Budova (matematika) - Building (mathematics)

V matematice je budova (také Titsova budova , pojmenovaná po Jacquesovi Titsovi ) kombinatorickou a geometrickou strukturou, která současně zobecňuje určité aspekty příznakových potrubí , konečných projektivních rovin a Riemannovských symetrických prostorů . Budovy původně představil Jacques Tits jako prostředek k pochopení struktury výjimečných skupin Lieova typu . Specializovanější teorie budov Bruhat – Tits (pojmenovaná také po Françoisovi Bruhatovi ) hraje roli při studiu p-adických Lieových skupin analogicky k teorii symetrických prostorů v teorii Lieových skupin .

Přehled

Pojem budovy vynalezl Jacques Tits jako prostředek k popisu jednoduchých algebraických skupin nad libovolným polem . Prsa ukázal, jak pro každou takovou skupinu G lze přidružit simplicial komplexní S = delta ( G ) s působením o G , nazývané kulový objekt z G . Skupina G ukládá velmi silné kombinatorické podmínky pravidelnosti na komplexy Δ, které mohou vzniknout tímto způsobem. Léčením těchto podmínek jako axiomů pro třídu zjednodušených komplexů dospěl Tits ke své první definici budovy. Součástí dat definujících budovu Δ je Coxeterova skupina W , která určuje vysoce symetrický zjednodušený komplex Σ  =  Σ ( W , S ), nazývaný Coxeterův komplex . Budova Δ je spojena dohromady z několika kopií Σ, které se nazývají její byty , určitým pravidelným způsobem. Když W je konečná skupina Coxeter, komplex Coxeter je topologická sféra a odpovídající budovy jsou považovány za sférické . Když W je afinní Weylova skupina , je komplex Coxeter dělení afinní roviny a hovoří se o afinních nebo euklidovských budovách. Afinní stavba typu je stejná jako nekonečný strom bez koncových vrcholů. ${\ displaystyle {\ scriptstyle {\ tilde {A}} _ {1}}}$

Ačkoli teorie polojednodušých algebraických skupin poskytla počáteční motivaci pro představu o budově, ne všechny budovy vznikají ze skupiny. Zejména projektivní roviny a zobecněné čtyřúhelníky tvoří dvě třídy grafů studovaných v geometrii dopadu, které splňují axiomy budovy, ale nemusí být spojeny s žádnou skupinou. Ukázalo se, že tento jev souvisí s nízkým hodnocením odpovídajícího systému Coxeter (jmenovitě dvou). Prsa se ukázala jako pozoruhodná věta: všechny sférické budovy s hodnocením nejméně tři jsou spojeny se skupinou; navíc, pokud je budova hodnosti alespoň dvou spojena se skupinou, pak je skupina v podstatě určena budovou.

Iwahori – Matsumoto, Borel – Tits a Bruhat – Tits prokázali, že analogicky s Titsovou konstrukcí sférických budov lze afinní budovy také postavit z určitých skupin, jmenovitě redukčních algebraických skupin nad místním nearchimédským polem . Kromě toho, pokud je rozdělená hodnost skupiny alespoň tři, je to v zásadě určeno její budováním. Prsa později přepracoval základní aspekty teorie budov pomocí pojmu komorového systému a zakódoval budovu pouze z hlediska vlastností sousedství jednoduchostí maximální dimenze; to vede ke zjednodušení ve sférických i afinních případech. Dokázal, že analogicky ke sférickému případu každá stavba afinního typu a hodnosti nejméně čtyři vychází ze skupiny.

Definice

N rozměrný objekt X představuje abstraktní simplicial komplex , který je spojení subkomlexy nazvaný bytů tak, že

• každý k -simplex X je v rozmezí alespoň tří n -jednoduchostí, pokud k < n ;
• libovolný ( n - 1) -simplex v bytě A leží přesně ve dvou sousedních n -jednotkách A a graf sousedních n -jednotek je spojen;
• jakékoli dva jednoduchosti v X leží v nějakém společném bytě A ;
• pokud dva jednoduchosti oba leží v bytech A a A ', pak existuje zjednodušený izomorfismus A na A ', který upevňuje vrcholy těchto dvou jednoduchostí.

N -simplex v A se nazývá komora (původně chambre , tj místnosti ve francouzštině ).

Hodnost budovy je definován jako n + 1.

