Eenvoudige functie - Simple function

In het wiskundige gebied van reële analyse , een eenvoudige functie is een echte -valued functie op een subset van de echte lijn , vergelijkbaar met een stap functie . Eenvoudige functies voldoende "nice" dat het gebruik ervan maakt wiskundig redeneren, theorie, en het bewijs gemakkelijker. Bijvoorbeeld eenvoudige functies bereiken slechts een eindig aantal waarden. Sommige auteurs vereisen ook eenvoudige functies te zijn meetbaar ; zoals gebruikt in de praktijk, ze steevast zijn.

Een eenvoudig voorbeeld van een eenvoudige functie is de vloer functie via halfopen interval [1, 9), waarvan de enige waarden {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Een meer geavanceerde voorbeeld is de Dirichlet functie via echte lijn, die gelijk is aan 1 als x is 0 en rationele wijze. (Dus de "eenvoudige" of "eenvoudige functie" een technische betekenis enigszins haaks gemeenschappelijke taal.) Merk op dat alle stapfuncties eenvoudig.

Eenvoudige functies worden gebruikt als een eerste stap in de ontwikkeling van theorieën integratie , zoals de Lebesgue integraal , omdat het gemakkelijk te integreren definiëren voor een eenvoudige functie en het is ook eenvoudig om algemenere functies benaderen door sequenties van eenvoudige functies.

Definitie

Formeel een eenvoudige functie is een eindige lineaire combinatie van aanwijsfuncties van meetbare sets . Meer in het bijzonder laat ( X , Σ) een meetbare ruimte . Laat A ₁ , ..., A _n ∈ Σ is een opeenvolging van meetbare disjuncte verzamelingen en laat een ₁ , ..., a _n een reeks zijn reële of complexe getallen . Een eenvoudige functie is een functie van de vorm ${\ Displaystyle f: X \ to \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} {\ mathbf {1}} {_ A_ {k}} (x)}$

waarbij de indicatorfunctie van het toestel A . ${\ Displaystyle {\ mathbf {1}} _ {A}}$

Eigenschappen van eenvoudige functies

De som, verschil en product van twee eenvoudige functies zijn weer eenvoudige functies en vermenigvuldiging met constant houdt een eenvoudige functie eenvoudig; Hieruit volgt dat het verzamelen van alle eenvoudige functies op een bepaalde meetbare ruimte vormt een commutatieve algebra boven . ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Integratie van eenvoudige functies

Als een maatregel μ is gedefinieerd op de ruimte ( X , Σ), de integraal van f met betrekking tot μ is

${\ Displaystyle \ som _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ mu (A_ {k})}$

als alle summands zijn eindig.

Relatie met Lebesgue integratie

Elke niet-negatieve meetbare functie is het puntsgewijs grenzen van een monotoon stijgende reeks van niet-negatieve eenvoudige functies. Inderdaad, laat een niet-negatieve meetbare functie gedefinieerd via maatruimte als voorheen. Voor elke Verdeel het traject van in intervallen, waarvan de lengte . Voor elke Stel ${\ Displaystyle f \ colon X \ to \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ F} displaystyle$${\ Displaystyle (X, \ Sigma, \ mu)}$${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$${\ F} displaystyle$${\ Displaystyle 2 ^ {2n} 1}$${\ Displaystyle 2 ^ {2n}}$${\ Displaystyle 2 ^ {- n}}$${\ N} displaystyle$

${\ Displaystyle I_ {n, k} = \ left [{\ frac {k-1} {2 ^ {n}}}, {\ frac {k} {2 ^ {n}}} \ right)}$voor , en .${\ Displaystyle k = 1,2, \ ldots, 2 ^ {2n}}$${\ Displaystyle I_ {n, 2 ^ {2n} 1} = [2 ^ {n}, \ infty)}$

(Merk op dat voor vaste , de sets zijn disjunct en bij de niet-negatieve reële lijn). ${\ N} displaystyle$${\ Displaystyle I_ {n, k}}$

Nu bepalen de meetbare sets

${\ Displaystyle A_ {n} k = f ^ {- 1} (I_ {n, k}) \,}$voor .${\ Displaystyle k = 1,2, \ ldots, 2 ^ {2n} 1}$

Vervolgens toenemende reeks eenvoudige functies

${\ Displaystyle F_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {2 ^ {2n} 1} {\ frac {k-1} {2 ^ {n}}} {\ mathbf {1}} _ {A_ {n, k}}}$

convergeert puntsgewijs aan als . Merk op dat, wanneer wordt begrensd, de convergentie is uniform. Deze benadering van door eenvoudige functies (die gemakkelijk integreerbaar) kunnen we integraal definiëren zelf; zie het artikel over Lebesgue integratie voor meer informatie. ${\ F} displaystyle$${\ Displaystyle n \ to \} infty$${\ F} displaystyle$${\ F} displaystyle$${\ F} displaystyle$

Referenties

• JFC Kingman, SJ Taylor . Introduction to Meet en Waarschijnlijkheid 1966, Cambridge.
• S. Lang . Real en functionele analyse , 1993, Springer-Verlag.
• W. Rudin . Reële en complexe analyse , 1987, McGraw-Hill.
• HL Royden . Real Analysis , 1968 Collier Macmillan.