( B , N ) pár - (B, N) pair

V matematice je dvojice ( B , N ) struktura na skupinách Lieova typu, která umožňuje jednotně podávat důkazy o mnoha výsledcích, místo aby poskytovala velké množství důkazů od případu k případu. Zhruba řečeno to ukazuje, že všechny takové skupiny jsou podobné obecné lineární skupině nad polem. Byly představeny matematikem Jacquesem Titsem a jsou také někdy známé jako Titsovy systémy .

Definice

( B , N ) dvojice je dvojice podskupin B a N skupiny G tak, že tyto axiomy držet:

• G je generován B a N .
• Průsečík, H , z B a N je normální podskupina z N .
• Skupina W = N / H je generován soubor S prvků w _i řádu 2, pro i v některých neprázdná množina I .
• Pokud w _i je prvek S a w je libovolný prvek W , pak je w _i Bw obsaženo ve spojení Bw _i wB a BwB .
• No generátor w _i normalizuje B .

Myšlenka této definice je to, že B je analogem horních trojúhelníkových matic obecného lineárního skupiny GL _n ( K ), H je analogem diagonálních matic, a N je analog normalizátor z H .

Podskupina B se někdy nazývá Borelova podskupina , H se někdy nazývá Cartanova podskupina a W se nazývá Weylova skupina . Dvojice ( W , S ) je Coxeterův systém .

Počet generátorů se nazývá hodnost .

Příklady

• Předpokládejme, že G je jakákoli dvojnásobně přechodná permutační skupina na množině X s více než 2 prvky. Necháme B být podskupinou G upevňující bod x a necháme N být podskupinou upevňující nebo vyměňující 2 body x a y . Podskupina H je pak soubor prvků, upevňovacích i x a y , a W je řádu 2 a její netriviální prvek představuje cokoliv výměně x a y .
• Naopak, jestliže G je (B, N) dvojici číslo 1, potom je působení G na cosets z B je dvojnásobně přenositelný . Dvojice BN 1. úrovně jsou tedy víceméně stejné jako dvojnásobně přechodné akce na sadách s více než 2 prvky.
• Předpokládejme, že G je obecně lineární skupina GL _n ( K ) v průběhu pole K . Bereme B jako horní trojúhelníkové matice, H jako diagonální matice a N jako monomiální matice , tj. Matice s přesně jedním nenulovým prvkem v každém řádku a sloupci. Existuje n  - 1 generátorů w _i , reprezentovaných maticemi získanými záměnou dvou sousedních řad diagonální matice.
• Obecněji řečeno, každá skupina typu Lie má strukturu BN páru.
• Reduktivní algebraická skupina nad místním polem má pár BN, kde B je podskupina Iwahori .

Vlastnosti skupin s párem BN

Mapa beroucí w na BwB je izomorfismus ze sady prvků W do sady dvojitých kosetů B ; toto je Bruhatův rozklad   G  =  BWB .

Pokud T je podmnožina S nechť W ( T ), je podskupina W vytvořeného T : definujeme a G ( T ) = BW ( T ), B , že je standardní parabolickou podskupina pro T . Podskupiny G obsahující konjugáty B jsou parabolické podskupiny ; konjugáty B se nazývají borelské podskupiny (nebo minimální parabolické podskupiny). Jedná se přesně o standardní parabolické podskupiny.

Aplikace

BN páry mohou být použity k prokázání, že mnoho skupin Lieova typu je jednoduché modulo svých center. Přesněji řečeno, pokud má G BN- pár takový, že B je řešitelná skupina , průnik všech konjugátů B je triviální a množinu generátorů W nelze rozložit na dvě neprázdné sady dojíždění, pak G je jednoduchá kdykoli je to dokonalá skupina . V praxi jsou všechny tyto podmínky kromě toho, že G je perfektní, snadno zkontrolovatelné. Ověření toho, že G je perfektní, vyžaduje nějaké mírně chaotické výpočty (a ve skutečnosti existuje několik malých skupin typu Lie, které nejsou dokonalé). Ale ukázat, že skupina je dokonalá, je obvykle mnohem jednodušší než ukázat, že je to jednoduché.

Reference

• Bourbaki, Nicolas (2002). Ležové skupiny a Lie Algebry: kapitoly 4–6 . Základy matematiky. Springer. ISBN   3-540-42650-7 . Zbl   0983.17001 . CS1 maint: discouraged parameter ( link ) Standardní reference pro páry BN.
• Serre, Jean-Pierre (2003). Stromy . Springer. ISBN   3-540-44237-5 . Zbl   1013.20001 . CS1 maint: discouraged parameter ( link )