Modüler form - Modular form

Gelen matematik , bir modüler şekilde bir (kompleks) olan analitik fonksiyon üzerindeki üst yarı düzlem belirli bir tür tatmin edici fonksiyonel denklemi ile ilgili grup eylem bir modüler grubu , ve aynı zamanda bir büyüme koşulu. Modüler formlar teorisi bu nedenle karmaşık analize aittir, ancak teorinin asıl önemi geleneksel olarak sayı teorisi ile olan bağlantılarında olmuştur . Modüler formlar, cebirsel topoloji , küre paketleme ve sicim teorisi gibi diğer alanlarda ortaya çıkar .

Bir modüler fonksiyonu modüler formu gibi, modüler grubuna göre değişmez olduğu, bir fonksiyondur, ancak şu şartla olmadan f  ( Z ) olacak holomorfik üst yarım düzlemde. Bunun yerine, modüler fonksiyonlar meromorfiktir (yani, bir dizi izole nokta dışında neredeyse holomorfturlar).

Modüler form teorisi, daha genel otomorfik formlar teorisinin özel bir durumudur ve bu nedenle artık zengin bir ayrık gruplar teorisinin en somut parçası olarak görülebilir .

Modüler formların genel tanımı

Genel olarak, bir alt-grup belirli bir sonlu indeksi bir adı, aritmetik grubu , bir düzeyde modüler formu ve ağırlık bir holomorfik fonksiyonudur gelen üst yarı düzlem aşağıdaki iki koşul yerine şekildedir:${\displaystyle \Gamma \subset {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$${\görüntüleme stili \Gama }$${\görüntüleme stili k}$${\displaystyle f:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C} }$

1. ( otomorfi koşulu ) Herhangi biri için eşitlik vardır${\displaystyle \gamma \in \Gama }$${\displaystyle f(\gamma (z))=(cz+d)^{k}f(z)}$

2. ( büyüme koşulu ) Herhangi bir fonksiyon için sınırlıdır${\displaystyle \gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$${\görüntüleme stili (cz+d)^{-k}f(\gama (z))}$${\displaystyle {\text{im}}(z)\to \infty }$

nerede:

${\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$

Ek olarak, aşağıdaki büyüme koşulunu sağlıyorsa cusp formu olarak adlandırılır :

3. ( cuspidal durum ) Herhangi bir fonksiyon için${\displaystyle \gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle (cz+d)^{-k}f(\gamma (z))\to 0}$${\displaystyle {\text{im}}(z)\to \infty }$

Bir satır demetinin bölümleri olarak

Modüler formlar , modüler çeşitler üzerinde belirli bir hat demetlerinin bölümleri olarak da yorumlanabilir . İçin seviyesinin bir modüler biçimde ve ağırlık bir unsuru olarak tanımlanabilir${\displaystyle \Gamma \subset {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$${\görüntüleme stili \Gama }$${\görüntüleme stili k}$

${\displaystyle f\in H^{0}(X_{\Gamma },\omega ^{\otimes k})=M_{k}(\Gamma )}$

modüler eğri üzerinde bir kanonik çizgi demeti nerede${\ Displaystyle \ omega }$

${\displaystyle X_{\Gamma }=\Gamma \ters eğik çizgi ({\mathcal {H}}\cup \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {Q} ))}$

Modüler formların bu uzaylarının boyutları, Riemann-Roch teoremi kullanılarak hesaplanabilir . Klasik modüler formlar , eliptik eğrilerin modül yığını üzerindeki bir çizgi demetinin bölümleridir . ${\displaystyle \Gamma ={\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$

SL(2, Z) için modüler formlar

Standart tanım

Modüler grup için modüler bir ağırlık k formu

${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\sağ|a,b, c,d\in \mathbf {Z} ,\ ad-bc=1\sağ\}}$

a, kompleks-değerli fonksiyonu f ile üst yarı düzlem H = { z ∈ Cı , Im ( z )> 0}, aşağıdaki üç koşulları sağlar:   

1.  f  , H üzerindebir holomorfik fonksiyondur .
2. Yukarıdaki gibi herhangi bir z ∈ H ve SL(2, Z ) içindeki herhangi bir matris için:

   ${\displaystyle f\sol({\frac {az+b}{cz+d}}\sağ)=(cz+d)^{k}f(z)}$

3.  f'nin  z → i ∞ olarak holomorfik olması gerekir.

