Hyperfunksjon - Hyperfunction

I matematikk er hyperfunksjoner generaliseringer av funksjoner, som et "hopp" fra en holomorf funksjon til en annen ved en grense, og kan tenkes uformelt som fordelinger av uendelig rekkefølge. Hyperfunksjoner ble introdusert av Mikio Sato i 1958 på japansk, ( 1959 , 1960 på engelsk), basert på tidligere arbeider av Laurent Schwartz , Grothendieck og andre.

Formulering

En hyperfunksjon på den virkelige linjen kan oppfattes som 'forskjellen' mellom en holomorf funksjon definert på det øvre halvplanet og en annen på det nedre halvplanet. Det vil si at en hyperfunksjon er spesifisert av et par ( f ,  g ), hvor f er en holomorf funksjon på det øvre halvplanet og g er en holomorf funksjon på det nedre halvplanet.

Uformelt er hyperfunksjonen hva forskjellen ville være på selve linjen. Denne forskjellen påvirkes ikke av å legge til den samme holomorfe funksjonen til både f og g , så hvis h er en holomorf funksjon på hele det komplekse planet , er hyperfunksjonene ( f ,  g ) og ( f  +  h ,  g  +  h ) definert til være ekvivalent. ${\ displaystyle fg}$

Definisjon i en dimensjon

Motivasjonen kan konkret implementeres ved hjelp av ideer fra skovkohomologi . La være skiven av holomorfe funksjoner på Definer hyperfunksjonene på den virkelige linjen som den første lokale kohomologigruppen : ${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$

${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}) = H _ {\ mathbb {R}} ^ {1} (\ mathbb {C}, {\ mathcal {O}}).}$

Konkret, la og vær henholdsvis det øvre halvplanet og det nedre halvplanet . Så så ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {+}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {-}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {+} \ cup \ mathbb {C} ^ {-} = \ mathbb {C} \ setminus \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle H _ {\ mathbb {R}} ^ {1} (\ mathbb {C}, {\ mathcal {O}}) = \ left [H ^ {0} (\ mathbb {C} ^ {+}, {\ mathcal {O}}) \ oplus H ^ {0} (\ mathbb {C} ^ {-}, {\ mathcal {O}}) \ right] / H ^ {0} (\ mathbb {C}, {\ mathcal {O}}).}$

Siden den nylige kohomologigruppen til en hvilken som helst skive bare er de globale delene av den skiven, ser vi at en hyperfunksjon er et par holomorfe funksjoner hver på øvre og nedre komplekse halvplan modulerer hele holomorfe funksjoner.

Mer generelt kan man definere for ethvert åpent sett som kvotienten hvor er et åpent sett med . Man kan vise at denne definisjonen ikke avhenger av valget om å gi en annen grunn til å tenke på hyperfunksjoner som "grenseverdier" av holomorfe funksjoner. ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (U)}$${\ displaystyle U \ subseteq \ mathbb {R}}$${\ displaystyle H ^ {0} ({\ tilde {U}} \ setminus U, {\ mathcal {O}}) / H ^ {0} ({\ tilde {U}}, {\ mathcal {O}} )}$${\ displaystyle {\ tilde {U}} \ subseteq \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ tilde {U}} \ cap \ mathbb {R} = U}$${\ displaystyle {\ tilde {U}}}$

Eksempler

• Hvis f er en hvilken som helst holomorf funksjon i hele det komplekse planet, er begrensningen av f til den virkelige aksen en hyperfunksjon, representert ved enten ( f , 0) eller (0, - f ).
• Den Heaviside trinnfunksjon kan representeres som
  $${\ displaystyle H (x) = \ left (1 - {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ log (z), - {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ log (z )\Ikke sant).}$$

  
  hvor er hovedverdien av den komplekse logaritmen til z .${\ displaystyle \ log (z)}$
• Den Dirac delta "funksjon" representeres ved
  $${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {1} {2 \ pi iz}}, {\ tfrac {1} {2 \ pi iz}} \ høyre).}$$

  
  Dette er virkelig en omarbeidelse av Cauchys integrerte formel . For å verifisere det kan man beregne integrasjonen av f rett under den virkelige linjen, og trekke integrasjonen av g like over den virkelige linjen - begge fra venstre til høyre. Merk at hyperfunksjonen kan være ikke-triviell, selv om komponentene er analytisk, fortsetter den samme funksjonen. Dette kan også enkelt kontrolleres ved å differensiere Heaviside-funksjonen.
• Hvis g er en kontinuerlig funksjon (eller mer generelt en fordeling ) på den virkelige linjen med støtte inneholdt i et avgrenset intervall I , tilsvarer g hyperfunksjonen ( f , - f ), hvor f er en holomorf funksjon på komplementet til I definert av
  $${\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {x \ in I} g (x) {\ frac {1} {zx}} \, dx.}$$

