Hyperfonction - Hyperfunction

En mathématiques , les hyperfonctions sont des généralisations de fonctions, comme un «saut» d'une fonction holomorphe à une autre à une frontière, et peuvent être considérées de manière informelle comme des distributions d'ordre infini. Les hyperfonctions ont été introduites par Mikio Sato en 1958 en japonais ( 1959 , 1960 en anglais), en s'appuyant sur les travaux antérieurs de Laurent Schwartz , Grothendieck et d'autres.

Formulation

Une hyperfonction sur la droite réelle peut être conçue comme la « différence » entre une fonction holomorphe définie sur le demi-plan supérieur et une autre sur le demi-plan inférieur. C'est-à-dire qu'une hyperfonction est spécifiée par une paire ( f ,  g ), où f est une fonction holomorphe sur le demi-plan supérieur et g est une fonction holomorphe sur le demi-plan inférieur.

Informellement, l'hyperfonction est ce que serait la différence à la ligne réelle elle-même. Cette différence n'est pas affectée par l' ajout de la même fonction holomorphe à la fois à f et à g , donc si h est une fonction holomorphe sur tout le plan complexe , les hyperfonctions ( f ,  g ) et ( f  +  h ,  g  +  h ) sont définies comme être équivalent. ${\style d'affichage fg}$

Définition en une dimension

La motivation peut être concrètement mise en œuvre à partir d'idées issues de la cohomologie des faisceaux . Soit le faisceau de fonctions holomorphes sur Définir les hyperfonctions sur la droite réelle comme le premier groupe de cohomologie locale : ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle \mathbb {C} .}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )=H_{\mathbb {R} }^{1}(\mathbb {C} ,{\mathcal {O}}).}$

Concrètement, encore et le demi-plan supérieur et demi-plan inférieur , respectivement. Alors alors ${\displaystyle \mathbb {C} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{-}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{+}\cup \mathbb {C} ^{-}=\mathbb {C} \setminus \mathbb {R} }$

${\displaystyle H_{\mathbb {R} }^{1}(\mathbb {C} ,{\mathcal {O}})=\left[H^{0}(\mathbb {C} ^{+}, {\mathcal {O}})\oplus H^{0}(\mathbb {C} ^{-},{\mathcal {O}})\right]/H^{0}(\mathbb {C} , {\mathcal {O}}).}$

Puisque le groupe de cohomologie zéro de tout faisceau est simplement les sections globales de ce faisceau, nous voyons qu'une hyperfonction est une paire de fonctions holomorphes, chacune sur les demi-plans complexes supérieur et inférieur modulo des fonctions holomorphes entières.

Plus généralement, on peut définir pour tout ouvert comme le quotient où est tout ouvert avec . On peut montrer que cette définition ne dépend pas du choix de donner une autre raison de penser les hyperfonctions comme des « valeurs limites » de fonctions holomorphes. ${\displaystyle {\mathcal {B}}(U)}$${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle H^{0}({\tilde {U}}\setminus U,{\mathcal {O}})/H^{0}({\tilde {U}},{\mathcal {O}} )}$${\displaystyle {\tilde {U}}\subseteq \mathbb {C} }$${\displaystyle {\tilde {U}}\cap \mathbb {R} =U}$${\displaystyle {\tilde {U}}}$

Exemples

• Si f est une fonction holomorphe sur tout le plan complexe, alors la restriction de f à l'axe réel est une hyperfonction, représentée par ( f , 0) ou (0, − f ).
• La fonction de pas de Heaviside peut être représentée comme
  $${\displaystyle H(x)=\left(1-{\frac {1}{2\pi i}}\log(z),-{\frac {1}{2\pi i}}\log(z )\droite).}$$

  
  où est la valeur principale du logarithme complexe de z .${\displaystyle \log(z)}$
• La « fonction » delta de Dirac est représentée par
  $${\displaystyle \left({\tfrac {1}{2\pi iz}},{\tfrac {1}{2\pi iz}}\right).}$$

  
  C'est vraiment une reformulation de la formule intégrale de Cauchy . Pour le vérifier, on peut calculer l'intégration de f juste en dessous de la ligne réelle et soustraire l'intégration de g juste au-dessus de la ligne réelle - les deux de gauche à droite. Notez que l'hyperfonction peut être non triviale, même si les composants sont la continuation analytique de la même fonction. Cela peut également être facilement vérifié en différenciant la fonction Heaviside.
• Si g est une fonction continue (ou plus généralement une distribution ) sur la droite réelle à support contenue dans un intervalle borné I , alors g correspond à l'hyperfonction ( f , − f ), où f est une fonction holomorphe sur le complémentaire de I Défini par
  $${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{x\in I}g(x){\frac {1}{zx}}\,dx.}$$