Uyarılar:

• Ağırlık k tipik olarak pozitif bir tamsayıdır.
• Tek k için , yalnızca sıfır işlevi ikinci koşulu karşılayabilir.
• Üçüncü koşul, aşağıda açıklanan bir terminoloji olan f'nin "baş noktasında holomorfik" olduğu söylenerek de ifade edilir .  
• için ikinci koşul

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

okur

${\displaystyle f\sol(-{\frac {1}{z}}\sağ)=z^{k}f(z),\qquad f(z+1)=f(z)}$

sırasıyla. Yana S ve T oluşturmak modüler grubu SL (2, Z ) , yukarıdaki ikinci durum, bu iki denklem eşdeğerdir.

• Yana f  ( Z + 1) =   f  ( Z ) , modüler formları periyodik fonksiyonlar süre ile, 1 , ve böylece var Fourier serisi . 

Kafesler veya eliptik eğriler cinsinden tanım

Modüler bir şekilde eşit bir fonksiyonu olarak tanımlanabilir F kümesinden örgüleri olarak C setine karmaşık sayılar tatmin belirli koşullar:

1. Biz düşünürsek kafes Λ = Z α + Z z sabit tarafından üretilen a ve değişken z , daha sonra F (Λ) bir bir analitik fonksiyon arasında z .
2. Eğer α sıfır olmayan bir kompleks sayı ve α N- her öğe çarpılması ile elde edilen örgü olup X ile a , daha sonra F ( α Λ) = α ^{- k} F (Λ) k sabit bir (tipik olarak bir pozitif tam sayı olduğu) formun ağırlığı denir .
3. Mutlak değer arasında F (Λ) en küçük sıfır olmayan elemanın mutlak değeri sürece yukarıda sınırlı kalır X 0 uzağa sınırlanmaktadır.

İki tanımın denkliğini kanıtlamanın ana fikri, böyle bir F fonksiyonunun , ikinci koşul nedeniyle, Z + Z τ biçimindeki kafesler üzerindeki değerleri tarafından belirlenmesidir , burada τ ∈ H .

Örnekler

Eisenstein serisi

Bu açıdan en basit örnekler Eisenstein serileridir . Her bir hatta tam sayı için k > 2 , tanımladığımızı e _K (Λ) toplamı olarak X ^{- k} sıfır olmayan tüm vektörler üzerinde N- ve X :

${\displaystyle E_{k}(\Lambda )=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-k}.}$

O halde E _k , k ağırlığının modüler bir şeklidir .

İçin Λ = Z + Z τ Elimizdeki

${\displaystyle E_{k}(\Lambda )=E_{k}(\tau )=\sum _{(0,0)\neq (m,n)\in \mathbf {Z} ^{2}}{ \frac {1}{(m+n\tau )^{k}}},}$

ve

${\displaystyle {\begin{hizalı}E_{k}\sol(-{\frac {1}{\tau }}\sağ)&=\tau ^{k}E_{k}(\tau )\\E_ {k}(\tau +1)&=E_{k}(\tau )\end{hizalı}}}$.

Yakınsama için k > 2 koşulu gereklidir ; tek k için λ ^{− k} ve (− λ ) ^{− k} arasında bir iptal vardır , böylece bu tür seriler aynı şekilde sıfır olur.

