Obiect injectiv - Injective object

În matematică , în special în domeniul teoriei categoriilor , conceptul de obiect injectiv este o generalizare a conceptului de modul injectiv . Acest concept este important în cohomologie , în teoria homotopiei și în teoria categoriilor de modele . Noțiunea duală este cea a unui obiect proiectiv .

Definiție

Un obiect Q este injectiv dacă, având în vedere un monomorfism f  : X → Y , orice g  : X → Q poate fi extinsă la Y .

Un obiect dintr-o categorie se spune că este injectiv dacă pentru fiecare monomorfism și pentru fiecare morfism există un morfism care se extinde la , adică astfel încât . ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$ ${\ displaystyle f: X \ to Y}$ ${\ displaystyle g: X \ to Q}$${\ displaystyle h: Y \ to Q}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle h \ circ f = g}$

Adică fiecare morfism factorează prin fiecare monomorfism . ${\ displaystyle X \ to Q}$${\ displaystyle X \ hookrightarrow Y}$

Morfismul din definiția de mai sus nu trebuie să fie determinat în mod unic de și . ${\ displaystyle h}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$

Într - un local mic categorie, este echivalent cu a solicita ca functorul Hom desfășoară în monomorphisms la surjectiv hărți set. ${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ mathbf {C}} (-, Q)}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$

În categoriile abeliene

Noțiunea de injectivitate a fost formulată mai întâi pentru categoriile abeliene și acesta este încă unul dintre domeniile sale principale de aplicare. Atunci când este o categorie abeliană, un obiect Q de injectiv dacă și numai dacă sa functorului Hom Hom _C (-, Q ) este exactă . ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$

În cazul în care este o secvență exactă în așa fel încât Q este injectiv, atunci se desparte de secvență . ${\ displaystyle 0 \ to Q \ to U \ to V \ to 0}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$

Destul de injectabile și corpuri injectabile

Se spune că categoria are suficiente injective dacă pentru fiecare obiect X din , există un monomorfism de la X la un obiect injectiv. ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$

Un monomorfism g in se numește monomorfism esențial dacă pentru orice morfism f , compusul fg este un monomorfism numai dacă f este un monomorfism. ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$

Dacă g este un monomorfism esențial cu domeniul X și un injectivă Codomeniu G , atunci G se numește o coca injectiv de X . Coca injectivă este apoi determinată în mod unic de X până la un izomorfism necanonic.

Exemple

• În categoria grupurilor abeliene și a omomorfismelor de grup , Ab , un obiect injectiv este neapărat un grup divizibil . Presupunând axioma alegerii, noțiunile sunt echivalente.
• În categoria modulelor (stânga) și a omomorfismelor modulelor , R - Mod , un obiect injectiv este un modul injectiv . R - Mod are corpuri injectabile (ca o consecință, R - Mod are suficiente substanțe injectabile).
• În categoria spațiilor metrice , Met , un obiect injectiv este un spațiu metric injectiv , iar corpul injectiv al unui spațiu metric este întinderea sa strânsă .
• În categoria spațiilor T ₀ și a mapărilor continue , un obiect injectiv este întotdeauna o topologie Scott pe o rețea continuă și, prin urmare, este întotdeauna sobru și compact local .

Utilizări

Dacă o categorie abeliană are suficiente injective, putem forma rezoluții injective , adică pentru un anumit obiect X putem forma o secvență exactă lungă

${\ displaystyle 0 \ to X \ to Q ^ {0} \ to Q ^ {1} \ to Q ^ {2} \ to \ cdots}$

și se pot defini apoi funcționorii derivați ai unui functor F dat prin aplicarea F la această secvență și calcularea omologiei secvenței rezultate (nu neapărat exacte). Această abordare este utilizată pentru a defini funcțiile Ext și Tor, precum și diferitele teorii ale cohomologiei din teoria grupelor , topologia algebrică și geometria algebrică . Categoriile utilizate sunt în mod obișnuit categorii de functori sau categorii de snopi de module O _X peste un spațiu inelat ( X , O _X ) sau, mai general, orice categorie Grothendieck .

Generalizare

Un obiect Q este H -injectiv dacă, dat fiind h  : A → B în H , orice f  : A → Q factorează prin h .

Să fie o categorie și să fie o clasă de morfisme ale . ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$

Se spune că un obiect al este -injectiv dacă există pentru fiecare morfism și pentru fiecare morfism din acesta un morfism cu . ${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle f: A \ to Q}$${\ displaystyle h: A \ to B}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle g: B \ to Q}$${\ displaystyle g \ circ h = f}$

Dacă este clasa monomorfismelor , ne întoarcem la obiectele injectabile care au fost tratate mai sus. ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

Se spune că categoria are suficiente -injective dacă pentru fiecare obiect X din , există un -morfism de la X la un obiect -injectiv. ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

Un -morfism g in se numește -esențial dacă pentru orice morfism f , fg compozit este în numai dacă f este în . ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

Dacă g este un morfism -essential cu domeniul X și un Codomeniu -injective G , atunci G se numește o coca -injective de X . ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

Exemple de obiecte H -injective

• În categoria seturilor simpliciale , obiectele injective în raport cu clasa extensiilor anodine sunt complexe Kan . ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$
• În categoria seturilor parțial ordonate și a hărților monotone , rețelele complete formează obiectele injective pentru clasa încorporărilor de ordine , iar completarea Dedekind – MacNeille a unui set parțial ordonat este carena sa -injectivă. ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

Vezi si

• Obiectiv proiectiv

Note

Referințe

• J. Rosicky, Injectivitate și categorii accesibile
• F. Cagliari și S. Montovani, T _{0 -} corpuri de reflecție și injective ale spațiilor din fibre