  
  Denne funksjonen f hopper i verdi med g ( x ) når den krysser den virkelige aksen ved punktet x . Formelen for f følger fra forrige eksempel ved å skrive g som konvolusjon av seg selv med Dirac delta-funksjonen.
• Ved å bruke en partisjon av enhet kan man skrive hvilken som helst kontinuerlig funksjon (distribusjon) som en lokalt endelig sum av funksjoner (distribusjoner) med kompakt støtte. Dette kan utnyttes for å utvide ovennevnte innebygging til en innebygging${\ displaystyle \ textstyle {\ mathcal {D}} '(\ mathbb {R}) \ til {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}).}$
• Hvis f er en hvilken som helst funksjon som er holomorf overalt bortsett fra en essensiell singularitet ved 0 (for eksempel e ^{1 / z} ), så er en hyperfunksjon med støtte 0 som ikke er en distribusjon. Hvis f har en pol av endelig orden på 0, er en fordeling, så når f har en essensiell singularitet, ser den ut som en "fordeling av uendelig rekkefølge" ved 0. (Vær oppmerksom på at distribusjoner alltid har endelig rekkefølge når som helst.)${\ displaystyle (f, -f)}$${\ displaystyle (f, -f)}$${\ displaystyle (f, -f)}$

Operasjoner på hyperfunksjoner

La være et åpent delsett. ${\ displaystyle U \ subseteq \ mathbb {R}}$

• Per definisjon er et vektorrom slik at addisjon og multiplikasjon med komplekse tall er veldefinerte. Eksplisitt:${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (U)}$
  $${\ displaystyle a (f _ {+}, f _ {-}) + b (g _ {+}, g _ {-}): = (af _ {+} + bg _ {+}, af _ {-} + bg _ {-} )}$$

  
• De åpenbare begrensningskartene blir til en skive (som faktisk er slapp ).${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$
• Multiplikasjon med ekte analytiske funksjoner og differensiering er veldefinert:${\ displaystyle h \ in {\ mathcal {O}} (U)}$
  $${\ displaystyle {\ begin {align} h (f _ {+}, f _ {-}) &: = (hf _ {+}, hf _ {-}) \\ [6pt] {\ frac {d} {dz}} (f _ {+}, f _ {-}) &: = \ left ({\ frac {df _ {+}} {dz}}, {\ frac {df _ {-}} {dz}} \ høyre) \ end { justert}}}$$

  
  Med disse definisjonene blir en D-modul og innebyggingen er en morfisme av D-modulene.${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (U)}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}} '\ hookrightarrow {\ mathcal {B}}}$
• Et punkt kalles et holomorfisk punkt av hvis begrenser seg til en reell analytisk funksjon i et lite område av Hvis er to holomorfe punkter, så er integrering veldefinert:${\ displaystyle a \ in U}$${\ displaystyle f \ in {\ mathcal {B}} (U)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a.}$${\ displaystyle a \ leqslant b}$
  $${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f: = - \ int _ {\ gamma _ {+}} f _ {+} (z) \, dz + \ int _ {\ gamma _ {-}} f_ {-} (z) \, dz}$$

  
  hvor er vilkårlige kurver med Integralene er uavhengige av valget av disse kurvene fordi det øvre og nedre halvplanet bare er koblet sammen .${\ displaystyle \ gamma _ {\ pm}: [0,1] \ til \ mathbb {C} ^ {\ pm}}$${\ displaystyle \ gamma _ {\ pm} (0) = a, \ gamma _ {\ pm} (1) = b.}$
• La være rommet for hyperfunksjoner med kompakt støtte. Via den bilineære formen${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {c} (U)}$
  $${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ mathcal {B}} _ {c} (U) \ times {\ mathcal {O}} (U) \ to \ mathbb {C} \\ (f, \ varphi) \ mapsto \ int f \ cdot \ varphi \ end {cases}}}$$

  
  man knytter til hver hyperfunksjon med kompakt støtte en kontinuerlig lineær funksjon på Dette induserer en identifikasjon av det doble rommet, med Et spesielt tilfelle verdt å vurdere er tilfellet med kontinuerlige funksjoner eller distribusjoner med kompakt støtte: Hvis man anser (eller ) som en delmengde av via ovennevnte innebygging, beregner dette nøyaktig den tradisjonelle Lebesgue-integralen. Videre: Hvis er en distribusjon med kompakt støtte, er en reell analytisk funksjon, og da${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (U).}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} '(U),}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {c} (U).}$${\ displaystyle C_ {c} ^ {0} (U)}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}} '(U)}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (U)}$${\ displaystyle u \ in {\ mathcal {E}} '(U)}$${\ displaystyle \ varphi \ i {\ mathcal {O}} (U)}$${\ displaystyle \ operatorname {supp} (u) \ subset (a, b)}$
  $${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} u \ cdot \ varphi = \ langle u, \ varphi \ rangle.}$$