Tek modüler kafeslerin bile teta fonksiyonları

Bir daha unimodular kafes L içinde R ^{, n} tarafından oluşturulan bir örgü olup , n belirleyici 1 bir matrisinden sütun biçimlendirilmiş ve her bir vektörün uzunluğuna karesi olduğu koşulunu sağlayan vektörler L eşit bir tamsayıdır. Sözde teta işlevi

${\displaystyle \vartheta _{L}(z)=\sum _{\lambda \in L}e^{\pi i\Vert \lambda \Vert ^{2}z}}$

Im(z) > 0 olduğunda yakınsar ve Poisson toplama formülünün bir sonucu olarak, ağırlık n /2'nin modüler bir formu olarak gösterilebilir . Hatta unimodular menfezler oluşturmak için o kadar kolay değildir, ancak burada bir yöntemdir: Let n, 8 ile bir tam sayı bölünebilir ve tüm vektörler dikkate v içinde R ^{, n} şekilde 2 h , koordinatları tamsayıdır sahiptir, ya tüm çift ya da tüm tek ve bu v'nin koordinatlarının toplamı çift ​​bir tam sayıdır. Bu kafese L _n diyoruz . Zaman , n = 8 , bu kökleri tarafından oluşturulan kafes olan kök sistemi olarak adlandırılan e ₈ . Skaler çarpmaya kadar sadece bir modüler ağırlık formu olduğu için,

${\displaystyle \vartheta _{L_{8}\times L_{8}}(z)=\vartheta _{L_{16}}(z),}$

L ₈ × L ₈ ve L ₁₆ kafesleri benzer olmasa da. John Milnor 16 boyutlu olduğu görülmektedir tori bölünmesi ile elde edilen R ¹⁶ , bu iki yapıya göre örnek sonuç olarak kompakt Rieman manifoldları olan isospectral ancak izometrik (bkz bir tamburun şekli İşitme .)

modüler diskriminant

Dedekind eta fonksiyonu olarak tanımlanmaktadır

${\displaystyle \eta (z)=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n}),\qquad q=e^{2\pi iz }.}$

burada q nome olarak adlandırılır . O halde modüler diskriminant Δ( z ) = (2π) ¹² η ( z ) ²⁴ ağırlık 12'nin modüler bir şeklidir. 24'ün varlığı Sülük kafesinin 24 boyuta sahip olmasıyla ilgilidir . Ramanujan'ın ünlü bir varsayımı , Δ( z ) q'da bir kuvvet serisi olarak genişletildiğinde, herhangi bir asal p için q ^p'nin katsayısının ≤ 2 p ^11/2 mutlak değerine sahip olduğunu ileri sürdü . Bu çalışma ile doğrulanmıştır Eichler , Shimura , Kuga , Ihara ve Pierre Deligne arasında Deligne ispatındaki sonucu Weil varsayımlara Ramanujan varsayım anlamına gösterildi.

İkinci ve üçüncü örnekler, modüler formlar ile sayı teorisindeki, tam sayıların ikinci dereceden formlarla temsili ve bölme işlevi gibi klasik sorular arasındaki bağlantıya dair bazı ipuçları verir . Modüler formlar ve sayı teorisi arasındaki önemli kavramsal bağlantı, modüler formlar teorisi ile temsil teorisi arasındaki bağlantıyı da veren Hecke operatörleri teorisi tarafından sağlanır .

Modüler fonksiyonlar

Ağırlık k sıfır olduğunda, sadece modüler formların sabit fonksiyonlar olduğu Liouville teoremi kullanılarak gösterilebilir . Bununla birlikte, f'nin holomorfik olma gerekliliğini gevşetmek, modüler fonksiyonlar kavramına yol açar . f  : H → C işlevi , aşağıdaki özellikleri karşılıyorsa modüler olarak adlandırılır :

1. f , açık üst yarı düzlemde H meromorfiktir .
2. Modüler gruptaki her tamsayı matrisi için Γ , .${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$${\displaystyle f\sol({\frac {az+b}{cz+d}}\sağ)=f(z)}$
3. Yukarıda belirtildiği gibi, ikinci koşul, f'nin periyodik olduğunu ve dolayısıyla bir Fourier serisine sahip olduğunu ima eder . Üçüncü şart ise bu serinin şu şekilde olmasıdır.