  
  Cette fonction f saute de valeur de g ( x ) lors du passage de l'axe réel au point x . La formule pour f découle de l'exemple précédent en écrivant g comme la convolution de lui-même avec la fonction delta de Dirac.
• En utilisant une partition de l'unité, on peut écrire n'importe quelle fonction continue (distribution) comme une somme localement finie de fonctions (distributions) à support compact. Cela peut être exploité pour étendre l'intégration ci-dessus à une intégration${\displaystyle \textstyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )\to {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ).}$
• Si f est une fonction qui est holomorphe partout sauf pour une singularité essentielle en 0 (par exemple, e ^{1/ z} ), alors est une hyperfonction de support 0 qui n'est pas une distribution. Si f a un pôle d'ordre fini à 0 alors est une distribution, donc quand f a une singularité essentielle alors ressemble à une "distribution d'ordre infini" à 0. (Notez que les distributions ont toujours un ordre fini en tout point.)${\style d'affichage (f,-f)}$${\style d'affichage (f,-f)}$${\style d'affichage (f,-f)}$

Opérations sur les hyperfonctions

Soit n'importe quel sous-ensemble ouvert. ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$

• Par définition, c'est un espace vectoriel tel que l'addition et la multiplication avec des nombres complexes sont bien définies. Explicitement :${\displaystyle {\mathcal {B}}(U)}$
  $${\displaystyle a(f_{+},f_{-})+b(g_{+},g_{-}):=(af_{+}+bg_{+},af_{-}+bg_{-} )}$$

  
• Les cartes de restriction évidentes se transforment en une gerbe (qui est en fait flasque ).${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
• La multiplication avec des fonctions analytiques réelles et la différenciation sont bien définies :${\displaystyle h\in {\mathcal {O}}(U)}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}h(f_{+},f_{-})&:=(hf_{+},hf_{-})\\[6pt]{\frac {d}{dz}} (f_{+},f_{-})&:=\left({\frac {df_{+}}{dz}},{\frac {df_{-}}{dz}}\right)\end{ aligné}}}$$

  
  Avec ces définitions devient un D-module et le plongement est un morphisme de D-modules.${\displaystyle {\mathcal {B}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'\hookrightarrow {\mathcal {B}}}$
• Un point est appelé un point holomorphe de si restreint à une fonction analytique réelle dans un petit voisinage de Si sont deux points holomorphes, alors l'intégration est bien définie :${\displaystyle a\in U}$${\displaystyle f\in {\mathcal {B}}(U)}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage a.}$${\displaystyle a\leqslant b}$
  $${\displaystyle \int _{a}^{b}f:=-\int _{\gamma _{+}}f_{+}(z)\,dz+\int _{\gamma _{-}}f_ {-}(z)\,dz}$$

  
  où sont les courbes arbitraires avec Les intégrales sont indépendantes du choix de ces courbes car les demi-plans supérieur et inférieur sont simplement connectés .${\displaystyle \gamma _{\pm }:[0,1]\to \mathbb {C} ^{\pm }}$${\displaystyle \gamma _{\pm }(0)=a,\gamma _{\pm }(1)=b.}$
• Soit l'espace des hyperfonctions à support compact. Via la forme bilinéaire${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}(U)}$
  $${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {B}}_{c}(U)\times {\mathcal {O}}(U)\to \mathbb {C} \\(f,\varphi ) \mapsto \int f\cdot \varphi \end{cases}}}$$

  
  on associe à chaque hyperfonction à support compact une fonction linéaire continue sur Cela induit une identification de l'espace dual, avec Un cas particulier à considérer est le cas des fonctions continues ou des distributions à support compact : Si l'on considère (ou ) comme un sous-ensemble de via l'intégration ci-dessus, cela calcule exactement l'intégrale de Lebesgue traditionnelle. De plus : Si est une distribution à support compact, est une fonction analytique réelle, et alors${\displaystyle {\mathcal {O}}(U).}$${\displaystyle {\mathcal {O}}'(U),}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}(U).}$${\style d'affichage C_{c}^{0}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {E}}'(U)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(U)}$${\displaystyle u\in {\mathcal {E}}'(U)}$${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {O}}(U)}$${\displaystyle \operatorname {supp} (u)\subset (a,b)}$
  $${\displaystyle \int _{a}^{b}u\cdot \varphi =\langle u,\varphi \rangle .}$$

