hiperfonksiyon - Hyperfunction

In matematik , aşırı işlev görmesi fonksiyonların genellemeler itibaren bir 'Aradan' gibi olan holomorfik fonksiyonu bir sınırda diğerine ve aynı gayri düşünülebilir dağıtımlarının sonsuz düzenin. HİPERFONKSİYONLAR tarafından tanıtıldı Mikio Sato içinde 1958 Japonca, ( 1959 , 1960 tarafından önceki çalışmalara dayanarak, İngilizce) Laurent Schwartz , Grothendieck ve diğerleri.

formülasyon

Gerçek çizgi üzerindeki bir hiperfonksiyon, üst yarı düzlemde tanımlanan bir holomorfik işlev ile alt yarı düzlemde bir diğeri arasındaki 'fark' olarak düşünülebilir . Yani, bir hiperfonksiyon ( f ,  g ) çiftiyle belirtilir ; burada f , üst yarı düzlemde bir holomorfik fonksiyondur ve g , alt yarı düzlemde bir holomorfik fonksiyondur.

Gayri resmi olarak, hiperfonksiyon, gerçek çizginin kendisinde farkın ne olacağıdır . Bu fark, iki aynı holomorfik fonksiyonu eklenerek etkilenmez f ve g , eğer öyleyse h bir holomorfik bütün işlev olan kompleks düzlem , aşırı işlev görmesi ( f ,  g ) ve ( f  +  h ,  g  +  h ) için tanımlandığı gibidir eşdeğer olun. ${\görüntüleme stili fg}$

Tek boyutta tanım

Motivasyon demet kohomolojisinden fikirler kullanılarak somut olarak uygulanabilir . Izin olmak demeti ait Holomorfik fonksiyonların üzerine üzerine HİPERFONKSİYONLAR tanımlayın gerçek hat ilk olarak yerel cohomoloji grubuna: ${\görüntüleme stili {\matematiksel {O}}}$${\displaystyle \mathbb {C} .}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )=H_{\mathbb {R} }^{1}(\mathbb {C} ,{\mathcal {O}}).}$

Somut olarak, izin ve olmak üst yarı düzleme ve yarı düzlem düşük sırasıyla. Sonra bu yüzden ${\displaystyle \mathbb {C} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{-}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{+}\cup \mathbb {C} ^{-}=\mathbb {C} \setminus \mathbb {R} }$

${\displaystyle H_{\mathbb {R} }^{1}(\mathbb {C} ,{\mathcal {O}})=\left[H^{0}(\mathbb {C} ^{+}, {\mathcal {O}})\oplus H^{0}(\mathbb {C} ^{-},{\mathcal {O}})\right]/H^{0}(\mathbb {C} , {\matematiksel {O}}).}$

Herhangi bir demetin sıfırıncı kohomoloji grubu basitçe o demetin global bölümleri olduğundan, bir hiperfonksiyonun bir çift holomorfik fonksiyon olduğunu görüyoruz, her biri bir üst ve alt karmaşık yarım düzlem modulo tüm holomorfik fonksiyonlarda.

Daha genel olarak tek bir tanımlayabilir açık set bölümü olarak sahip herhangi bir açık kümesidir . Bu tanımın, hiperfonksiyonları holomorfik fonksiyonların "sınır değerleri" olarak düşünmek için başka bir neden verme seçimine bağlı olmadığı gösterilebilir . ${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}(U)}$${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle H^{0}({\tilde {U}}\setminus U,{\mathcal {O}})/H^{0}({\tilde {U}},{\mathcal {O}} )}$${\displaystyle {\tilde {U}}\subseteq \mathbb {C} }$${\displaystyle {\tilde {U}}\cap \mathbb {R} =U}$${\görüntüleme stili {\tilde {U}}}$

Örnekler

• Eğer f , tüm karmaşık düzlemde herhangi bir holomorfik fonksiyon ise, o zaman f'nin gerçek eksenle sınırlandırılması, ( f , 0) veya (0, − f ) ile temsil edilen bir hiperfonksiyondur .
• Birim basamak basamak fonksiyonu olarak temsil edilebilir
  $${\displaystyle H(x)=\left(1-{\frac {1}{2\pi i}}\log(z),-{\frac {1}{2\pi i}}\log(z) )\sağ).}$$

  
  burada bir kompleks logaritmanın temel değer arasında z .${\görüntüleme stili \log(z)}$
• Dirac delta "işlev" ile temsil edilir
  $${\displaystyle \left({\tfrac {1}{2\pi iz}},{\tfrac {1}{2\pi iz}}\sağ).}$$

  
  Bu gerçekten Cauchy'nin integral formülünün yeniden ifadesidir . Bunu doğrulamak için, f'nin gerçek çizginin hemen altındaki integrali hesaplanabilir ve g'nin gerçek çizginin hemen üzerindeki integrali çıkarılabilir - ikisi de soldan sağa. Bileşenler aynı fonksiyonun analitik devamı olsa bile hiperfonksiyonun önemsiz olabileceğini unutmayın. Ayrıca bu, Heaviside işlevi farklılaştırılarak kolayca kontrol edilebilir.
• Eğer gr a, sürekli bir fonksiyon (ya da daha genel olarak, bir dağıtım ) desteği ile gerçek çizgi üzerinde sınırlanan aralık içinde yer alan I , ardından g tekabül hiper (üzere f , - f ) f tamamlayıcısını bir holomorfik fonksiyonudur I tarafından tanımlanan
  $${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{x\in I}g(x){\frac {1}{zx}}\,dx.}$$