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}e^{2i\pi nz}.}$

Genellikle ( nome'un karesi ) cinsinden şu şekilde yazılır : ${\displaystyle q=\exp(2\pi iz)}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}q^{n}.}$

Bu aynı zamanda f'nin q- genişlemesi olarak da adlandırılır . Katsayıları Fourier katsayıları olarak bilinen f ve sayı m kutbunun sırası olarak adlandırılan f i ∞ de. Bu koşul "baş noktasında meromorfik" olarak adlandırılır, yani yalnızca sonlu sayıda negatif- n katsayısının sıfır olmadığı anlamına gelir , bu nedenle q -genişlemesi aşağıda sınırlandırılarak q  = 0'da meromorfik olması garanti edilir .  ${\ Displaystyle a_{n}}$

Modüler fonksiyonların tanımını ifade etmenin bir başka yolu da eliptik eğrileri kullanmaktır : her kafes Λ, C üzerinde bir eliptik eğri C /Λ belirler ; iki kafes, izomorfik eliptik eğrileri ancak ve ancak biri diğerinden sıfır olmayan bir karmaşık sayı α ile çarpılarak elde edilirse belirler . Bu nedenle, modüler bir fonksiyon, eliptik eğrilerin izomorfizm sınıfları setinde meromorfik bir fonksiyon olarak da kabul edilebilir. Örneğin, tüm eliptik eğriler kümesinde bir fonksiyon olarak kabul edilen bir eliptik eğrinin j-değişmezi j ( z ), modüler bir fonksiyondur. Daha kavramsal olarak, modüler fonksiyonlar , karmaşık eliptik eğrilerin izomorfizm sınıflarının modül uzayı üzerindeki fonksiyonlar olarak düşünülebilir .

Modüler bir şekilde f o Vanishes q = 0 (eşit biçimde, bir ₀ = 0 , aynı zamanda şu şekilde yorumlanmıştır z = I ∞ bir adlandırılır) sivri bir şekilde ( Spitzenform içinde Almanca ). En küçük n, öyle ki a _n ≠ 0 , i ∞ noktasında f sıfırın mertebesidir .

Bir modüler ünite olan kutuplar ve sıfırlar cusps sınırlı olan modüler fonksiyonudur.

Daha genel gruplar için modüler formlar

Fonksiyonel denklem, yani f'nin 'ye göre davranışı, sadece daha küçük gruplardaki matrisler için istenerek gevşetilebilir. ${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

Riemann yüzeyi G \H ^∗

G , SL(2, Z ) 'nin sonlu indeksli bir alt grubu olsun . Böyle bir G grubu , H üzerinde SL(2, Z ) ile aynı şekilde etki eder . Bölüm topolojik uzay G \ H gösterilebilir bir olmak Hausdorff alanı . Tipik olarak kompakt değildir, ancak cusps adı verilen sonlu sayıda nokta eklenerek sıkıştırılabilir . Bunlar H'nin sınırındaki noktalardır , yani Q ∪{ in }'da, öyle ki noktayı sabitleyen G'nin parabolik bir elemanı ( iz ±2 olan bir matris ) vardır. Bu, kompakt bir topolojik uzay G \ H ^{∗ verir} . Dahası, bir Riemann yüzeyinin yapısı ile donatılabilir , bu da kişinin holo- ve meromorfik fonksiyonlardan bahsetmesine izin verir.

Önemli örnekler, herhangi bir pozitif tamsayı için N , uyum alt gruplarından biri

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\Gamma _{0}(N)&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}( 2,\mathbf {Z} ):c\equiv 0{\pmod {N}}\right\}\\\Gamma (N)&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{ pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv b\equiv 0,a\equiv d\equiv 1{\pmod {N}}\right\}.\ bitiş{hizalı}}}$

İçin G = y ₀ ( K ) ya da y ( K ) , boşluklar G \ H ve G \ H ^* belirtilmiştir Y'nin ₀ ( K ) ve X ₀ ( K ) ve Y, ( K ), X, ( N , sırasıyla).

