Whitehead-probleem - Whitehead problem

In groepentheorie , een tak van abstracte algebra , is het Whitehead-probleem de volgende vraag:

Is elke abelse groep A met Ext ¹ ( A , Z ) = 0 een vrije abelse groep ?

Saharon Shelah bewees dat het probleem van Whitehead onafhankelijk is van ZFC , de standaardaxioma's van de verzamelingenleer.

Verfijning

Neem aan dat A een abelse groep is zodat elke korte exacte rij

${\ Displaystyle 0 \ rightarrow \ mathbb {Z} \ rightarrow B \ rightarrow A \ rightarrow 0}$

moet splitsen als B ook abels is. Het Whitehead-probleem stelt dan de vraag: moet A vrij zijn? Deze splitsingseis komt overeen met de voorwaarde Ext ¹ ( A , Z ) = 0. Abelse groepen A die aan deze voorwaarde voldoen, worden soms Whitehead-groepen genoemd , dus het probleem van Whitehead stelt: is elke Whitehead-groep vrij? Er moet worden vermeld dat als deze voorwaarde wordt versterkt door te eisen dat de exacte volgorde

${\ Displaystyle 0 \ rightarrow C \ rightarrow B \ rightarrow A \ rightarrow 0}$

moet splitsen voor elke abelse groep C , dan is het algemeen bekend dat dit equivalent is aan A die vrij is.

Let op : Het omgekeerde van het probleem van Whitehead, namelijk dat elke vrije abelse groep Whitehead is, is een bekend groepstheoretisch feit. Sommige auteurs noemen Whitehead-groep alleen een niet-vrije groep A die voldoet aan Ext ¹ ( A , Z ) = 0. Het probleem van Whitehead vraagt ​​dan: bestaan ​​Whitehead-groepen?

Shelah's bewijs

Saharon Shelah toonde aan dat, gezien het canonieke ZFC- axiomasysteem, het probleem onafhankelijk is van de gebruikelijke axioma's van de verzamelingenleer . Meer bepaald toonde hij aan dat:

• Als elke set construeerbaar is , is elke Whitehead-groep vrij;
• Als het axioma van Martin en de negatie van de continuümhypothese beide gelden, dan is er een niet-vrije Whitehead-groep.

Aangezien de consistentie van ZFC de consistentie van beide van de volgende impliceert:

• Het axioma van maakbaarheid (dat stelt dat alle verzamelingen construeerbaar zijn);
• Martin's axioma plus de ontkenning van de continuümhypothese ,

Het probleem van Whitehead kan niet worden opgelost in ZFC.

Discussie

JHC Whitehead , gemotiveerd door het tweede neefprobleem , stelde het probleem voor het eerst in de jaren vijftig. Stein beantwoordde de vraag bevestigend voor telbare groepen. De vooruitgang voor grotere groepen was traag en het probleem werd enkele jaren als een belangrijk probleem in de algebra beschouwd .

Het resultaat van Shelah was volkomen onverwacht. Hoewel het bestaan ​​van onbeslisbare uitspraken al bekend was sinds de onvolledigheidsstelling van Gödel van 1931, waren eerdere voorbeelden van onbeslisbare uitspraken (zoals de continuümhypothese ) allemaal in de zuivere verzamelingenleer . Het Whitehead-probleem was het eerste puur algebraïsche probleem dat onbeslisbaar was.

Shelah toonde later aan dat het Whitehead-probleem onbeslisbaar blijft, zelfs als men de continuümhypothese aanneemt. Het vermoeden van Whitehead is waar als alle verzamelingen construeerbaar zijn . Dat deze en andere uitspraken over ontelbare abelse groepen aantoonbaar onafhankelijk zijn van ZFC, toont aan dat de theorie van dergelijke groepen erg gevoelig is voor de veronderstelde onderliggende verzamelingenleer .

Zie ook

• Gratis abelse groep
• Whitehead torsie
• Lijst met onbeslisbare uitspraken in ZFC
• Verklaringen waar als alle sets construeerbaar zijn

Referenties

Verder lezen

• Eklof, Paul C. (december 1976). "Het probleem van Whitehead is onbeslisbaar". The American Mathematical Monthly . 83 (10): 775-788. doi : 10.2307/2318684 . JSTOR  2318684 . Een verklarend verslag van het bewijs van Shelah.
• Eklof, PC (2001) [1994], "Whitehead-probleem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press