Základní vlastnosti

Každý byt A v budově je komplexem Coxeter . Ve skutečnosti pro každé dvě n -jednoduchosti protínající se v ( n - 1) -simplexu nebo panelu existuje jedinečné období dvou jednoduchých automorfismů A , nazývaných odraz , nesoucí jedno n -simplex na druhé a upevňující jejich společné body . Tyto úvahy vytvořit skupinu Coxeter W , která se nazývá skupina Weyl z A , a simplicial komplexní A odpovídá standardní geometrické realizaci W . Standardní generátory skupiny Coxeter jsou dány odrazy ve stěnách pevné komory A . Vzhledem k tomu, že byt je stanovena až do izomorfismu u objektu, totéž platí o libovolných dvou simplexů v X ležících v nějakém společném apartmánu A . Když je W konečné, říká se, že budova je sférická . Když se jedná o afinní Weylovou skupinu , říká se, že budova je afinní nebo euklidovská .

Komorový systém je sousedů graf tvořený komorami; každá dvojice sousedních komor může být navíc označena jedním ze standardních generátorů skupiny Coxeter (viz Tits 1981 ).

Každá budova má kanonickou délku metriku zděděnou z geometrického realizaci získaného identifikací vrcholů s ortonormální bázi jednoho Hilbert prostoru . U afinních budov tato metrika splňuje srovnávací nerovnost CAT (0) Alexandrova , známou v tomto nastavení jako podmínka kladného zakřivení Bruhat – Tits pro geodetické trojúhelníky: vzdálenost od vrcholu ke středu opačné strany není větší než vzdálenost v odpovídajícím euklidovském trojúhelníku se stejnými délkami stran (viz Bruhat & Tits 1972 ).

Spojení s páry BN

Pokud skupina G působí jednoduše na budovu X , přechodně na páry (C, A) komor C a apartmány A, které je obsahují, pak stabilizátory takové dvojice definují BN pár nebo Titsův systém . Ve skutečnosti dvojice podskupin

B = G _C a N = G

splňuje axiomy páru BN a skupiny Weyl, mohou být identifikovány s N / N B . Naopak budovu lze obnovit z dvojice BN, takže každá dvojice BN kanonicky definuje budovu. Ve skutečnosti, s použitím terminologie BN párů a volání jakékoliv konjugát B podskupina Borel a jakákoliv skupina obsahující Borel podskupině parabolický podskupinu , ${\ displaystyle \ cap}$

• vrcholy budovy X odpovídají maximálním parabolickým podskupinám;
• k + 1 vrcholy tvoří k -simplex, kdykoli je průsečík odpovídajících maximálních parabolických podskupin také parabolický;
• byty jsou konjugáty podle G z simplicial subcomplex s vrcholy dané konjugáty pod N maximálního parabolics obsahujících B .

Stejnou budovu lze často popsat různými páry BN. Navíc ne každá budova pochází z dvojice BN: to odpovídá selhání klasifikace vede k nízké hodnosti a dimenzi (viz níže).

Sférické a afinní budovy pro SL _n

Zjednodušená struktura afinních a sférických budov spojených s SL _n ( Q _p ), jakož i jejich propojení, lze snadno vysvětlit přímo pouze pomocí konceptů ze základní algebry a geometrie (viz Garrett 1997 ). V tomto případě existují tři různé budovy, dvě sférické a jedna afinní. Každý z nich je svazek bytů , samy o sobě zjednodušené komplexy. Pro afinní budovu je byt zjednodušený komplex skládající se z euklidovského prostoru E ^{n -1} pomocí ( n  - 1) -rozměrných jednoduchostí; zatímco pro sférickou budovu je to konečný zjednodušený komplex tvořený všemi (n-1) ! simplexy s daným společným vrcholem v analogické mozaikování v E ^{n −2} .

Každá budova je zjednodušený komplex X, který musí splňovat následující axiomy:

• X je svazek bytů.
• Jakékoli dva simplexy v X jsou obsaženy ve společném bytě.
• Pokud je simplex obsažen ve dvou bytech, existuje zjednodušený izomorfismus jednoho na druhý, který upevňuje všechny společné body.

Sférická budova

Nechť F je pole a X je zjednodušený komplex s vrcholy netriviálních vektorových podprostorů V  =  F ⁿ . Dva podprostory U ₁ a U ₂ jsou spojeny, pokud je jeden z nich podmnožinou druhého. K K -simplices z X jsou tvořeny sadami k- + 1 vzájemně propojených podprostorů. Maximální konektivita se získá převzetím n - 1 správných netriviálních podprostorů a odpovídající ( n  - 1) -simplex odpovídá úplnému příznaku

(0) U ₁ ··· U _{n - 1} V${\ displaystyle \ podmnožina}$ ${\ displaystyle \ podmnožina}$${\ displaystyle \ podmnožina}$ ${\ displaystyle \ podmnožina}$

Nižší dimenzionální jednoduchosti odpovídají dílčím příznakům s menším počtem meziprostorů U _i .

