Podskupina Borel - Borel subgroup

Lež skupiny
Klasické skupiny
Jednoduché Lie skupiny Klasický A n B č C č D č Výjimečný G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Další Lie skupiny Kruh Lorentz Poincaré Konformní skupina Difomorfismus Smyčka Euklidovský
Lež algebry
Poloplná Lieova algebra
Teorie reprezentace
Lež skupiny ve fyzice
Vědci Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glosář Tabulka Lieových skupin
proti t E

V teorii algebraických skupin , je Borel podskupina z algebraické skupiny G je maximální Zariski uzavřený a připojený řešitelné algebraický podskupina . Například v obecné lineární skupině GL _n ( nxn invertible matrices) je podskupinou invertibilních horních trojúhelníkových matic podskupina Borel.

Pro skupiny realizované přes algebraicky uzavřená pole existuje jediná třída konjugace borelských podskupin.

Borelovy podskupiny jsou jednou ze dvou klíčových složek porozumění struktuře jednoduchých (obecněji redukčních ) algebraických skupin v teorii skupin Jacquesa Titsa s párem (B, N) . Zde je skupina B je Borel podskupina a N je normalizer z několika maximálních anuloidu obsažené v B .

Pojem představil Armand Borel , který hrál hlavní roli ve vývoji teorie algebraických skupin.

Parabolické podskupiny

Podskupiny mezi borelskou podskupinou B a okolní skupinou G se nazývají parabolické podskupiny . Parabolické podskupiny P se také mezi algebraickými podskupinami vyznačují podmínkou, že G / P je úplná odrůda . Při práci na algebraicky uzavřených polích se podskupiny Borel v tomto smyslu ukázaly jako minimální parabolické podskupiny . B je tedy podskupinou Borel, když homogenní prostor G / B je úplná odrůda, která je „co největší“.

Pro jednoduchou algebraickou skupinu G je sada tříd konjugace parabolických podskupin v bijekci se sadou všech podmnožin uzlů odpovídajícího Dynkinova diagramu ; podskupina Borel odpovídá prázdné sadě a G samotné odpovídá sadě všech uzlů. (Obecně každý uzel Dynkinova diagramu určuje jednoduchý záporný kořen, a tedy jednorozměrná „kořenová skupina“ G --- podmnožina uzlů tak získá parabolickou podskupinu generovanou B a odpovídajícími zápornými kořenovými skupinami. Každá parabolická podskupina je navíc konjugována s takovou parabolickou podskupinou.)

Příklad

Pojďme . Borel podskupina ze je množina horních trojúhelníkových matic ${\ displaystyle G = GL_ {4} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle \ left \ {A = {\ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & a_ {14} \\ 0 & a_ {22} & a_ {23} & a_ {24} \\ 0 & 0 & a_ {33 } & a_ {34} \\ 0 & 0 & 0 & a_ {44} \ end {bmatrix}}: \ det (A) \ neq 0 \ right \}}$

a maximální správné parabolické podskupiny obsahující jsou ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & a_ {14} \\ 0 & a_ {22} & a_ {23} & a_ {24} \\ 0 & a_ {32} & a_ {33} & a_ {34} \\ 0 & a_ {42} & a_ {43} & a_ {44} \ end {bmatrix}} \ right \}, {\ text {}} \ left \ {{\ begin {bmatrix} a_ { 11} & a_ {12} & a_ {13} & a_ {14} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} & a_ {24} \\ 0 & 0 & a_ {33} & a_ {34} \\ 0 & 0 & a_ {43} & a_ { 44} \ end {bmatrix}} \ right \}, {\ text {}} \ left \ {{\ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & a_ {14} \\ a_ {21 } & a_ {22} & a_ {23} & a_ {24} \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} & a_ {34} \\ 0 & 0 & 0 & a_ {44} \ end {bmatrix}} \ right \}}$

Také maximální torus v je ${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {bmatrix} a_ {11} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_ {22} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_ {33} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_ {44} \ end {bmatrix}}: a_ {11} \ cdot a_ {22} \ cdot a_ {33} \ cdot a_ {44} \ neq 0 \ doprava \}}$

To je izomorfní s algebraickým torusem . ${\ displaystyle (\ mathbb {C} ^ {*}) ^ {4} = {\ text {Spec}} (\ mathbb {C} [x ^ {\ pm 1}, y ^ {\ pm 1}, z ^ {\ pm 1}, w ^ {\ pm 1}])}$

Lež algebra

Pro zvláštní případ algebry lži s Cartan podalgebry , měl by dostat uspořádání of je Borel podalgebry je přímý součet a hmotnost prostory o s kladnou hmotností. Lieova subalgebra obsahující borelskou subalgebru se nazývá parabolická Lieova algebra . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Viz také

• Hyperbolická skupina
• Cartan podskupina

Reference

• Gary Seitz (1991). "Algebraické skupiny". V B. Hartley; et al. (eds.). Konečné a místně konečné skupiny . str. 45–70.
• J. Humphreys (1972). Lineární algebraické skupiny . New York: Springer. ISBN   0-387-90108-6 .
• A. Borel (2001). Eseje v dějinách lžových skupin a algebraických skupin . Providence RI: AMS. ISBN   0-8218-0288-7 .

Charakteristický

externí odkazy

• Popov, VL (2001) [1994], „Parabolická podskupina“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Platonov, VP (2001) [1994], „Borel subgroup“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press