Fourier – Bros – Iagolnitzerova transformace - Fourier–Bros–Iagolnitzer transform

V matematice je transformace FBI nebo Fourier – Bros – Iagolnitzerova transformace zobecněním Fourierovy transformace vyvinuté francouzskými matematickými fyziky Jacquesem Brosem a Danielem Iagolnitzerem za účelem charakterizace lokální analytiky funkcí (nebo distribucí ) na R ⁿ . Transformace poskytuje alternativní přístup k sadám distribucí na přední straně analytických vln , které vyvinuli nezávisle japonští matematici Mikio Sato , Masaki Kashiwara a Takahiro Kawai ve svém přístupu k mikrolokální analýze . Lze jej také použít k prokázání analytičnosti řešení analytických eliptických parciálních diferenciálních rovnic i verze klasické věty o jedinečnosti, která posiluje Cauchy – Kowalevského teorém , a to díky švédskému matematikovi Erikovi Albertovi Holmgrenovi (1872–1943).

Definice

Fourierova transformace z Schwartz funkce f v S ( R ⁿ ) je definován

${\ displaystyle ({\ mathcal {F}} f) (t) = (2 \ pi) ^ {- n / 2} \ int _ {{\ mathbf {R}} ^ {n}} f (x) e ^ {- ix \ cdot t} \, dx.}$

FBI transformace z F je definován pro ≥ 0 o

${\ displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {a} f) (t, y) = (2 \ pi) ^ {- n / 2} \ int _ {{\ mathbf {R}} ^ {n} } f (x) e ^ {- a | xy | ^ {2} / 2} e ^ {- ix \ cdot t} \, dx.}$

Když tedy a = 0, v podstatě se shoduje s Fourierovou transformací.

Stejné vzorce lze použít k definování Fourierových a FBI transformací temperovaných distribucí v S ' ( R ⁿ ).

Inverzní vzorec

Inverze vzorec Fourierova

${\ displaystyle f (x) = {\ mathcal {F}} ^ {2} f (-x)}$

umožňuje obnovení funkce f z její Fourierovy transformace.

Zejména

${\ displaystyle f (x) = (2 \ pi) ^ {- n / 2} \ int _ {{\ mathbf {R}} ^ {n}} e ^ {it \ cdot x} {\ mathcal {F} } (f) (t) \, dt}$

Podobně při kladné hodnotě a lze f (0) získat z FBI transformace f ( x ) inverzním vzorcem

${\ displaystyle f (x) = (2 \ pi) ^ {- n / 2} \ int _ {{\ mathbf {R}} ^ {n}} e ^ {it \ cdot x} e ^ {a | xy | ^ {2} / 2} {\ mathcal {F}} _ {a} (f) (t, y) \, dt}$

Kritérium pro místní analytičnost

Bros a Iagolnitzer ukázalo, že distribuce f je lokálně rovna skutečné analytické funkce v y , ve směru £ tehdy a jen tehdy, pokud jeho FBI transformace uspokojuje nerovnost ve tvaru

${\ displaystyle | ({\ mathcal {F}} _ {| \ xi |} f) (\ xi, y) | \ leq Ce ^ {- \ varepsilon | \ xi |},}$

pro | ξ | dostatečně velký.

Holmgrenova věta o jedinečnosti

Jednoduchým důsledkem Brosovy a Iagolnitzerovy charakterizace místní analytiky je následující výsledek pravidelnosti Larse Hörmandera a Mikia Sata ( Sjöstrand (1982) ).

Teorém. Nechť P je eliptický parciální diferenciální operátor s analytickými koeficienty definovanými na otevřené podmnožině X z R ⁿ . Pokud je Pf analytický v X , pak také f .

Když je v této větě slovo „analytické“ nahrazeno slovem „hladké“, výsledkem bude pouze klasické lemma Hermanna Weyla o eliptické pravidelnosti , které se obvykle osvědčuje pomocí Sobolevových prostorů (Warner 1983). Jde o speciální případ obecnějších výsledků zahrnujících sadu analytických vln (viz níže), které implikují Holmgrenovo klasické posílení Cauchy – Kowalevského věty o lineárních parciálních diferenciálních rovnicích se skutečnými analytickými koeficienty. V moderním jazyce Holmgrenova jedinečná věta uvádí, že jakékoli distribuční řešení takového systému rovnic musí být analytické a tedy jedinečné podle Cauchyho-Kowalevského věty.