Pro definování apartmánů v X je vhodné definovat rámec ve V jako základ ( v _i ) určený až po skalární násobení každého z jeho vektorů v _i ; jinými slovy, rám je sada jednorozměrné podprostory L _i = F · v _i tak, že každá k z nich generovat k rozměrný podprostor. Nyní uspořádaný rámec L ₁ , ..., L _n definuje úplný příznak pomocí

U _i = L ₁ ··· L _i${\ displaystyle \ oplus}$${\ displaystyle \ oplus}$

Vzhledem k tomu, reorderings v L _i ‚s také dá rám, je jednoduché vidět, že podprostory, získané jako součty v L _i ‘ s, tvoří simplicial komplex požadovaného typu na byt sférického budovy. Axiomy pro budovu lze snadno ověřit pomocí klasického Schreierova zpřesnění argumentu použitého k prokázání jedinečnosti rozkladu Jordan – Hölder .

Afinní budova

Nechť K je pole ležící mezi Q a jeho p-adickým dokončením Q _p s ohledem na obvyklou ne-Archimédovu p-adickou normu || x || _p na Q pro některé hlavní p . Nechť R je subring z K definován

${\ displaystyle R = \ {x: \ | x \ | _ {p} \ leq 1 \}.}$

Při K = Q , R je lokalizace na Z v p a, když k = Q _p , R = Z _p , je p-adic celá čísla , tedy uzavření Z v Q _p .

Vrcholy stavebních X jsou R -lattices v V = K ⁿ , tedy R - submoduly formuláře

L = R · v ₁ ··· R · v _n${\ displaystyle \ oplus}$${\ displaystyle \ oplus}$

kde ( v _i ) je základem V nad K . Dvě mřížky se považují za ekvivalentní, pokud je jedna skalárním násobkem druhé prvkem multiplikativní skupiny K * z K (ve skutečnosti je třeba použít pouze celočíselné mocniny p ). Říká se, že sousedí dvě mřížky L ₁ a L _2, pokud nějaká mřížka ekvivalentní L ₂ leží mezi L ₁ a jeho sublattice p · L ₁ : tento vztah je symetrický. K -simplices z X jsou ekvivalence třídy k + 1 vzájemně sousedící mříž, The ( n  - 1) - simplexy odpovídají po přelepování, aby řetězy

p · L _n L ₁ L ₂ ··· L _{n - 1} L _n${\ displaystyle \ podmnožina}$ ${\ displaystyle \ podmnožina}$ ${\ displaystyle \ podmnožina}$${\ displaystyle \ podmnožina}$ ${\ displaystyle \ podmnožina}$

kde má každý následující kvocient pořadí p . Byty jsou definovány stanovením základu ( v _i ) z V a převzetím všech mřížek se základem ( p ^{a _i} v _i ), kde ( a _i ) leží v Z ⁿ a je jednoznačně určeno až do přidání stejného celého čísla ke každé položce.

Podle definice je každý byt má požadovaný tvar a jejich odbor je celá X . Druhý axiom následuje variantou Schreierova zpřesňujícího argumentu. Poslední axiom následuje jednoduchým argumentem počítání založeným na řádech konečných abelianských skupin formy

L + p ^k · L _i / p ^k · L _i .

Klasickou kompaktnost argumentace ukazuje, že X je ve skutečnosti nezávislé na výběru K . Zejména při K = Q vyplývá, že X je spočetné. Na druhou stranu, vezmeme-li K = Q _p , definice ukazuje, že GL _n ( Q _p ) připouští přirozenou zjednodušenou akci na budově.

Budova je vybavena označování svých vrcholech s hodnotami v Z / n Z . Opravdu, upevnění referenční mřížky L , štítek M je dán vztahem

štítek ( M ) = log _p | M / p ^k L | modulo n

pro k dostatečně velký. Vrcholy některého ( n - 1) v -simplex X mají různé popisky, jízda přes celý Z / n Z . Jakýkoli zjednodušený automorfismus φ X definuje permutaci π Z / n Z takovou, že návěští (φ ( M )) = π (návěští ( M )). Zejména pro g v GL _n ( Q _p ),

štítek ( g · M ) = štítek ( M ) + log _p || det g || _p modulo n .

