Whitehead problem - Whitehead problem

V teorii skupin , odvětví abstraktní algebry , je problémem Whitehead následující otázka:

Je každá abelianská skupina A s Ext ¹ ( A , Z ) = 0 volnou abelianskou skupinou ?

Saharon Shelah dokázal, že Whiteheadův problém je nezávislý na ZFC , standardních axiomech teorie množin.

Upřesnění

Předpokládejme, že A je abelianská skupina taková, že každá krátká přesná sekvence

${\ Displaystyle 0 \ rightarrow \ mathbb {Z} \ rightarrow B \ rightarrow A \ rightarrow 0}$

se musí rozdělit, pokud je B také abelian. Problém Whitehead se pak ptá: musí být A volný? Tento požadavek na rozdělení je ekvivalentní podmínce Ext ¹ ( A , Z ) = 0. Abelianské skupiny A splňující tuto podmínku se někdy nazývají skupiny Whitehead , takže problém Whitehead se ptá: je každá skupina Whitehead volná? Je třeba zmínit, že pokud je tato podmínka posílena požadováním přesné sekvence

${\ displaystyle 0 \ rightarrow C \ rightarrow B \ rightarrow A \ rightarrow 0}$

se musí rozdělit pro jakoukoli abelianskou skupinu C , pak je dobře známo, že to odpovídá tomu, že A je svobodná.

Upozornění : Konverzace Whiteheadova problému, totiž že každá volná abelianská skupina je Whitehead, je dobře známým skupinově teoretickým faktem. Někteří autoři nazývají skupinu Whitehead pouze nesvobodnou skupinou A splňující Ext ¹ ( A , Z ) = 0. Whiteheadův problém se pak ptá: existují skupiny Whitehead?

Shelahův důkaz

Saharon Shelah ukázal, že vzhledem ke kanonickému systému axiomů ZFC je problém nezávislý na obvyklých axiomech teorie množin . Přesněji ukázal, že:

• Pokud je každá sada konstruovatelná , pak je každá skupina Whitehead volná;
• Pokud platí Martinův axiom i negace hypotézy kontinua , pak existuje nesvobodná skupina Whitehead.

Protože konzistence ZFC znamená konzistenci obou následujících:

• Axiom konstruovatelnosti (která tvrdí, že jsou všechny sady jsou constructible);
• Martinův axiom plus negace hypotézy kontinua ,

Problém Whitehead nelze v ZFC vyřešit.

Diskuse

JHC Whitehead , motivovaný druhým bratrancovým problémem , poprvé problém představil v padesátých letech minulého století. Stein odpověděl na otázku kladně pro spočetné skupiny. Pokrok u větších skupin byl pomalý a problém byl několik let považován za důležitý v algebře .

Shelahův výsledek byl naprosto neočekávaný. Zatímco existence nerozhodnutelných tvrzení byla známá již od Gödelovy věty o neúplnosti z roku 1931, předchozí příklady nerozhodnutelných tvrzení (jako například hypotéza kontinua ) byly všechny v čisté teorii množin . Whiteheadův problém byl prvním čistě algebraickým problémem, který byl prokázán jako nerozhodnutelný.

Shelah později ukázal, že problém Whitehead zůstává nerozhodnutelný, i když člověk předpokládá hypotézu kontinua. Whiteheadova domněnka je pravdivá, pokud jsou všechny sady konstruovatelné . Že tato a další tvrzení o nespočetných abelianských skupinách jsou prokazatelně nezávislá na ZFC, ukazuje, že teorie těchto skupin je velmi citlivá na předpokládanou základní teorii množin .

Viz také

• Zdarma abelianská skupina
• Torze bílé hlavy
• Seznam příkazů, které nelze v ZFC určit
• Příkazy true, pokud jsou všechny sady konstruovatelné

Reference

Další čtení

• Eklof, Paul C. (prosinec 1976). „Whiteheadův problém je nerozhodnutelný“. The American Mathematical Monthly . 83 (10): 775–788. doi : 10,2307/2318684 . JSTOR  2318684 . Vysvětlující popis Shelahova důkazu.
• Eklof, PC (2001) [1994], „Whitehead problem“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press