Dualizing moduł - Dualizing module

W algebry abstrakcyjnej , wykorzystując moduł dualizing , zwany również moduł kanoniczne , to moduł nad pierścienia przemiennego , które jest analogiczne do kanonicznej wiązki o gładkiej odmiany . Jest on stosowany w Grothendieck lokalnej dwoistości .

Definicja

Moduł dualizing na pierścień noetherowski R jest skończoną generowane moduł M tak, że za każdym maksymalnej idealnego m The R / m miejsca wektora Ext n
R ( R / m , M ) zanika, gdy n  ≠ wysokość ( m ) i 1- wymiarowe , gdy n  = wysokość ( m ).

Moduł dualizing nie musi być unikalna, ponieważ produkt tensor z dowolnego modułu dualizing z Rank 1 modułu projekcyjnej jest również moduł dualizing. Jednak jest to jedyny sposób, w jaki moduł dualizing nie być unikalna: podany dowolne dwa moduły dualizing, jeden jest izomorficzna z produktem tensora drugiego z modułem Pozycja 1 projekcyjnej. W szczególności, gdy pierścień jest lokalny moduł dualizing jest unikalna co do izomorfizmu.

Pierścień noetherowski niekoniecznie posiadają moduł dualizing. Dowolny pierścień w moduł dualizing musi Cohen-Macaulay . I odwrotnie, jeśli pierścień Cohen-Macaulay ilorazem z pierścieniem Gorenstein to ma moduł dualizing. W szczególności każdy kompletny pierścień lokalny Cohen-Macaulay ma moduł dualizing. Pierścienie bez modułu dualizing jest czasami możliwe zastosowanie kompleksu dualizing jako substytut.

Przykłady

Jeżeli R oznacza pierścień Gorenstein, a R traktowane jako moduł na siebie jest modułem dualizing.

Jeśli R jest Artinian pierścień lokalny czym moduł Matlis z R (w injective kadłuba dziedzinie pozostałości) jest modułem dualizing.

Artinian pierścień lokalny R  =  K [ x , y ] / ( x 2 , Y 2 , xy ) ma unikalny moduł dualizing, ale nie jest izomorficzny R .

Pierścień Z [ √ -5 ] dwa nieizomorficznych modułów dualizing, odpowiadające obu klas odwracalnych idei.

Lokalny pierścień K [ x , y ] / ( Y 2 , xy ) nie Cohen-Macaulay więc nie ma moduł dualizing.

Zobacz też

Referencje

  • Bourbaki, N. (2007), Algèbre przemienne. Chapitre 10 , elementy de mathématique (w języku francuskim), Springer-Verlag, Berlin, ISBN  978-3-540-34394-3 , MR  2.333.539
  • Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993), pierścienie Cohen-Macaulay , studia w Cambridge w zaawansowanej matematyki, 39 , Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-41068-7 , MR  1251956