G tedy zachovává štítky, pokud g leží v SL _n ( Q _p ).

Automorfismy

Prsa prokázala, že jakýkoli automatický tvar zachování afinity budovy, který zachovává označení, vychází z prvku SL _n ( Q _p ). Vzhledem k tomu, že automorfismy budovy prostupují štítky, existuje přirozený homomorfismus

Aut X S _n .${\ displaystyle \ rightarrow}$

Působení GL _n ( Q _p ) vede k n -cyklu  τ . Další automorfismy budovy vyplývají z vnějších automorphisms z SL _n ( Q _p ) spojené s automorphisms na Dynkin diagramu . Vezmeme-li standardní symetrické bilineární formy s ortonormální bázi V _i , mapa se zasláním mřížku pro jeho dvojí mřížky dává automorfismus jehož čtverec je identita, dávat permutace? To vysílá každý štítek na její negativní modulo n . Obraz výše uvedeného homomorfismu je generován σ a τ a je izomorfní s dihedrální skupinou D _n řádu 2n ; když n = 3, dává celý S ₃ .

Pokud E je konečná rozšíření Galoisova z Q _p a budova je postavena z SL _n ( E ) namísto SL _n ( Q _p ) se Galois skupina Gal ( E / Q _p ) rovněž působí tak, že automorphisms na budově.

Geometrické vztahy

Sférické budovy vznikají dvěma zcela odlišnými způsoby v souvislosti s afinní budovou X pro SL _n ( Q _p ):

• Odkaz každého vrcholu L v afinních stavebních odpovídá na submoduly L / p · L rámci konečného pole F = R / p · R = Z / ( p ). Toto je pouze sférická stavba pro SL _n ( F ).
• Budovu X lze zhutnit přidáním sférické budovy pro SL _n ( Q _p ) jako hranici „v nekonečnu“ (viz Garrett 1997 nebo Brown 1989 ).

Bruhat – sýtí stromy se složitým množením

Když L je archimédovské místní pole, pak na budovu pro skupinu SL ₂ ( L ) lze uvalit další strukturu budovy se složitým násobením. Poprvé je představil Martin L. Brown ( Brown 2004 ). Tyto budovy vznikají, když kvadratické prodloužení L působí na vektorový prostor L ² . Tyto budovy s komplexním násobením lze rozšířit na jakékoli globální pole. Popisují působení Heckových operátorů na Heegnerových bodech na klasické modulární křivce X ₀ ( N ) i na modulární křivce Drinfeld X ₀ ^Drin ( I ). Tyto budovy s komplexním násobením jsou kompletně klasifikovány pro případ SL ₂ ( L ) v Brown 2004

Klasifikace

Prsa prokázala, že všechny neredukovatelné sférické budovy (tj. S konečnou Weylovou skupinou ) vyšší než 2 jsou spojeny s jednoduchými algebraickými nebo klasickými skupinami. Podobný výsledek platí pro neredukovatelné afinní budovy dimenze větší než dvě (jejich budovy „v nekonečnu“ jsou sférické s hodností větší než dvě). V nižší hodnosti nebo dimenzi taková klasifikace neexistuje. Každá struktura výskytu ve skutečnosti poskytuje sférické budování úrovně 2 (viz Pott 1995 ); a Ballmann a Brin dokázali, že každý 2-dimenzionální zjednodušený komplex, ve kterém jsou vazby vrcholů izomorfní s vlajkovým komplexem konečné projektivní roviny, má strukturu budovy, ne nutně klasickou. Mnoho 2-dimenzionálních afinních budov bylo postaveno pomocí hyperbolických reflexních skupin nebo jiných exotičtějších konstrukcí spojených s orbifolds .

Tits také dokázal, že pokaždé, když je budova popsána dvojicí BN ve skupině, pak téměř ve všech případech automatorfismy budovy odpovídají automatorfismům skupiny (viz Tits 1974 ).

Aplikace

Teorie budov má důležité aplikace v několika poměrně odlišných oblastech. Kromě již zmíněných souvislostí se strukturou redukčních algebraických skupin nad obecnými a místními poli se ke studiu jejich reprezentací používají budovy . Výsledky ňadry o stanovení skupiny podle jeho budově mají hluboké spojení s tuhostí vět z George Mostow a Grigorij Margulis , as Margulisová arithmeticity .

