.

Reference

Vilenkin, N. Ja. Speciální funkce a teorie skupinových reprezentací . Z ruštiny přeložil VN Singh. Překlady matematických monografií, sv. 22 American Mathematical Society, Providence, RI 1968
Vilenkin, N. Ja., Klimyk, AU Zastoupení Lieových skupin a speciálních funkcí. Nedávné zálohy . Z ruského rukopisu přeložili VA Groza a AA Groza. Mathematics and its Applications, 316. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1995. xvi + 497 stran ISBN 0-7923-3210-5
Vilenkin, N. Ja., Klimyk, AU Zastoupení Lieových skupin a speciálních funkcí. Sv. 3. Klasické a kvantové skupiny a speciální funkce . Z ruštiny přeložili VA Groza a AA Groza. Mathematics and its Applications (Soviet Series), 75. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1992. xx + 634 stran ISBN 0-7923-1493-X
Vilenkin, N. Ja., Klimyk, AU Zastoupení Lieových skupin a speciálních funkcí. Sv. 2. Reprezentace třídy I, speciální funkce a integrální transformace . Z ruštiny přeložili VA Groza a AA Groza. Mathematics and its Applications (Soviet Series), 74. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1993. xviii + 607 str. ISBN 0-7923-1492-1
Vilenkin, N. Ja., Klimyk, AU Zastoupení Lieových skupin a speciálních funkcí. Sv. 1. Nejjednodušší Lieovy skupiny, speciální funkce a integrální transformace . Z ruštiny přeložili VA Groza a AA Groza. Mathematics and its Applications (Soviet Series), 72. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1991. xxiv + 608 str. ISBN 0-7923-1466-2

[1] Theodor Bröcker a Tammo tom Dieck, Reprezentace kompaktních Lieových skupin , Graduate Texts in Mathematics 98 , Springer-Verlag, Berlín, 1995.

[2] „Speciální funkce“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]

[3] Viz reference pro kompletní léčbu.

Languages

In other projects