Bruhatův rozklad - Bruhat decomposition

V matematice lze Bruhatův rozklad (zavedený Françoisem Bruhatem pro klasické skupiny a obecně Claudem Chevalleyem ) G = BWB určitých algebraických skupin G na buňky považovat za obecné vyjádření principu eliminace Gauss-Jordan , který obecně píše matice jako produkt horní trojúhelníkové a dolní trojúhelníkové matice - ale s výjimečnými případy. Souvisí to s rozkladem Schubertových buněk Grassmannianů: viz Weylova skupina .

Obecněji řečeno, každá skupina s párem ( B , N ) má Bruhatův rozklad.

Definice

• G je připojená , reduktivní algebraická skupina přes algebraicky uzavřené pole .
• B je Borel podskupina z G
• W je skupina Weyl z G odpovídá maximálnímu prstencem z B .

Bruhat rozklad z G je rozklad

${\ displaystyle G = BWB = \ bigsqcup _ {w \ in W} BwB}$

z G jako nesouvislý spojení dvojité cosets z B parametrizovat prvky skupiny Weyl, W . (Všimněte si, že ačkoli W obecně není podskupinou G , coset wB je stále dobře definován, protože maximální torus je obsažen v B. )

Příklady

Nechť G je obecná lineární skupina GL _n invertovatelných matic se vstupy v nějakém algebraicky uzavřeném poli, což je reduktivní skupina . Pak je Weylova skupina W isomorfní se symetrickou skupinou S _n na n písmenech, s permutačními maticemi jako zástupci. V tomto případě můžeme B považovat za podskupinu horních trojúhelníkových invertibilních matic, takže Bruhatův rozklad říká, že lze napsat jakoukoli invertibilní matici A jako produkt U ₁ PU _2, kde U ₁ a U ₂ jsou horní trojúhelníkové a P je permutační matice. Když to napíšeme jako P = U ₁ ⁻¹ AU ₂ ⁻¹ , znamená to, že jakoukoli invertibilní matici lze transformovat na permutační matici pomocí řady operací řádků a sloupců, kde můžeme přidávat pouze řádek i (resp. Sloupec i ) do řádku j (resp. sloupce j ), pokud i  >  j (resp. i  <  j ). Řádkové operace odpovídají U ₁ ⁻¹ a sloupcové operace odpovídají U ₂ ⁻¹ . ${\ displaystyle n \ krát n}$

Speciální lineární skupina SL _n z invertible matic s determinantem 1 je polojednoduché skupina , a tudíž redukční. V tomto případě, W je stále isomorfní symetrické skupiny S _n . Avšak determinant permutační matice je znamením permutace, takže k reprezentaci liché permutace v SL _n můžeme vzít jeden z nenulových prvků jako -1 místo 1. Zde B je podskupina horních trojúhelníkových matic s determinantem 1, takže interpretace Bruhatova rozkladu je v tomto případě podobná jako v případě GL _n . ${\ displaystyle n \ krát n}$

Geometrie

Buňky v Bruhatově rozkladu odpovídají Schubertovu buněčnému rozkladu Grassmannianů. Rozměr buněk odpovídá délce slova w ve Weylově skupině. Poincaréova dualita omezuje topologii buněčného rozkladu, a tím algebru Weylovy skupiny; například horní dimenzionální buňka je jedinečná (představuje základní třídu ) a odpovídá nejdelšímu prvku skupiny Coxeter .

Výpočty

Počet buněk v dané dimenzi Bruhatova rozkladu jsou koeficienty q- polynomu příslušného Dynkinova diagramu .

Zdvojnásobte Bruhatovy buňky

Se dvěma protilehlými Borely může jeden protínat buňky Bruhat pro každou z nich.

${\ displaystyle G = \ bigsqcup _ {w_ {1}, w_ {2} \ in W} (Bw_ {1} B \ cap B _ {-} w_ {2} B _ {-})}$

Viz také

• Lež skupinové rozklady
• Birkhoffova faktorizace , speciální případ Bruhatova rozkladu pro afinní skupiny.
• Clusterová algebra

Poznámky

Reference

• Borel, Armand . Lineární algebraické skupiny (2. vyd.). New York: Springer-Verlag, 1991. ISBN  0-387-97370-2 .
• Bourbaki, Nicolas , Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 4-6 (Elements of Mathematics) , Springer-Verlag, 2008. ISBN  3-540-42650-7