Basit fonksiyonu - Simple function

Olarak matematiksel alanında gerçek analiz , bir basit fonksiyonu a, gerçek bir alt kümesi üzerinde -valued fonksiyonu gerçek hattı için benzer, basamak fonksiyonu . Basit fonksiyonlar bunları kullanarak matematiksel akıl yürütme, teori ve daha kolay kanıt yapar yeterince "güzel" dir. Örneğin, basit işlevleri değerlerin sadece sınırlı sayıda ulaşmak. Bazı yazarlar da olmak basit işlevleri gerektiren ölçülebilir ; Uygulamada kullanılan, bunlar kaçınılmaz bulunmaktadır.

Basit bir işlev temel bir örneği kat fonksiyonu sadece değerleri yarı açık aralık [1, 9), üzerinde {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Daha gelişmiş bir örnektir Dirichlet fonksiyonu halinde 1 değerini gerçek hattı üzerinden x aksi rasyonel ve 0. (Böylece "basit işlevi" nin "basit" ortak bir dil ile ters biraz teknik bir anlamı vardır.) Not Ayrıca tüm bu adım fonksiyonları basittir.

Basit fonksiyonlar teorileri gelişiminde bir birinci aşama olarak kullanılan entegrasyonu gibi, yekpare Lebesgue kolay olduğu için basit bir işlev için entegrasyon tanımlamak için, ve aynı zamanda basit fonksiyonların dizileri ile daha genel işlevleri yaklaştığı basittir.

Tanım

Resmen basit işlevi, bir sonlu lineer kombinasyonu ait gösterge fonksiyonları arasında ölçülebilir kümeler . Daha doğrusu, (let X , Σ) bir olmak ölçülebilir uzay . Let A ₁ , ..., A _n ∈ Σ bir olmak dizisi ayrık ölçülebilir kümelerin ve izin bir ₁ , ..., bir _n bir dizisi gerçek veya karmaşık sayılar . Bir basit fonksiyonu bir fonksiyonudur formunun ${\ Displaystyle f: X \ için \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle f (x) = \ toplamı _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} {\ mathbf {1}} _ {A_ {k}} (x)},$

burada bir gösterge işlevi seti A . ${\ Displaystyle {\ mathbf {1}} _ {A}}$

Basit fonksiyonların Özellikleri

İki basit fonksiyonların toplanması, çıkarılması ve ürün sabit basit fonksiyonu basit tutar tekrar basit fonksiyonlar ve çarpma vardır; dolayısıyla verilen bir ölçülebilir uzay üzerindeki tüm basit fonksiyonların koleksiyonu üzerinde bir değişmeli cebir oluşturduğunu izler . ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Basit fonksiyonların integrali

Bir ise ölçü μ alan (tanımlanır X , Σ), yekpare bir f ^ ı ile ilgili olan

${\ Displaystyle \ toplamı _ {k = 1} ^ {n} mu \ a_ {k} (A_ {k})},$

Tüm summands sonlu ise.

Lebesgue entegrasyon ilişkisi

Herhangi bir negatif olmayan ölçülebilir fonksiyonu olan noktasal olmayan negatif basit fonksiyonların monoton artan bir dizinin limiti. Gerçekten de, izin ölçü alan üzerine tanımlı, negatif olmayan bir ölçülebilir fonksiyon daha önce olduğu gibi. Her biri için , aralığını subdivide içine aralıklarla, uzunluğuna sahip olan . Her biri için , set ${\ Displaystyle f \ kolon X \ mathbb \ olarak {R} ^ {+}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle (X, mu \ \ Sigma)}$${\ \ Mathbb içinde displaystyle n \ {N-}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle 2 ^ {2n + 1}}$${\ Displaystyle 2 ^ {2n}}$${\ Displaystyle 2 ^ {- n}}$${\ Displaystyle n}$

${\ N, k displaystyle I_ {} = \ sol [{\ frac {k-1} {2 ^ {n}}}, {\ frac {k} {2 ^ {n}}} \ sağ)}$için , ve .${\ Displaystyle k = 1,2, \ ldots, 2 ^ {2n}}$${\ Displaystyle I_ {n, 2 ^ {2n} + 1} = [2 ^ {n} \ infty)}$

(Sabit için, dikkat , kümeler ayrık ve negatif olmayan gerçek hat kapsamaktadır.) ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle I_ {n, k}}$

Şimdi ölçülebilir setleri tanımlamak

${\ Displaystyle A_ {n, k} = f ^ {1 -} (I_ {n, k}) \}$için .${\ Displaystyle k = 1,2, \ ldots, 2 ^ {2n + 1}}$

Basit fonksiyonların sonra artan dizi

${\ Displaystyle f_ {n} = \ toplamı _ {k = 1} ^ {2 ^ {2n + 1}} {\ frac {k-1} {2 ^ {n}}} {\ mathbf {1}} _ {A_ {n, k}}}$

için noktasal yakınsar olarak . Unutmayın zaman sınırlanan, yakınsama üniforma. Bu yaklaşım , basit fonksiyonları ile (ki kolayca integrallenebilirler) bize tamamlayıcı için imkan sağlar kendisi; üzerine makalesine bakın Lebesgue entegrasyonu daha fazla ayrıntı için. ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle n \ infty \ olarak}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f}$

Referanslar

• JFC Kingman, SJ Taylor . Giriş ölçün ve Olasılık etmek , Cambridge 1966.
• S. Lang . Gerçek ve fonksiyonel analizi , 1993, Springer-Verlag.
• W. Rudin . Reel ve Kompleks Analiz , 1987, McGraw-Hill.
• HL Royden . Reel Analiz , 1968, Collier Macmillan.