  
  Ainsi cette notion d'intégration donne un sens précis à des expressions formelles comme
  $${\displaystyle \int _{a}^{b}\delta (x)\,dx}$$

  
  qui ne sont pas définis au sens habituel. De plus : Parce que les fonctions analytiques réelles sont denses dans est un sous-espace de . Il s'agit d'une description alternative du même encastrement .${\displaystyle {\mathcal {E}}(U),{\mathcal {E}}'(U)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}'(U)}$${\displaystyle {\mathcal {E}}'\hookrightarrow {\mathcal {B}}}$
• Si est une application analytique réelle entre des ensembles ouverts de , alors la composition avec est un opérateur bien défini de à :${\displaystyle \Phi :U\to V}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\style d'affichage \Phi }$${\displaystyle {\mathcal {B}}(V)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(U)}$
  $${\displaystyle f\circ \Phi :=(f_{+}\circ \Phi ,f_{-}\circ \Phi )}$$

  

Voir également

Les références

• Imai, Isao (2012) [1992], Théorie appliquée des hyperfonctions , Mathématiques et ses applications (Livre 8), Springer, ISBN 978-94-010-5125-5.
• Kaneko, Akira (1988), Introduction à la théorie des hyperfonctions , Mathématiques et ses applications (Livre 3), Springer, ISBN 978-90-277-2837-1
• Kashiwara, Masaki ; Kawaï, Takahiro ; Kimura, Tatsuo (2017) [1986], Foundations of Algebraic Analysis , Princeton Legacy Library (Book 5158), PMS-37, traduit par Kato, Goro (éd. réimprimé), Princeton University Press, ISBN 978-0-691-62832-5
• Komatsu, Hikosaburo, éd. (1973), Hyperfonctions et équations pseudo-différentielles, Actes d'une conférence à Katata, 1971 , Notes de cours en mathématiques 287, Springer, ISBN 978-3-540-06218-9.
  • Komatsu, Hikosaburo, Cohomologie relative des faisceaux de solutions d'équations différentielles , pp. 192-261.
  • Sato, Mikio ; Kawaï, Takahiro ; Kashiwara, Masaki, Microfonctions et équations pseudo-différentielles , pp. 265-529. - Il s'appelle SKK.
• Martineau, André (1960-1961), Les hyperfonctions de M. Sato , Séminaire Bourbaki, Tome 6 (1960-1961), Exposé no. 214, MR  1611794 , Zbl  0122.34902.
• Morimoto, Mitsuo (1993), An Introduction to Sato's Hyperfunctions , Translations of Mathematical Monographs (Book 129), American Mathematical Society, ISBN 978-0-82184571-4.
• Pham, Floride, éd. (1975), Hyperfonctions et physique théorique, Rencontre de Nice, 21-30 mai 1973 , Notes de cours en mathématiques 449, Springer, ISBN 978-3-540-37454-1.
  • Cerezo, A.; Piriou, A.; Chazarain, J., Introduction aux hyperfonctions , pp. 1–53.
• Sato, Mikio (1958), "Cyōkansū no riron (Théorie des hyperfonctions)" , Sūgaku (en japonais), Société mathématique du Japon, 10 (1) : 1–27, doi : 10.11429/sugaku1947.10.1 , ISSN  0039-470X
• Sato, Mikio (1959), "Theory of Hyperfunctions, I", Journal de la Faculté des sciences, Université de Tokyo. Secte. 1, Mathématiques, Astronomie, Physique, Chimie , 8 (1) : 139–193, hdl : 2261/6027 , MR  0114124.
• Sato, Mikio (1960), "Theory of Hyperfunctions, II", Journal de la Faculté des sciences, Université de Tokyo. Secte. 1, Mathématiques, Astronomie, Physique, Chimie , 8 (2) : 387–437, hdl : 2261/6031 , MR  0132392.
• Schapira, Pierre (1970), Théories des Hyperfonctions , Notes de cours en mathématiques 126, Springer, ISBN 978-3-540-04915-9.
• Schlichtkrull, Henrik (2013) [1984], Hyperfonctions et analyse harmonique sur les espaces symétriques , Progress in Mathematics (réimpression à couverture souple de la 1ère édition originale), Springer, ISBN 978-1-4612-9775-8

Liens externes

• Jacobs, Bryan. "Hyperfonction" . MathWorld .
• Kaneko, A. (2001) [1994], "Hyperfonction" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press