  
  Dermed gir denne forestillingen om integrasjon en presis mening til formelle uttrykk som
  $${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \ delta (x) \, dx}$$

  
  som er udefinert i vanlig forstand. Videre: Fordi de virkelige analytiske funksjonene er tette, er det et underrom for . Dette er en alternativ beskrivelse av samme innebygging .${\ displaystyle {\ mathcal {E}} (U), {\ mathcal {E}} '(U)}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} '(U)}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}} '\ hookrightarrow {\ mathcal {B}}}$
• Hvis er et reelt analytisk kart mellom åpne sett med , så er komposisjon med en veldefinert operator fra til :${\ displaystyle \ Phi: U \ til V}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (V)}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (U)}$
  $${\ displaystyle f \ circ \ Phi: = (f _ {+} \ circ \ Phi, f _ {-} \ circ \ Phi)}$$

  

Se også

Referanser

• Imai, Isao (2012) [1992], Applied Hyperfunction Theory , Mathematics and its Applications (Book 8), Springer, ISBN 978-94-010-5125-5.
• Kaneko, Akira (1988), Introduksjon til teorien om hyperfunksjoner , matematikk og dens applikasjoner (bok 3), Springer, ISBN 978-90-277-2837-1
• Kashiwara, Masaki ; Kawai, Takahiro; Kimura, Tatsuo (2017) [1986], Foundations of Algebraic Analysis , Princeton Legacy Library (Book 5158), PMS-37, oversatt av Kato, Goro (Reprint ed.), Princeton University Press, ISBN 978-0-691-62832-5
• Komatsu, Hikosaburo, red. (1973), Hyperfunctions and Pseudo-Differential Equations, Proceedings of a Conference at Katata, 1971 , Lecture Notes in Mathematics 287, Springer, ISBN 978-3-540-06218-9.
  • Komatsu, Hikosaburo, Relativ kohomologi av skiver av løsninger av differensiallikninger , s. 192–261.
  • Sato, Mikio; Kawai, Takahiro; Kashiwara, Masaki, mikrofunksjoner og pseudo-differensialligninger , s. 265–529. - Det heter SKK.
• Martineau, André (1960–1961), Les hyperfonctions de M. Sato , Séminaire Bourbaki, Tome 6 (1960-1961), Eksposé nr. 214, MR  1611794 , Zbl  0122.34902.
• Morimoto, Mitsuo (1993), En introduksjon til Satos hyperfunksjoner , oversettelser av matematiske monografier (bok 129), American Mathematical Society, ISBN 978-0-82184571-4.
• Pham, FL, red. (1975), Hyperfunctions and Theoretical Physics, Rencontre de Nice, 21.-30. Mai 1973 , Forelesningsnotater i matematikk 449, Springer, ISBN 978-3-540-37454-1.
  • Cerezo, A .; Piriou, A .; Chazarain, J., Introduction aux hyperfonctions , s. 1–53.
• Sato, Mikio (1958), "Cyōkansū no riron (Theory of Hyperfunctions)" , Sūgaku (på japansk), Mathematical Society of Japan, 10 (1): 1–27, doi : 10.11429 / sugaku1947.10.1 , ISSN  0039-470X
• Sato, Mikio (1959), "Theory of Hyperfunctions, I", Tidsskrift for fakultetet for vitenskap, University of Tokyo. Sekt. 1, matematikk, astronomi, fysikk, kjemi , 8 (1): 139–193, hdl : 2261/6027 , MR  0114124.
• Sato, Mikio (1960), "Theory of Hyperfunctions, II", Tidsskrift for fakultetet for vitenskap, University of Tokyo. Sekt. 1, matematikk, astronomi, fysikk, kjemi , 8 (2): 387–437, hdl : 2261/6031 , MR  0132392.
• Schapira, Pierre (1970), Theories des Hyperfonctions , Lecture Notes in Mathematics 126, Springer, ISBN 978-3-540-04915-9.
• Schlichtkrull, Henrik (2013) [1984], Hyperfunctions and Harmonic Analysis on Symmetric Spaces , Progress in Mathematics (Softcover reprint of the original 1st ed.), Springer, ISBN 978-1-4612-9775-8

Eksterne linker

• Jacobs, Bryan. "Hyperfunksjon" . MathWorld .
• Kaneko, A. (2001) [1994], "Hyperfunction" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press