Speciální typy budov jsou studovány v diskrétní matematice a myšlenka geometrického přístupu k charakterizaci jednoduchých skupin se při klasifikaci konečných jednoduchých skupin ukázala jako velmi plodná . Teorie budov typu obecnějšího než sférického nebo afinního je stále relativně nevyvinutá, ale tyto zobecněné budovy již našly uplatnění pro konstrukci Kac – Moodyho skupin v algebře a pro nepozitivně zakřivená potrubí a hyperbolické skupiny v topologii a teorii geometrických skupin .

Viz také

Reference

• Ballmann, Werner; Brin, Michael (1995), „Orbihedra of nonpositive curvature“ , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 82 : 169–209, CiteSeerX  10.1.1.30.8282 , doi : 10,1007 / bf02698640
• Barré, Sylvain (1995), "Polyèdres dokončovací de rozměr 2 à courbure ≤ 0 et de Rang 2" , Annales de l'Institut Fourierova , 45 (4): 1037 - 1059, doi : 10,5802 / aif.1483 , archivovat z originál dne 06.06.2011 , vyvoláno 03.01.2008
• Barré, Sylvain; Pichot, Mikaël (2007), „Sur les immeubles triangulaires et leurs automorphismes“ (PDF) , Geom. Dedicata , 130 : 71–91, doi : 10,1007 / s10711-007-9206-0
• Bourbaki, Nicolas (1968), Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 4-6 , Elements of Mathematics, Hermann, ISBN 978-3-540-42650-9
• Brown, Kenneth S. (1989), Buildings , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96876-6
• Brown, Martin L. (2004), Heegnerovy moduly a eliptické křivky , Springer Verlag Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1849, ISBN 978-3-540-22290-3
• Bruhat, François; Tits, Jacques (1972), „Groupes réductifs sur un corps local, I. Données radicielles valuées“ , Publ. Matematika. IHES , 41 : 5–251, doi : 10,1007 / BF02715544
• Garrett, Paul (1997), Budovy a klasické skupiny , Chapman & Hall, ISBN 978-0-412-06331-2
• Kantor, William M. (2001) [1994], „Tits building“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Kantor, William M. (1986), „Generalized polygons, SCABs and GABs“, Rosati, LA, ed., Buildings and the Geometry of Diagrams (CIME Session, Como 1984) , přednáška. matematické poznámky, 1181 , Springer, str. 79–158, CiteSeerX  10.1.1.74.3986 , doi : 10,1007 / BFb0075513 , ISBN 978-3-540-16466-1
• Pott, Alexander (1995), Finite Geometry and Character Theory , Lect. Notes in Math., 1601 , Springer-Verlag, doi : 10,1007 / BFb0094449 , ISBN 978-3-540-59065-1
• Ronan, Mark (1995), Budovy a geometrie diagramů , přednáška. Notes in Math., 1181 , Springer-Verlag, str. 159–190, doi : 10,1007 / BFb0075518 , ISBN 978-3-540-16466-1
• Ronan, Mark (1992), "Budovy: hlavní myšlenky a aplikace. II. Aritmetické skupiny, budovy a symetrické prostory", Bull. London Math. Soc. , 24 (2): 97–126, doi : 10,1112 / blms / 24.2.97 , MR  1148671
• Ronan, Mark (1992), „Budovy: hlavní myšlenky a aplikace. I. Hlavní myšlenky.“, Bull. London Math. Soc. , 24 (1): 1–51, doi : 10,1112 / blms / 24.1.1 , MR  1139056
• Ronan, Mark (1989), Přednášky o budovách , Perspectives in Mathematics 7 , Academic Press, ISBN 978-0-12-594750-3
• Tits, Jacques (1974), Buildings of spherical type and finite BN-pair , Lecture Notes in Mathematics, 386 , Springer-Verlag, doi : 10,1007 / BFb0057391 , ISBN 978-0-387-06757-5
• Tits, Jacques (1981), „Místní přístup k budovám“ , Geometrická žíla: Coxeter Festschrift , Springer-Verlag, str.  519–547 , ISBN 978-0-387-90587-7
• Tits, Jacques (1986), „Immeubles de type affine“, in Rosati, LA (ed.), Budovy a geometrie diagramů (CIME Session, Como 1984) , Přednáška. matematické poznámky, 1181 , Springer, str. 159–190, doi : 10,1007 / BFb0075514 , ISBN 978-3-540-16466-1
• Weiss, Richard M. (2003), Struktura sférických budov , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11733-1

externí odkazy

• Rousseau: Euklidovské budovy