Jednoduchá funkce - Simple function

V matematickém poli reálné analýzy je jednoduchá funkce funkcí se skutečnými hodnotami nad podmnožinou reálné linie , podobně jako funkce skoků . Jednoduché funkce jsou dostatečně „hezké“, takže jejich použití usnadňuje matematické uvažování, teorii a důkaz. Například jednoduché funkce dosahují pouze konečného počtu hodnot. Někteří autoři také vyžadují, aby byly měřitelné jednoduché funkce ; jak se v praxi používají, vždy jsou.

Základní příklad jednoduché funkce je funkce floor v polootevřeném intervalu [1, 9), jehož jediné hodnoty jsou {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Pokročilejším příkladem je Dirichletova funkce nad skutečnou linií, která nabývá hodnoty 1, pokud x je racionální a 0 jinak. (Tedy „jednoduchá“ „jednoduchá funkce“ má technický význam, který je poněkud v rozporu s běžným jazykem.) Všimněte si také, že všechny krokové funkce jsou jednoduché.

Jednoduché funkce se používají jako první fáze vývoje teorií integrace , jako je Lebesgueův integrál , protože je snadné definovat integraci pro jednoduchou funkci a také je snadné aproximovat obecnější funkce posloupností jednoduchých funkcí.

Definice

Formálně jednoduchý funkce je konečná lineární kombinace z indikačních funkcí z měřitelných souborů . Přesněji, nechť ( X , Σ) je měřitelný prostor . Nechť ₁ , ..., _n ∈ Σ být sekvence z disjunktních měřitelných souborů a nechat ₁ , ..., _n být sled skutečných nebo komplexních čísel . Funkce jednoduché je funkce ve tvaru ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle f (x) = \ součet _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} {\ mathbf {1}} _ {A_ {k}} (x),}$

kde je funkce ukazatel nastavené A . ${\ displaystyle {\ mathbf {1}} _ {A}}$

Vlastnosti jednoduchých funkcí

Součet, rozdíl a součin dvou jednoduchých funkcí jsou opět jednoduché funkce a násobení konstantou udržuje jednoduchou funkci jednoduchou; z toho tedy vyplývá, že soubor všech jednoduchých funkcí v daném měřitelném prostoru tvoří komutativní algebru . ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Integrace jednoduchých funkcí

Je-li míra je μ definován na prostoru ( X , å) je integrál z f vzhledem k μ je

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ mu (A_ {k}),}$

jsou-li všechna sčítání konečná.

Vztah k integraci Lebesgue

Jakákoli nezáporná měřitelná funkce je bodovým limitem monotónně rostoucí posloupnosti nezáporných jednoduchých funkcí. Nechť je to nezáporná měřitelná funkce definovaná v prostoru míry jako dříve. U každého rozdělte rozsah na na intervaly, z nichž mají délku . U každého nastavte ${\ displaystyle f \ dvojtečka X \ až \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle (X, \ Sigma, \ mu)}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle 2 ^ {2n} +1}$${\ displaystyle 2 ^ {2n}}$${\ displaystyle 2 ^ {- n}}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle I_ {n, k} = \ left [{\ frac {k-1} {2 ^ {n}}}, {\ frac {k} {2 ^ {n}}} \ right)}$pro , a .${\ displaystyle k = 1,2, \ ldots, 2 ^ {2n}}$${\ displaystyle I_ {n, 2 ^ {2n} +1} = [2 ^ {n}, \ infty)}$

(Všimněte si, že pro pevné jsou sady disjunktní a pokrývají nezápornou skutečnou linii.) ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle I_ {n, k}}$

Nyní definujte měřitelné sady

${\ displaystyle A_ {n, k} = f ^ {- 1} (I_ {n, k}) \,}$pro .${\ displaystyle k = 1,2, \ ldots, 2 ^ {2n} +1}$

Pak se zvyšuje posloupnost jednoduchých funkcí

${\ displaystyle f_ {n} = \ součet _ {k = 1} ^ {2 ^ {2n} +1} {\ frac {k-1} {2 ^ {n}}} {\ mathbf {1}} _ {A_ {n, k}}}$

konverguje bodově na jako . Všimněte si, že když je omezený, konvergence je jednotná. Tato aproximace jednoduchými funkcemi (které jsou snadno integrovatelné) nám umožňuje definovat samotný integrál ; další informace najdete v článku o integraci Lebesgue . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle n \ to \ infty}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

Reference

• JFC Kingman, SJ Taylor . Introduction to Measure and Probability , 1966, Cambridge.
• S. Lang . Skutečná a funkční analýza , 1993, Springer-Verlag.
• W. Rudin . Skutečná a komplexní analýza , 1987, McGraw-Hill.
• HL Royden . Skutečná analýza , 1968, Collier Macmillan.