Geometrisi G \ H ^* inceleyerek anlaşılabilir temel etki için G örneğin, alt-gruplar D ⊂ H şekilde D , her yörüngeyi kesiştiği G ile -Eylem H tam olarak bir kez ve kapatılması şekilde D yörüngelerini karşılamaktadır. Örneğin, cins ve G \ H ^* hesaplanabilir.

Tanım

İçin modüler bir şekilde G ağırlığı k bir fonksiyonudur H tüm matrisler için yukarıdaki fonksiyonel denklemi tatmin G ile holomorfik olup, H ve her cusps de G . Yine, tüm uç noktalarında kaybolan modüler formlara G için uç formları denir . Cı ağırlığı modüler ve doruk formlarının -vector alanlarda k gösterilir M _k ( G ) ve S _k ( G ) , sırasıyla. Benzer şekilde, bir meromorfik fonksiyonu G \ H ^* için modüler bir fonksiyonu olarak adlandırılır G . Durumda G = y ₀ ( K ), aynı zamanda modüler / doruk formları ve fonksiyonları olarak adlandırılır seviyesi N . İçin G = y (1) = SL (2, Z ) , bu arka yukarıda bahsedilen tanımları verilmiştir.

Sonuçlar

Modüler formlar ve fonksiyonlar hakkında daha fazla bilgi elde etmek için Riemann yüzeyleri teorisi G \ H ^∗' ye uygulanabilir . Örneğin, M _k ( G ) ve S _k ( G ) uzayları sonlu boyutludur ve boyutları, H üzerindeki G- eyleminin geometrisi açısından Riemann-Roch teoremi sayesinde hesaplanabilir . Örneğin,

${\displaystyle \dim _{\mathbf {C} }M_{k}\left({\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )\right)={\begin{davalar}\left\lfloor k/12\right\rfloor &k\equiv 2{\pmod {12}}\\\left\lfloor k/12\right\rfloor +1&{\text{aksi halde}}\end{durumlar}}}$

nerede zemin fonksiyonunu belirtir ve eşittir. ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$${\görüntüleme stili k}$

Modüler fonksiyonlar , Riemann yüzeyinin fonksiyon alanını oluşturur ve dolayısıyla bir aşkınlık derecesi ( C üzerinde ) alanı oluşturur. Modüler fonksiyonu ise f aynı 0 değildir, daha sonra sıfır sayısıdır gösterilebilir f sayısına eşittir kutup arasında f de kapağın bir temel bölgeye R _Γ It gösterilebilir ki modüler alan N düzeyinin fonksiyonu ( N ≥ 1), j ( z ) ve j ( Nz ) fonksiyonları tarafından üretilir .

Hat demetleri

Durum karlı işlevlere arayışında ortaya çıktığı edilene karşılaştırılabilir yansıtmalı alan P ( V ): bu ortamda, bir ideal olarak fonksiyonları gibi F vektör uzayı üzerinde V koordinatlarında polinom olan v  ≠ 0 V ve sıfır olmayan tüm c için F ( cv ) =  F ( v ) denklemini sağlayın . Ne yazık ki, bu tür işlevler yalnızca sabitlerdir. Paydalara izin verirsek (polinomlar yerine rasyonel fonksiyonlar), F'nin aynı derecede iki homojen polinomun oranı olmasına izin verebiliriz . Alternatif olarak, polinomlara bağlı kalabilir ve F ( cv ) =  c ^k F ( v ) sağlayarak c'ye olan bağımlılığı gevşetebiliriz . Çözümler daha sonra k dereceli homojen polinomlardır . Bir yandan, bunlar her k için sonlu boyutlu bir vektör uzayı oluşturur  ve diğer yandan, k'nin değişmesine izin verirsek, temeldeki yansıtmalı uzay P üzerinde gerçekten işlevler olan tüm rasyonel fonksiyonları inşa etmek için pay ve paydaları bulabiliriz. ( V ).