Přední sada analytických vln

Analytická čelo vlny sada nebo singulární spektrum WF ( f ) z distribuce f (nebo obecněji z hyperfunkce ) může být definována v podmínkách FBI transformace ( Hörmander (1983) ) jako doplněk kuželové množiny bodů ( x , λ ξ) (λ> 0) tak, aby transformace FBI splňovala Bros – Iagolnitzerovu nerovnost

${\ displaystyle | ({\ mathcal {F}} _ {| \ xi |} f) (\ xi, y) | \ leq Ce ^ {- \ varepsilon | \ xi |},}$

pro y bod, ve kterém by člověk chtěl testovat analytičnost, a | ξ | dostatečně velký a směřující ve směru, ve kterém by člověk chtěl hledat vlnovou frontu, tj. směr, ve kterém se šíří singularita v y , pokud existuje. JM Bony ( Sjöstrand (1982) , Hörmander (1983) ) dokázal, že tato definice se shodovala s jinými definicemi, které nezávisle zavedly Sato, Kashiwara a Kawai a Hörmander. Pokud P je lineární diferenciální operátor m. Řádu mající analytické koeficienty

${\ displaystyle P = \ sum _ {| \ alpha | \ leq m} a _ {\ alpha} (x) D ^ {\ alpha},}$

s hlavním symbolem

${\ displaystyle \ sigma _ {P} (x, \ xi) = \ součet _ {| \ alpha | = m} a _ {\ alpha} (x) \ xi ^ {\ alpha},}$

a charakteristická odrůda

${\ displaystyle {\ rm {char}} \, P = \ {(x, \ xi): \ xi \ neq 0, \, \ sigma _ {P} (x, \ xi) = 0 \},}$

pak

• ${\ displaystyle \ operatorname {WF} _ {A} (Pf) \ subseteq \ operatorname {WF} _ {A} (f)}$
• ${\ displaystyle \ operatorname {WF} _ {A} (f) \ subseteq \ operatorname {WF} _ {A} (Pf) \ cup \ operatorname {char} P.}$

Zejména když je P eliptický, char P = ø, takže

WF _A ( Pf ) = WF _A ( f ).

Jedná se o posílení výše uvedené analytické verze eliptické pravidelnosti.

Reference

• Folland, Gerald B. (1989), Harmonická analýza ve fázovém prostoru , Annals of Mathematics Studies, 122 , Princeton University Press, ISBN   0-691-08528-5
• Gårding, Lars (1998), Mathematics and Mathematicians: Mathematics in Sweden Before 1950 , American Mathematical Society , ISBN   0-8218-0612-2
• Hörmander, Lars (1983), Analýza parciálních diferenciálních operátorů I , Springer-Verlag, ISBN   3-540-12104-8 (Kapitola 9.6, Sada analytických vlnových front.)
• Iagolnitzer, Daniel (1975), Microlocal essential support of a distribution and local decompositions - an Introduction . V Hyperfunkce a teoretická fyzika Lecture Notes in Mathematics, 449 , Springer-Verlag, str. 121–132
• Krantz, Steven ; Parks, Harold R. (1992), Primer of Real Analytic Functions , Birkhäuser, ISBN   0-8176-4264-1 . 2. vydání, Birkhäuser (2002), ISBN   0-8176-4264-1 .
• Sjöstrand, Johannes (1982), „Singularités analytiques microlocales. [Microlocal analytic singularities]“, Astérisque , 95 : 1–166
• Trèves, François (1992), Hypo-analytické struktury: Místní teorie , Princeton Mathematical Series, 40 , Princeton University Press, ISBN   0-691-08744-X (Kapitola 9, Transformace FBI v hypo-analytickém potrubí.)
• Warner, Frank (1983), Základy diferenciální geometrie a Lieových skupin , Postgraduální texty z matematiky, 94 , Springer-Verlag, ISBN   0-387-90894-3