Nadczynność - Hyperfunction

W matematyce , hyperfunctions są uogólnienia funkcji, jako „skok” z jednej funkcji holomorficznej do innego na granicy, i mogą być traktowane jako nieformalnie rozkładów nieskończonej porządku. Hiperfunkcje zostały wprowadzone przez Mikio Sato w 1958 w języku japońskim ( 1959 , 1960 w języku angielskim), bazując na wcześniejszych pracach Laurenta Schwartza , Grothendiecka i innych.

Sformułowanie

Nadfunkcję na linii rzeczywistej można sobie wyobrazić jako „różnicę” między jedną funkcją holomorficzną zdefiniowaną na górnej półpłaszczyźnie a drugą na dolnej półpłaszczyźnie. Oznacza to, że hiperfunkcja jest określona przez parę ( f ,  g ), gdzie f jest funkcją holomorficzną na górnej półpłaszczyźnie, a g jest funkcją holomorficzną na dolnej półpłaszczyźnie.

Nieformalnie hiperfunkcja jest tym, czym byłaby różnica w samej linii rzeczywistej. Na tę różnicę nie ma wpływu dodanie tej samej funkcji holomorficznej zarówno do f , jak i g , więc jeśli h jest funkcją holomorficzną na całej płaszczyźnie zespolonej , hiperfunkcje ( f ,  g ) i ( f  +  h ,  g  +  h ) są zdefiniowane jako być równoważne. ${\displaystyle fg}$

Definicja w jednym wymiarze

Motywację można konkretnie wdrożyć za pomocą pomysłów z kohomologii snopa . Pozwolić być snop z funkcji holomorficznych na Zdefiniuj hyperfunctions na prostej rzeczywistej jako pierwszy lokalny kohomologii grupy: ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}.}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R} ) = H_ {\ mathbb {R}} ^ {1}(\ mathbb {C} {\ mathcal {O}}).}$

Konkretnie niech i będzie odpowiednio górną półpłaszczyzną i dolną półpłaszczyzną . Więc tak ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {+}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {-}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {+} \ filiżanka \ mathbb {C} ^ {-} = \ mathbb {C} \ setminus \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle H_ {\ mathbb {R} } ^ {1} (\ mathbb {C} {\ mathcal {O}}) = \ lewo [H ^ {0} (\ mathbb {C} ^ {+}, {\mathcal {O}})\oplus H^{0}(\mathbb {C} ^{-},{\mathcal {O}})\right]/H^{0}(\mathbb {C} , {\mathcal {O}}).}$

Ponieważ zerowa grupa kohomologii dowolnego snopa jest po prostu globalnymi sekcjami tego snopa, widzimy, że hiperfunkcja jest parą funkcji holomorficznych, po jednej na górnej i dolnej złożonej półpłaszczyźnie modulo całości funkcji holomorficznych.

Bardziej ogólnie można zdefiniować dla dowolnego zbioru otwartego jako iloraz, gdzie jest dowolny zbiór otwarty z . Można wykazać, że definicja ta nie zależy od wyboru innego powodu, aby myśleć o hiperfunkcjach jako o „wartościach granicznych” funkcji holomorficznych. ${\ Displaystyle {\ Mathcal {B}} (U)}$${\ Displaystyle U \ podseteq \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle H ^ {0} ({\ tylda {U}} \ setminus U {\ mathcal {O}}) / H ^ {0} ({\ tylda {U}} {\ mathcal {O}} )}$${\ Displaystyle {\ tylda {U}} \ podseteq \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle {\ tylda {U}} \ czapka \ mathbb {R} = U}$${\ Displaystyle {\ tylda {U}}}$

Przykłady

• Jeśli f jest dowolną funkcją holomorficzną na całej płaszczyźnie zespolonej, to ograniczenie f do osi rzeczywistej jest hiperfunkcją reprezentowaną przez ( f , 0) lub (0, − f ).
• Funkcja skokowa Heaviside można przedstawić jako
  $${\ Displaystyle H (x) = \ lewo (1-{\ Frac {1} {2 \ pi i}} \ log (z), - {\ Frac {1} {2 \ pi i}} \ log (z )\dobrze).}$$

  
  gdzie jest główny wartość złożonej logarytmu z Z .${\ Displaystyle \ log (z)}$
• Diraca delta „funkcja” jest reprezentowana przez
  $${\ Displaystyle \ lewo ({\ tfrac {1} {2 \ pi iz}}, {\ tfrac {1} {2 \ pi iz}} \ po prawej).}$$

  
  To jest naprawdę ponowne przedstawienie wzoru całkowego Cauchy'ego . Aby to zweryfikować, można obliczyć całkowanie f tuż poniżej prostej rzeczywistej i odjąć całkowanie g tuż nad prostą rzeczywistą - obie od lewej do prawej. Zauważ, że hiperfunkcja może być nietrywialna, nawet jeśli składniki są analityczną kontynuacją tej samej funkcji. Można to również łatwo sprawdzić, różnicując funkcję Heaviside.
• Jeśli g jest funkcją ciągłą (lub ogólniej rozkładem ) na prostej rzeczywistej z podparciem zawartym w ograniczonym przedziale I , to g odpowiada hiperfunkcji ( f , − f ), gdzie f jest funkcją holomorficzną na dopełnieniu I określony przez
  $${\ Displaystyle f (z) = {\ Frac {1} {2 \ pi ja}} \ int _ {x \ w ja} g (x) {\ Frac {1} {zx}} \ dx.}$$

