Karmaşık çarpma - Complex multiplication

Gelen matematik , kompleks çarpma ( CM ) teorisi eliptik eğri E bir sahiptir Endomorfizma halka daha büyük tam sayılar ; ve, aynı zamanda, daha yüksek boyutlarda teori değişmeli çeşitleri bir olan yeterli belli kesin bir anlamda endomorfizmaları (kabaca eylem araçlarının tanjant alanı en kimlik elemanının bir A a, doğrudan bir toplam tek boyutlu bir modül ). Başka bir deyişle, bu teorisini içeren eliptik fonksiyonları ekstra simetrilerde zaman gibi görünür ile dönem kafes olan Gauss tamsayı kafes veya Eisenstein tamsayı kafes.

Bu teorisine ait bir özelliğe sahip özel fonksiyonlar böyle eliptik fonksiyonlar, ya çünkü abelian fonksiyonları arasında birçok karmaşık değişkenli , sonra ekstra kimlikleri tatmin ve özellikle noktalarda açıkça hesaplanabilir özel değerleri alarak 'çok özel' fonksiyonlardır. Ayrıca, cebirsel sayı teorisinde merkezi bir tema olduğu ortaya çıktı ve siklotomik alanlar teorisinin bazı özelliklerinin daha geniş uygulama alanlarına taşınmasına izin verdi.

David Hilbert'in , eliptik eğrilerin karmaşık çarpımı teorisinin sadece matematiğin değil, tüm bilimin en güzel kısmı olduğunu belirttiği söylenir.

Hayali ikinci dereceden alan uzantısı örneği

Karmaşık sayılar üzerinde eliptik bir eğri, burada iki temel periyot ω ₁ ve ω ₂ tarafından yayılan bir kafes Λ ile karmaşık düzlemin bir bölümü olarak elde edilir . tor içeren 1/4 Λ kafese karşılık gelen dört burulma da gösterilmiştir. Gauss tamsayılarına karşılık gelen bir eliptik eğri örneği, ω ₂ = i ω ₁ olduğunda ortaya çıkar .

Hayali bir ikinci dereceden alan düşünün . Bir eliptik fonksiyon olduğu söylenir kompleks çarpmayı arasındaki cebirsel ilişki var ise ve tüm in . ${\textstyle K=\mathbb {Q} \left({\sqrt {-d}}\sağ),\,d\in \mathbb {Z} ,d>0}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili f(z)}$${\displaystyle f(\lambda z)}$${\ Displaystyle \ lambda }$${\görüntüleme stili K}$

Tersine, Kronecker - Kronecker Jugendtraum olarak bilinen şeyde - her değişmeli uzantısının karmaşık çarpma ile uygun bir eliptik eğrinin denklemi (köklerinin) ile elde edilebileceğini tahmin etti . Bugüne kadar bu, Hilbert'in gerçekten çözülmüş olan onikinci probleminin birkaç örneğinden biri olmaya devam ediyor . ${\görüntüleme stili K}$

Karmaşık çarpma ile bir eliptik eğri örneğidir

${\displaystyle \mathbb {C} /(\theta \mathbb {Z} [i])}$

burada Z [ i ] Gauss tamsayı halkasıdır ve θ sıfır olmayan herhangi bir karmaşık sayıdır. Bu tür herhangi bir karmaşık simit , endomorfizm halkası olarak Gauss tamsayılarına sahiptir. Karşılık gelen eğrilerin hepsinin şu şekilde yazılabileceği bilinmektedir.

${\displaystyle Y^{2}=4X^{3}-aX}$

bazıları için , gösterilebilir bir şekilde iki eşlenik sipariş-4 otomorfizmi gönderen ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle Y\to \pm iY,\quad X\to -X}$

i'nin Weierstrass eliptik fonksiyonları üzerindeki etkisi ile uyumludur .