  
  Bu f fonksiyonu , x noktasında gerçek ekseni geçerken değeri g ( x ) ile atlar . Formülü f yazarak Önceki örnekten elde edilen aşağıdaki g olarak konvolüsyon Dirac delta fonksiyonunun ile kendini.
• Birliğin bir bölümünü kullanarak, herhangi bir sürekli işlevi (dağıtım), kompakt destekli yerel olarak sonlu bir işlev (dağıtım) toplamı olarak yazabilirsiniz. Bu, yukarıdaki gömmeyi bir gömmeye genişletmek için kullanılabilir.${\displaystyle \textstyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )\to {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ).}$
• Eğer f bir dışında her yerde holomorfik herhangi bir fonksiyonudur temel tekillik (örneğin, 0 ° C e ^{1 / z} ), daha sonra bir hiperfonksiyon olan destek , bir dağıtım değildir 0. f'nin 0'da sonlu dereceli bir kutbu varsa , o zaman bir dağılımdır, bu nedenle f temel bir tekilliğe sahip olduğunda , 0'da "sonsuz dereceli bir dağılım" gibi görünür. (Dağılımların her zaman herhangi bir noktada sonlu sıraya sahip olduğuna dikkat edin.)${\görüntüleme stili (f,-f)}$${\görüntüleme stili (f,-f)}$${\görüntüleme stili (f,-f)}$

Hiperfonksiyonlar üzerinde işlemler

Let herhangi bir açık alt kümesi. ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$

• Tanım olarak , karmaşık sayılarla toplama ve çarpmanın iyi tanımlandığı bir vektör uzayıdır. açıkça:${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}(U)}$
  $${\displaystyle a(f_{+},f_{-})+b(g_{+},g_{-}):=(af_{+}+bg_{+},af_{-}+bg_{-} )}$$

  
• Açık kısıtlama haritaları bir demete dönüşür (aslında gevşektir ).${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$
• Gerçek analitik fonksiyonlar ve farklılaşma ile çarpma iyi tanımlanmıştır:${\displaystyle h\in {\matematiksel {O}}(U)}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}h(f_{+},f_{-})&:=(hf_{+},hf_{-})\\[6pt]{\frac {d}{dz}} (f_{+},f_{-})&:=\left({\frac {df_{+}}{dz}},{\frac {df_{-}}{dz}}\sağ)\end{ hizalı}}}$$

  
  Bu tanımlarla bir D-modülü olur ve gömme , D-modüllerinin bir morfizmidir.${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'\hookrightarrow {\mathcal {B}}}$
• Bir nokta bir denir Holomorfik nokta arasında ise bazı küçük mahalle gerçek analitik fonksiyona kısıtlar If ardından entegrasyon iyi tanımlanmış olan iki holomorfik noktalar şunlardır:${\ Displaystyle a\in U}$${\displaystyle f\in {\matematiksel {B}}(U)}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili bir.}$${\displaystyle a\leqslant b}$
  $${\displaystyle \int _{a}^{b}f:=-\int _{\gamma _{+}}f_{+}(z)\,dz+\int _{\gamma _{-}}f_ {-}(z)\,dz}$$

  
  burada keyfi eğriler üst ve alt yarım düzlemi çünkü integrallerin bu eğrilerin seçim bağımsız bir biçimde basit bağlantılı .${\displaystyle \gamma _{\pm }:[0,1]\to \mathbb {C} ^{\pm }}$${\displaystyle \gamma _{\pm }(0)=a,\gamma _{\pm }(1)=b.}$
• Kompakt destekli hiper fonksiyonların alanı olsun . Bilineer form aracılığıyla${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}_{c}(U)}$
  $${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {B}}_{c}(U)\times {\mathcal {O}}(U)\to \mathbb {C} \\(f,\varphi ) \mapsto \int f\cdot \varphi \end{durumlar}}}$$

  
  Kompakt desteği ile her hiperfonksiyon bir iştirakçi üzerinde sürekli bir doğrusal fonksiyonu Bu indükler ikili alan bir tanımlama, ile dikkate özel bir durum değerinde sürekli fonksiyonlar veya kompakt desteğiyle dağılımların durumdur: Bir düşünürse (veya bir alt kümesi gibi) yukarıdaki gömme yoluyla, o zaman bu tam olarak geleneksel Lebesgue-integralini hesaplar. Ayrıca: Eğer kompakt destekli bir dağıtım ise, gerçek bir analitik fonksiyondur ve o zaman${\görüntüleme stili {\matematiksel {O}}(U).}$${\displaystyle {\mathcal {O}}'(U),}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}_{c}(U).}$${\ Displaystyle C_{c}^{0}(U)}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {E}}'(U)}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}(U)}$${\displaystyle u\in {\mathcal {E}}'(U)}$${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {O}}(U)}$${\displaystyle \operatöradı {supp} (u)\altküme (a,b)}$
  $${\displaystyle \int _{a}^{b}u\cdot \varphi =\langle u,\varphi \rangle .}$$