  
  Ta funkcja f przeskakuje wartość o g ( x ) podczas przecinania osi rzeczywistej w punkcie x . Wzór na f wynika z poprzedniego przykładu, pisząc g jako splot samego siebie z funkcją delta Diraca.
• Stosując podział jedności można zapisać dowolną funkcję ciągłą (dystrybucję) jako lokalnie skończoną sumę funkcji (dystrybucji) ze zwartym wsparciem. Można to wykorzystać do rozszerzenia powyższego osadzania na osadzanie${\displaystyle \textstyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R})\to {\mathcal {B}}(\mathbb {R}).}$
• Jeśli f jest dowolną funkcją, która jest wszędzie holomorficzna, z wyjątkiem podstawowej osobliwości w punkcie 0 (na przykład e ^{1/ z} ), to jest hiperfunkcją z obsługą 0, która nie jest rozkładem. Jeśli f ma biegun skończonego porządku w 0, to jest rozkładem, więc gdy f ma podstawową osobliwość, wygląda jak „rozkład nieskończonego porządku” w 0. (Zauważ, że rozkłady zawsze mają skończony porządek w dowolnym punkcie).${\displaystyle (f,-f)}$${\displaystyle (f,-f)}$${\displaystyle (f,-f)}$

Operacje na hiperfunkcjach

Niech będzie dowolny otwarty podzbiór. ${\ Displaystyle U \ podseteq \ mathbb {R}}$

• Z definicji jest przestrzenią wektorową taką, że dodawanie i mnożenie z liczbami zespolonymi są dobrze zdefiniowane. Wyraźnie:${\ Displaystyle {\ Mathcal {B}} (U)}$
  $${\ Displaystyle a (f_ {+}, f_ {-}) + b (g_ {+}, g_ {-}): = (af_ {+} + bg_ {+}, af_ {-} + bg_ {-} )}$$

  
• Oczywiste mapy ograniczeń zamieniają się w snop (który w rzeczywistości jest zwiotczały ).${\ Displaystyle {\ Mathcal {B}}}$
• Mnożenie z rzeczywistymi funkcjami analitycznymi i różniczkowanie są dobrze zdefiniowane:${\ Displaystyle h \ w {\ mathcal {O}} (U)}$
  $${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} h (f_ {+}, f_ {-}) i: = (hf_ {+}, hf_ {-}) \ \ [6 pkt] {\ Frac {d} {dz}} (f_{+},f_{-})&:=\left({\frac {df_{+}}{dz}},{\frac {df_{-}}{dz}}\right)\end{ wyrównane}}}$$

  
  Dzięki tym definicjom staje się modułem D, a osadzanie jest morfizmem modułów D.${\ Displaystyle {\ Mathcal {B}} (U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'\hookrightarrow {\mathcal {B}}}$
• Punktem nazywany jest holomorficzna point of jeżeli ogranicza do rzeczywistej funkcji analitycznej w niewielkim sąsiedztwie If są dwa punkty holomorficznymi, to integracja jest dobrze zdefiniowana:${\displaystyle a\w U}$${\ Displaystyle f \ w {\ mathcal {B}} (U)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a.}$${\displaystyle a\leqslant b}$
  $${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f: = - \ int _ {\ gamma _ {+}} f_ {+} (z) \ dz + \ int _ {\ gamma _ {-}} f_ {-}(z)\,dz}$$

  
  gdzie są dowolne krzywe z Całki są niezależne od wyboru tych krzywych, ponieważ górna i dolna połowa płaszczyzny są po prostu połączone .${\ Displaystyle \ gamma _ {\ pm}: [0,1] \ do \ mathbb {C} ^ {\ pm}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {\ pm} (0) = a \ gamma _ {\ pm} (1) = b.}$
• Niech będzie przestrzeń hiperfunkcji z kompaktowym wsparciem. Poprzez formę dwuliniową${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} _ {c} (U)}$
  $${\ Displaystyle {\ zacząć {przypadki} {\ mathcal {B}} _ {c} (U) \ razy {\ mathcal {O}} (U) \ do \ mathbb {C} \ \ (f \ varphi) \mapsto \int f\cdot \varphi \end{cases}}}$$

  
  z każdą hiperfunkcją o zwartym nośniku kojarzy się ciągłą funkcję liniową na To powoduje identyfikację przestrzeni dualnej, z Szczególnym przypadkiem wartym rozważenia jest przypadek funkcji ciągłych lub rozkładów o zwartym nośniku: Jeśli rozważymy (lub ) jako podzbiór poprzez powyższe osadzenie, to oblicza się dokładnie tradycyjną całkę Lebesgue'a. Ponadto: If jest rozkładem ze zwartą obsługą, jest rzeczywistą funkcją analityczną, a then${\displaystyle {\mathcal {O}}(U).}$${\displaystyle {\mathcal {O}}'(U)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} _ {c} (U).}$${\ Displaystyle C_ {c} ^ {0} (U)}$${\displaystyle {\mathcal {E}}'(U)}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {B}} (U)}$${\displaystyle u\in {\mathcal {e}}'(U)}$${\ Displaystyle \ varphi \ w {\ mathcal {O}} (U)}$${\ Displaystyle \ operatorname {supp} (u) \ podzbiór (a, b)}$
  $${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} u \ cdot \ varphi = \ langle u \ varphi \ rangle.}$$