Daha genel olarak, tarafından oluşturulan karmaşık düzlemde bir katkı grubu olan Λ kafesini düşünün . Sonra değişken Weierstarss'ın fonksiyonunu tanımlamak olarak aşağıdaki gibi: ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}$${\görüntüleme stili z}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \wp (z;\Lambda )=\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _ {(m,n)\neq (0,0)}\left\{{\frac {1}{(z+m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}} -{\frac {1}{\left(m\omega _{1}+n\omega _{2}\sağ)^{2}}}\sağ\},}$

ve

${\displaystyle g_{2}=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-4}}$

${\displaystyle g_{3}=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-6}.}$

türevi olsun . Sonra karmaşık Lie gruplarının bir izomorfizmini elde ederiz: ${\görüntüleme stili \wp '}$${\görüntüleme stili \wp }$

${\displaystyle w\mapsto (\wp (w):\wp '(w):1)\in \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} )}$

karmaşık torus grubundan homojen koordinatlarda tanımlanan projektif eliptik eğriye ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

${\displaystyle E=\left\{(x:y:z)\in \mathbb {C} ^{3}\mid y^{2}z=4x^{3}-g_{2}xz^{2 }-g_{3}z^{3}\sağ\}}$

ve eliptik eğrinin grup yasasının sıfır öğesi olan sonsuzdaki noktanın uzlaşımla . Eliptik eğriyi tanımlayan kafes aslında (muhtemelen uygun bir bölüm halkasının) tamsayılar halkası ile çarpma altında korunur Eğer bir , daha sonra analitik automorphisms halka dışarı dönüşler bu (alt) halkaya izomorfik olması. ${\görüntüleme stili (0:1:0)}$${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{K}}$${\görüntüleme stili K}$${\displaystyle E=\mathbb {C} /\Lambda }$

Nerede ve 'yi yeniden yazarsak , o zaman ${\displaystyle \tau =\omega _{1}/\omega _{2}}$${\displaystyle \operatöradı {Im} \tau >0}$${\displaystyle \Delta (\Lambda )=g_{2}(\Lambda )^{3}-27g_{3}(\Lambda )^{3}}$

${\displaystyle j(\tau )=j(E)=j(\Lambda )=2^{6}3^{3}g_{2}(\Lambda )^{3}/\Delta (\Lambda )\ .}$

Bu araçlar j değişmeyen arasında bir bir cebirsel sayıda yatan - - eğer kompleks çarpmayı sahiptir. ${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili K}$${\görüntüleme stili E}$

Endomorfizmlerin soyut teorisi

Bir eliptik eğrinin endomorfizm halkası üç biçimden biri olabilir: Z tamsayıları ; Bir düzen bir in hayali kuadratik sayı alanına ; veya belirli bir kuaterniyon cebirinde Q üzerinde bir sıra .

Tanım alanı sonlu bir alan olduğunda, her zaman Frobenius haritasından gelen eliptik bir eğrinin önemsiz olmayan endomorfizmleri vardır , bu nedenle bu tür her eğrinin karmaşık çarpımı vardır (ve terminoloji sıklıkla uygulanmaz). Ancak temel alan bir sayı alanı olduğunda, karmaşık çarpma istisnadır. Hodge varsayımı için genel anlamda karmaşık çarpma durumunun çözülmesi en zor olduğu bilinmektedir .

Kronecker ve değişmeli uzantılar

Kronecker ilk değerleri olduğu kabul eliptik fonksiyonları torsiyon noktalarındaki tüm oluşturmak için yeterli olmalıdır abelian uzantıları hayali kuadratik alanlar için geri gitti bir fikir Eisenstein , hatta bazı durumlarda Gauss . Bu, Kronecker Jugendtraum olarak tanındı ; ve kesinlikle, yukarıdaki Hilbert'in yorumunu harekete geçiren şeydi, çünkü Shimura'nın karşılıklılık yasası aracılığıyla , birliğin köklerinin rasyonel sayı alanının değişmeyen uzantıları için yaptığı şekilde sınıf alanı teorisini açıkça ortaya koyuyor .

Gerçekten de, K , sınıf alanı H olan hayali bir ikinci dereceden alan olsun . E , H üzerinde tanımlanan K tamsayılarıyla karmaşık çarpımı olan bir eliptik eğri olsun . Daha sonra en yüksek değişmeli uzantısı arasında K tarafından oluşturulan x bazı Weierstrass'ın modeline sonlu için noktalarının -coordinates E üzerinde H .