Homojen polinomlar gerçekten P( V ) üzerinde fonksiyon olmadığından, geometrik olarak ne oldukları sorulabilir. Algebro-geometrik cevap onlar olmasıdır bölümler a demet (bir de denebilir hat paket bu durumda). Modüler formlardaki durum tam olarak benzerdir.

Modüler formlara, eliptik eğrilerin modül uzayı üzerindeki çizgi demetlerinin bölümleri olarak, bu geometrik yönden de karlı bir şekilde yaklaşılabilir.

Modüler formların halkaları

SL(2, Z ) 'nin bir alt grubu Γ için , modüler formların halkası , Γ'nin modüler formları tarafından üretilen dereceli halkadır . Başka bir deyişle, M _k (Γ) , k ağırlıklı modüler formların halkası ise , o zaman Γ modüler formlarının halkası dereceli halkadır . ${\displaystyle M(\Gamma )=\bigoplus _{k>0}M_{k}(\Gamma )}$

SL(2, Z )' nin uyum alt gruplarının modüler formlarının halkaları, Pierre Deligne ve Michael Rapoport'un bir sonucu nedeniyle sonlu olarak üretilir . Bu tür modüler form halkaları ağırlık olarak en fazla 6 olarak üretilir ve ilişkiler, uyum alt grubu sıfır olmayan tek ağırlıklı modüler formlara sahip olduğunda ağırlık olarak üretilir ve sıfır olmayan tek ağırlıklı modüler formlar olmadığında karşılık gelen sınırlar 5 ve 10'dur. .

Daha genel olarak, modüler formlar halkasının üreteçlerinin ağırlıkları üzerindeki sınırlar ve keyfi Fuşya grupları için ilişkileri için formüller vardır .

Türler

Tüm formlar

Eğer f olduğu holomorfik cups'daki (hiç kutbu vardır q  = 0), bir adlandırılan tüm modüler bir şekilde .

Eğer f meromorfik ama cups'daki holomorfik değil, bir denir olmayan tüm modüler formu . Örneğin, j-değişmezi , ağırlık 0'ın tamamı olmayan modüler bir biçimidir ve i∞'de basit bir kutba sahiptir.

Yeni formlar

Yeni formlar , bölünen daha düşük ağırlıkların modüler formlarından oluşturulamayan sabit ağırlıklı modüler formların bir alt uzayıdır . Diğer formlara eski formlar denir . Bu eski formlar, aşağıdaki gözlemler kullanılarak oluşturulabilir: eğer öyleyse , modüler formların tersine dahil edilmesi . ${\görüntüleme stili N}$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili N}$${\görüntüleme stili M|N}$${\displaystyle \Gamma _{1}(N)\subseteq \Gamma _{1}(M)}$${\displaystyle M_{k}(\Gamma _{1}(M))\subseteq M_{k}(\Gamma _{1}(N))}$

uç formları

Bir tepe formu , Fourier serisinde sıfır sabit katsayılı modüler bir formdur. Formun tüm başlangıç ​​noktalarında kaybolması nedeniyle buna cusp formu denir.

genellemeler

"Modüler fonksiyon" teriminin bu klasik kullanım dışında bir dizi başka kullanımı vardır; örneğin, Haar ölçümleri teorisinde , konjugasyon eylemi tarafından belirlenen bir Δ( g ) fonksiyonudur .

Maass formlar şunlardır gerçek analitik özfonksiyonlar ait Laplace ama olmak zorunda değildir holomorfik . Bazı zayıf Maass dalga formlarının holomorfik kısımlarının esasen Ramanujan'ın sahte teta fonksiyonları olduğu ortaya çıkıyor . SL(2, Z )' nin alt grupları olmayan gruplardüşünülebilir.

Hilbert modüler formları , her biri üst yarı düzlemde karmaşık bir sayı olan ve tamamen gerçek sayı alanındaki girişlerle 2×2 matrisler için modüler bir ilişki sağlayan n değişkenlifonksiyonlardır.

