função simples - Simple function

Na matemática campo da análise real , uma função simples é uma verdadeira função -valued sobre um subconjunto da reta real , semelhante a uma função degrau . Funções simples são suficientemente "agradável" que usá-los faz com que o raciocínio matemático, teoria e prova mais fácil. Por exemplo, funções simples atingir apenas um número finito de valores. Alguns autores também exigem funções simples para ser mensuráveis ; como utilizado na prática, eles são invariavelmente.

Um exemplo de base de uma simples função é a função de chão ao longo do intervalo semi-aberto [1, 9), cujo único valores são {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Um exemplo mais avançado é a função de Dirichlet sobre a linha real, que assume o valor 1 se x é racional e 0 caso contrário. (Assim, o "simples" de "simples função" tem um significado técnico um pouco em desacordo com a linguagem comum.) Note também que todas as funções da etapa são simples.

Funções simples são usados como uma primeira etapa no desenvolvimento de teorias de integração , como o integral de Lebesgue , porque é fácil de definir a integração de uma função simples e também é simples para aproximar funções mais gerais por seqüências de funções simples.

Definição

Formalmente, uma função simples é um finito combinação linear de funções indicadoras de conjuntos mensuráveis . Mais precisamente, vamos ( X , Σ) ser um espaço mensurável . Deixe A ₁ , ..., A _n ∈ Σ ser uma seqüência de conjuntos mensuráveis disjuntos, e deixar um ₁ , ..., a _n ser uma seqüência de reais ou números complexos . Uma função simples é uma função da forma ${\ Displaystyle f: X \ a \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle f (x) = \ _ {soma k = 1} ^ {n} a_ {k} {\ mathbf {1}} _ A_ {{k}} (x),}$

onde é a função de indicador do conjunto A . ${\ Displaystyle {\ mathbf {1}} _ {A}}$

Propriedades de funções simples

A soma, diferença e produto de duas funções simples são funções novamente simples e multiplicação por constante mantém uma função simples simples; daí segue-se que a recolha de todas as simples funções em um determinado espaço mensurável forma uma álgebra comutativa mais . ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Integração de funções simples

Se uma medida μ é definido no espaço ( X , Σ), o integrante de f em relação ao μ é

${\ Displaystyle \ soma _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ mu (A_ {k}),}$

se todos summands são finitos.

Relação à integração de Lebesgue

Qualquer não-negativo mensurável função é a pontual limite de uma sequência crescente monótona de funções simples não-negativos. Na verdade, vamos ser uma função mensurável não negativa definida sobre o espaço medida como antes. Para cada , subdividir a gama de em intervalos, de que têm comprimento . Para cada , definir ${\ Displaystyle f \ cólon X \ a \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle (X, \ Sigma, \ mu)}$${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle 2 ^ {2n} +1}$${\ Displaystyle 2 ^ {2n}}$${\ Displaystyle 2 ^ {- n}}$${\ N} displaystyle$

${\ Displaystyle I_ {n, k} = \ esquerda [{\ frac {k-1} {2 ^ {n}}}, {\ frac {k} {2 ^ {n}}} \ direita)}$para , e .${\ Displaystyle k = 1,2, \ ldots, 2 ^ {2n}}$${\ Displaystyle I_ {n, 2 ^ {2n} 1} = [2 ^ {n}, \ infty)}$

(Note-se que, para fixo , os conjuntos são disjuntos e cobrir a reta real não negativo.) ${\ N} displaystyle$${\ Displaystyle I_ {n, k}}$

Agora definir os conjuntos mensuráveis

${\ Displaystyle A_ {n, k} = f ^ {- 1} (I_ {n, k}) \,}$para .${\ Displaystyle k = 1,2, \ ldots, 2 ^ {2n} 1}$

Em seguida, o aumento da sequência de funções simples

${\ Displaystyle f_ {n} = \ _ {soma k = 1} ^ {2 ^ {2n} 1} {\ frac {k-1} {2 ^ {n}}} {\ mathbf {1}} _ {A_ {n, k}}}$

converge pontualmente para como . Note-se que, quando é delimitada, a convergência é uniforme. Esta aproximação das por funções simples (que são facilmente integrável) nos permite definir uma integral em si; veja o artigo sobre a integração de Lebesgue para mais detalhes. ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle n \ a \ infty}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f}$

Referências

• JFC Kingman, SJ Taylor . Introdução à Medida e Probabilidade de 1966, Cambridge.
• S. Lang . Análise real e funcional , 1993, Springer-Verlag.
• W. Rudin . Análise Real e Complexo de 1987, McGraw-Hill.
• HL Royden . Análise Real de 1968, Collier Macmillan.