Kronecker'in fikirleri için pek çok genelleme yapılmaya çalışıldı; bununla birlikte, Langlands felsefesinin ana dürtüsüne bir şekilde eğik bir şekilde yalan söylüyorlar ve şu anda bilinen kesin bir açıklama yok.

Örnek sonuç

tesadüf değil ki

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262537412640768743.999999999999925007\dots \,}$

Veya eşdeğer olarak,

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=640320^{3}+743.999999999999925007\dots \,}$

bir tamsayıya çok yakındır. Bu dikkate değer gerçek, modüler formların bazı bilgileriyle birlikte karmaşık çarpma teorisi ile açıklanmaktadır .

${\displaystyle \mathbf {Z} \sol[{\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\sağ]}$

Bir olan tek çarpanlama .

Burada tatmin a ² = α 41 - . Genel olarak, S [ α ] O anlamına gelir, tüm grubu polinom katsayılı a ifadeler S ihtiva eden küçük bir halkadır, a ve S . α bu ikinci dereceden denklemi sağladığından, gerekli polinomlar birinci derece ile sınırlandırılabilir. ${\displaystyle (1+{\sqrt {-163}})/2}$

Alternatif olarak,

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=12^{3}(231^{2}-1)^{3}+743.999999999999925007\dots \,}$

belirli Eisenstein serilerinden kaynaklanan bir iç yapı ve diğer Heegner sayıları için benzer basit ifadeler .

tekil modül

Eliptik eğrilerin karmaşık çarpmalı karmaşık sayılar üzerindeki periyot oranlarına karşılık gelen üst yarı düzlemin τ noktaları tam olarak hayali ikinci dereceden sayılardır. Karşılık gelen modüler değişmezler j ( τ ), "tekil"in tekil bir eğriye atıfta bulunmak yerine önemsiz olmayan endomorfizmlere sahip olma özelliğine atıfta bulunduğu daha eski bir terminolojiden gelen tekil modüllerdir .

Modüler fonksiyonu j ( τ ) hayali kuadratik numaraları cebirseldir t alınmak : Bu ki üst yarı düzlemde sadece cebirsel sayılar j cebirseldir.

Λ dönemi oranı ile bir kafes ise t alınmak o zaman yazma j (Λ) için j ( τ ). Eğer daha fazla ima, ikinci dereceden bir K sanal alanının O _K tamsayıları halkasında bir ideal a ise, o zaman karşılık gelen tekil modül için j ( a ) yazarız . Değerleri j ( a ) daha sonra cebirsel tamsayılardır ve oluşturmak Hilbert sınıf alan H içinde K : cisim genişlemesi derecesi [ H : K ] = h sınıf sayısı K ve H / K a, Galois'in uzantısı ile Galois'in grup , K'nin ideal sınıf grubuna izomorfiktir . Sınıf grubu , [ b ]: j ( a ) → j ( ab ) ile j ( a ) değerlerine göre hareket eder .

Özellikle, K bir numaralı sınıfa sahipse, o zaman j ( a ) = j ( O ) bir rasyonel tamsayıdır: örneğin, j ( Z [i]) = j (i) = 1728.

Ayrıca bakınız

• Değişken CM tipi , daha yüksek boyutlar
• Cebirsel Hecke karakteri
• Heegner noktası
• Hilbert'in on ikinci problemi
• Lubin-Tate resmi grubu , yerel alanlar
• Drinfeld shtuka , global fonksiyon alanı durumu

alıntılar

Referanslar

Dış bağlantılar

• Kompleks çarpma gelen PlanetMath.org
• Kompleks çarpma ile eliptik eğri örnekleri arasından PlanetMath.org
• Ribet, Kenneth A. (Ekim 1995). "Galois Temsilleri ve Modüler Formlar". Amerikan Matematik Derneği Bülteni . 32 (4): 375-402. arXiv : matematik/9503219 . CiteSeerX  10.1.1.125.6114 . doi : 10.1090/s0273-0979-1995-00616-6 .