Problema Whitehead - Whitehead problem

Nella teoria dei gruppi , una branca dell'algebra astratta , il problema di Whitehead è la seguente domanda:

Ogni gruppo abeliano A con Ext ¹ ( A , Z ) = 0 è un gruppo abeliano libero ?

Saharon Shelah ha dimostrato che il problema di Whitehead è indipendente da ZFC , gli assiomi standard della teoria degli insiemi.

Raffinatezza

Assumiamo che A sia un gruppo abeliano tale che ogni breve sequenza esatta

${\displaystyle 0\rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow B\rightarrow A\rightarrow 0}$

deve dividere se anche B è abeliano. Il problema di Whitehead poi si chiede: A deve essere libero? Questo requisito di suddivisione è equivalente alla condizione Ext ¹ ( A , Z ) = 0. I gruppi abeliani A che soddisfano questa condizione sono talvolta chiamati gruppi di Whitehead , quindi il problema di Whitehead si chiede: ogni gruppo di Whitehead è libero? Va detto che se questa condizione viene rafforzata richiedendo che l'esatta sequenza

${\displaystyle 0\rightarrow C\rightarrow B\rightarrow A\rightarrow 0}$

deve dividere per qualsiasi gruppo abeliano C , allora è ben noto che questo equivale ad A essere libero.

Attenzione : il contrario del problema di Whitehead, vale a dire che ogni gruppo abeliano libero è Whitehead, è un fatto ben noto della teoria dei gruppi. Alcuni autori chiamano gruppo Whitehead solo priva di non gruppo A soddisfare Ext ¹ ( A , Z ) = 0. Il problema di Whitehead poi chiede: esistono gruppi di Whitehead?

La prova di Shelah

Saharon Shelah ha mostrato che, dato il sistema di assiomi canonico ZFC , il problema è indipendente dai soliti assiomi della teoria degli insiemi . Più precisamente, ha mostrato che:

• Se ogni insieme è costruibile , allora ogni gruppo Whitehead è libero;
• Se valgono l'assioma di Martin e la negazione dell'ipotesi del continuo , allora esiste un gruppo di Whitehead non libero.

Poiché la consistenza di ZFC implica la coerenza di entrambi i seguenti elementi:

• L' assioma della costruibilità (che afferma che tutti gli insiemi sono costruibili);
• L'assioma di Martin più la negazione dell'ipotesi del continuo ,

Il problema di Whitehead non può essere risolto in ZFC.

Discussione

JHC Whitehead , motivato dal secondo problema di Cousin , pose per la prima volta il problema negli anni '50. Stein ha risposto alla domanda in senso affermativo per i gruppi numerabili . I progressi per i gruppi più grandi furono lenti e il problema fu considerato importante in algebra per alcuni anni.

Il risultato di Shelah è stato del tutto inaspettato. Mentre l'esistenza di asserzioni indecidibili era nota fin dal teorema di incompletezza di Gödel del 1931, i precedenti esempi di asserzioni indecidibili (come l' ipotesi del continuo ) erano stati tutti nella pura teoria degli insiemi . Il problema di Whitehead è stato il primo problema puramente algebrico ad essere dimostrato indecidibile.

Shelah in seguito dimostrò che il problema di Whitehead rimane indecidibile anche se si assume l'ipotesi del continuum. La congettura di Whitehead è vera se tutti gli insiemi sono costruibili . Che questa e altre affermazioni su innumerevoli gruppi abeliani siano dimostrabilmente indipendenti da ZFC mostra che la teoria di tali gruppi è molto sensibile alla presunta teoria degli insiemi sottostante .

Guarda anche

• Gruppo abeliano libero
• Torsione Whitehead
• Elenco delle affermazioni indecidibili in ZFC
• Dichiarazioni vere se tutti gli insiemi sono costruibili

Riferimenti

Ulteriori letture

• Eklof, Paul C. (dicembre 1976). "Il problema di Whitehead è indecidibile". Il mensile matematico americano . 83 (10): 775-788. doi : 10.2307/2318684 . JSTOR  2318684 . Un resoconto espositivo della prova di Shelah.
• Eklof, PC (2001) [1994], "Problema Whitehead" , Enciclopedia della matematica , EMS Press