  
  Zatem to pojęcie integracji nadaje precyzyjne znaczenie wyrażeniom formalnym, takim jak:
  $${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \ delta (x) \ dx}$$

  
  które są niezdefiniowane w zwykłym sensie. Co więcej: Ponieważ rzeczywiste funkcje analityczne są gęste w podprzestrzeni . Jest to alternatywny opis tego samego osadzania .${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} (U), {\ mathcal {E}} '(U)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}'(U)}$${\displaystyle {\mathcal {e}}'\hookrightarrow {\mathcal {B}}}$
• Jeśli jest prawdziwą mapą analityczną pomiędzy otwartymi zbiorami , to kompozycja z jest dobrze zdefiniowanym operatorem od do :${\ Displaystyle \ Phi : U \ do V}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ Phi}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {B}} (V)}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {B}} (U)}$
  $${\ Displaystyle f \ circ \ Phi : = (f_ {+} \ circ \ Phi, f_ {-} \ circ \ Phi)}$$

  

Zobacz też

Bibliografia

• Imai, Isao (2012) [1992], Stosowana teoria nadczynności , Matematyka i jej zastosowania (książka 8), Springer, ISBN 978-94-010-5125-5.
• Kaneko, Akira (1988), Wprowadzenie do teorii hiperfunkcji , Matematyka i jej zastosowania (Księga 3), Springer, ISBN 978-90-277-2837-1
• Kashiwara, Masaki ; Kawai, Takahiro; Kimura, Tatsuo (2017) [1986], Podstawy analizy algebraicznej , Princeton Legacy Library (Book 5158), PMS-37, przekład Kato, Goro (przedruk red.), Princeton University Press, ISBN 978-0-691-62832-5
• Komatsu, Hikosaburo, wyd. (1973), Hiperfunkcje i równania pseudo-różniczkowe, Proceedings of a Conference at Katata, 1971 , Lecture Notes in Mathematics 287, Springer, ISBN 978-3-540-06218-9.
  • Komatsu, Hikosaburo, Względna kohomologia snopów rozwiązań równań różniczkowych , s. 192–261.
  • Sato, Mikio; Kawai, Takahiro; Kashiwara, Masaki, Mikrofunkcje i równania pseudoróżniczkowe, s. 265-529. - Nazywa się SKK.
• Martineau, André (1960-1961), Les hyperfonctions de M. Sato , Seminarium Bourbaki, Tom 6 (1960-1961), Exposé no. 214, MR  1611794 , Zbl  0122.34902.
• Morimoto, Mitsuo (1993), Wprowadzenie do hiperfunkcji Sato , Tłumaczenia monografii matematycznych (książka 129), American Mathematical Society, ISBN 978-0-82184571-4.
• Pham, Floryda, wyd. (1975), Hiperfunkcje i fizyka teoretyczna, Rencontre de Nice, 21-30 maja 1973 , Notatki z matematyki 449, Springer, ISBN 978-3-540-37454-1.
  • Cerezo, A.; Piriou, A.; Chazarain, J., Wprowadzenie aux hyperfonctions , s. 1-53.
• Sato, Mikio (1958), „Cyōkansū no riron (Teoria nadczynności)” , Sūgaku (po japońsku), Japońskie Towarzystwo Matematyczne, 10 (1): 1-27, doi : 10.11429/sugaku1947.10.1 , ISSN  0039-470X
• Sato, Mikio (1959), „Teoria nadczynności, I”, Journal of the Faculty of Science, University of Tokyo. Sekta. 1, Matematyka, Astronomia, Fizyka, Chemia , 8 (1): 139–193, hdl : 2261/6027 , MR  0114124.
• Sato, Mikio (1960), „Teoria nadczynności, II”, Journal of the Faculty of Science, University of Tokyo. Sekta. 1, matematyka, astronomia, fizyka, chemia , 8 (2): 387–437, hdl : 2261/6031 , MR  0132392.
• Schapira, Pierre (1970), Theories des Hyperfonctions , Notatki z matematyki 126, Springer, ISBN 978-3-540-04915-9.
• Schlichtkrull, Henrik (2013) [1984], Hiperfunkcje i analiza harmoniczna w przestrzeniach symetrycznych , Postęp w matematyce (przedruk w miękkiej oprawie oryginalnego 1 wyd.), Springer, ISBN 978-1-4612-9775-8

Linki zewnętrzne

• Jacobs, Bryan. „Nadczynność” . MatematykaŚwiat .
• Kaneko, A. (2001) [1994], "Hiperfunction" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press