  
  Böylece bu entegrasyon nosyonu, aşağıdaki gibi biçimsel ifadelere kesin bir anlam verir:
  $${\displaystyle \int _{a}^{b}\delta (x)\,dx}$$

  
  alışılmış anlamda tanımsız olan. Ayrıca: Gerçek analitik fonksiyonlar yoğun olduğu için ' nin bir alt uzayıdır . Bu, aynı gömmenin alternatif bir açıklamasıdır .${\displaystyle {\mathcal {E}}(U),{\mathcal {E}}'(U)}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {O}}'(U)}$${\displaystyle {\mathcal {E}}'\hookrightarrow {\mathcal {B}}}$
• Eğer açık kümeler arasında gerçek analitik haritasıdır , ile daha sonra kompozisyon gelen iyi tanımlanmış bir operatörüdür için :${\displaystyle \Phi :U\to V}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\görüntüleme stili\Phi }$${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}(V)}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}(U)}$
  $${\displaystyle f\circ \Phi :=(f_{+}\circ \Phi ,f_{-}\circ \Phi )}$$

  

Ayrıca bakınız

Referanslar

• Imai, Isao (2012) [1992], Uygulamalı Hiperfonksiyon Teorisi , Matematik ve Uygulamaları (Kitap 8), Springer, ISBN 978-94-010-5125-5.
• Kaneko, Akira (1988), Hiperfonksiyonlar Teorisine Giriş , Matematik ve Uygulamaları (Kitap 3), Springer, ISBN 978-90-277-2837-1
• Kashiwara, Masaki ; Kawai, Takahiro; Kimura, Tatsuo (2017) [1986], Cebirsel Analizin Temelleri , Princeton Legacy Library (Kitap 5158), PMS-37, Kato tarafından çevrildi, Goro (Yeniden baskı ed.), Princeton University Press, ISBN 978-0-691-62832-5
• Komatsu, Hikosaburo, ed. (1973), Hiperfonksiyonlar ve Sözde Diferansiyel Denklemler, Proceedings of a Conference at Katata, 1971 , Lecture Notes in Mathematics 287, Springer, ISBN 978-3-540-06218-9.
  • Komatsu, Hikosaburo, Diferansiyel denklemlerin çözümlerinin demetlerinin bağıl kohomolojisi , s. 192–261.
  • Sato, Mikio; Kawai, Takahiro; Kashiwara, Masaki, Mikrofonksiyonlar ve sözde diferansiyel denklemler , s. 265–529. - Adı SKK.
• Martineau, André (1960–1961), Les hyperfonctions de M. Sato , Séminaire Bourbaki, Tome 6 (1960-1961), Exposé no. 214, MR  1611794 , Zbl  0122.34902.
• Morimoto, Mitsuo (1993), Sato'nun Hiperfonksiyonlarına Giriş , Matematiksel Monografların Çevirileri (129. Kitap), Amerikan Matematik Derneği, ISBN 978-0-82184571-4.
• Pham, FL, ed. (1975), Hiperfonksiyonlar ve Teorik Fizik, Rencontre de Nice, 21-30 Mayıs 1973 , Ders Notları 449, Springer, ISBN 978-3-540-37454-1.
  • Cerezo, A.; Piriou, A.; Chazarain, J., Giriş aux hyperfonctions , s. 1-53.
• Sato, Mikio (1958), "Cyōkansū no riron (Hiperfonksiyon Teorisi)" , Sūgaku (Japonca), Mathematical Society of Japan, 10 (1): 1–27, doi : 10.11429/sugaku1947.10.1 , ISSN  0039-470X
• Sato, Mikio (1959), "Hiperfonksiyon Teorisi, I", Tokyo Üniversitesi Fen Fakültesi Dergisi. Mezhep. 1, Matematik, Astronomi, Fizik, Kimya , 8 (1): 139–193, hdl : 2261/6027 , MR  0114124.
• Sato, Mikio (1960), "Hiperfonksiyon Teorisi, II", Tokyo Üniversitesi Fen Fakültesi Dergisi. Mezhep. 1, Matematik, Astronomi, Fizik, Kimya , 8 (2): 387–437, hdl : 2261/6031 , MR  0132392.
• Schapira, Pierre (1970), Theories des Hyperfonctions , Lecture Notes in Mathematics 126, Springer, ISBN 978-3-540-04915-9.
• Schlichtkrull, Henrik (2013) [1984], Simetrik Uzaylarda Hiperfonksiyonlar ve Harmonik Analiz , Matematikte İlerleme (Orijinal 1. baskının yumuşak kapaklı yeni baskısı), Springer, ISBN 978-1-4612-9775-8

Dış bağlantılar

• Jacobs, Bryan. "Hiperfonksiyon" . Matematik Dünyası .
• Kaneko, A. (2001) [1994], "Hiperfonksiyon" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press