Siegel modüler formları ,klasik modüler formların SL(2, R ) ile ilişkilendirildiği şekilde daha büyük simplektik gruplarla ilişkilidir; başka bir deyişle,klasik modüler formların (bazennoktayı vurgulamak için eliptik modüler formlar olarak adlandırılır) eliptik eğrilerle ilgili olduğuanlamda değişmeli çeşitlerle ilgilidir.

Jacobi formları , modüler formların ve eliptik fonksiyonların bir karışımıdır. Bu tür işlevlerin örnekleri çok klasiktir - Jacobi teta işlevleri ve iki cinsin Siegel modüler biçimlerinin Fourier katsayıları - ancak Jacobi biçimlerinin modüler biçimlerin olağan teorisine çok benzeyen bir aritmetik teorisine sahip olduğu nispeten yeni bir gözlemdir.

Otomorfik formlar , modüler formlar kavramını genel Lie gruplarına genişletir.

k ağırlığının modüler integralleri , sonsuzlukta orta derecede büyümenin üst yarı düzleminde yer alan verasyonel bir fonksiyon tarafından k ağırlığında modüler olamayan meromorfikfonksiyonlardır.

Otomorfik faktörler ,modüler formları tanımlayan modülerlik ilişkisini genelleştirmek için kullanılan formun fonksiyonlarıdır.${\displaystyle \varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}}$

${\displaystyle f\sol({\frac {az+b}{cz+d}}\sağ)=\varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}f(z). }$

İşlev , modüler formun nebentypus'udur. Ağırlık 1/ 2'nin modüler bir biçimi olan Dedekind eta işlevi gibi işlevler , otomorfik faktörlere izin verilerek teori tarafından kapsanabilir. ${\görüntüleme stili \varepsilon (a,b,c,d)}$

Tarih

Modüler formlar teorisi dört dönemde geliştirildi: ilk olarak on dokuzuncu yüzyılın ilk bölümünde eliptik fonksiyonlar teorisi ile bağlantılı olarak ; daha sonra , otomorfik form kavramı anlaşıldıkça (bir değişken için) on dokuzuncu yüzyılın sonlarına doğru Felix Klein ve diğerleri tarafından ; daha sonra yaklaşık 1925'ten Erich Hecke tarafından ; ve sonra 1960'larda, sayı teorisinin ihtiyaçları ve özellikle modülerlik teoreminin formülasyonu, modüler formların derinden etkilendiğini açıkça ortaya koydu.

Sistematik bir tanım olarak "modüler form" terimi genellikle Hecke'ye atfedilir.

Notlar

Referanslar

• Apostol, Tom M. (1990), Sayı Teorisinde Modüler fonksiyonlar ve Dirichlet Serileri , New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97127-0
• Elmas, Fred; Shurman, Jerry Michael (2005), Modüler Formlarda İlk Ders , Matematikte Lisansüstü Metinler, 228 , New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0387232294 Modülerlik teoreminin ispatına genel bir bakış sağlar .
• Gelbart, Stephen S. (1975), Adèle Gruplarında Otomorfik Formlar , Annals of Mathematics Studies, 83 , Princeton, NJ: Princeton University Press, MR  0379375. Temsil teorisi açısından modüler formlara bir giriş sağlar .
• Hecke, Erich (1970), Mathematische Werke , Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht
• Rankin, Robert A. (1977), Modüler formlar ve fonksiyonlar , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-21212-X
• Ribet, K.; Stein, W., Modüler Formlar ve Hecke Operatörleri Üzerine Dersler (PDF)
• Serre, Jean-Pierre (1973), Aritmetik Kursu , Matematikte Lisansüstü Metinler, 7 , New York: Springer-Verlag. Bölüm VII, modüler formlar teorisine temel bir giriş sağlar .
• Shimura, Goro (1971), Otomorfik fonksiyonların aritmetik teorisine giriş , Princeton, NJ: Princeton University Press. Daha gelişmiş bir tedavi sağlar.
• Skoruppa, NP; Zagier, D. (1988), "Jacobi formları ve modüler formların belirli bir alanı", Inventiones Mathematicae , Springer