Komplexní násobení - Complex multiplication

V matematice je komplexní násobení ( CM ) teorie eliptických křivek E, které mají endomorfní kruh větší než celá čísla ; a také teorie ve vyšších rozměrech abelian odrůdy mají dostatek endomorphisms v určitém přesném slova smyslu (to zhruba znamená, že působení na tečného prostoru v identity prvku z A je přímý součet jednorozměrných modulů ). Jinak řečeno, že obsahuje teorii eliptické funkce s možností symetrií, jako je jsou viditelné, když je doba mřížka je Gaussova číslo mřížka nebo Eisenstein číslo mřížka.

Má aspekt patřící k teorii speciálních funkcí , protože takové eliptické funkce, nebo abelian funkce v několika komplexních proměnných , jsou pak ‚velmi zvláštní‘ funkcí, které splňují další identitu a užívají výslovně kalkulovatelných speciální hodnoty v jednotlivých bodech. Ukázalo se také, že je ústředním tématem v algebraické teorii čísel , což umožňuje přenesení některých rysů teorie cyklotomických polí do širších oblastí použití.

David Hilbert údajně poznamenal, že teorie komplexního násobení eliptických křivek nebyla jen nejkrásnější částí matematiky, ale celé vědy.

Příklad rozšíření imaginárního kvadratického pole

Eliptickou křivku nad komplexními čísly získáme jako podíl komplexní roviny pomocí mřížky Λ, která zde překlenuje dvě základní periody ω ₁ a ω ₂ . Je také zobrazena čtyřkroužba, odpovídající mřížce 1/4 Λ obsahující Λ. Příklad eliptické křivky odpovídající Gaussovým celým číslům nastává, když ω ₂ = i ω ₁ .

Zvažte imaginární kvadratické pole . O eliptické funkci se říká, že má složité násobení, pokud existuje algebraický vztah mezi a pro vše v . ${\ textstyle K = \ mathbb {Q} \ doleva ({\ sqrt {-d}} \ doprava), \, d \ in \ mathbb {Z}, d> 0}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f (z)}$${\ displaystyle f (\ lambda z)}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle K}$

Naopak, Kronecker se domníval - v tom, co se stalo známým jako Kronecker Jugendtraum -, že každé abelianské rozšíření lze získat (kořeny) rovnice vhodné eliptické křivky se složitým násobením. Dodnes to zůstává jedním z mála případů Hilbertovy dvanácté úlohy, která byla skutečně vyřešena. ${\ displaystyle K}$

Příkladem eliptické křivky se složitým násobením je

${\ displaystyle \ mathbb {C} / (\ theta \ mathbb {Z} [i])}$

kde Z [ i ] je Gaussův celočíselný kruh a θ je jakékoli nenulové komplexní číslo. Každý takový komplexní torus má Gaussova celá čísla jako prsten endomorfismu. Je známo, že všechny odpovídající křivky lze zapsat jako

${\ displaystyle Y ^ {2} = 4X ^ {3} -aX}$

pro některé , které prokazatelně odesílají dva konjugované příkazy 4 automatorfismy${\ displaystyle a \ in \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle Y \ až \ pm iY, \ quad X \ až -X}$

v souladu s působením i na eliptické funkce Weierstrass .

Obecněji zvažte mřížku Λ, aditivní skupinu v komplexní rovině, generovanou . Pak definujeme funkci Weierstrassova proměnné v následujícím způsobem: ${\ displaystyle \ omega _ {1}, \ omega _ {2}}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle \ wp (z; \ Lambda) = \ wp (z; \ omega _ {1}, \ omega _ {2}) = {\ frac {1} {z ^ {2}}} + \ součet _ {(m, n) \ neq (0,0)} \ left \ {{\ frac {1} {(z + m \ omega _ {1} + n \ omega _ {2}) ^ {2}}} - {\ frac {1} {\ vlevo (m \ omega _ {1} + n \ omega _ {2} \ vpravo) ^ {2}}} \ vpravo \},}$

a

${\ displaystyle g_ {2} = 60 \ součet _ {(m, n) \ neq (0,0)} (m \ omega _ {1} + n \ omega _ {2}) ^ {- 4}}$

${\ displaystyle g_ {3} = 140 \ součet _ {(m, n) \ neq (0,0)} (m \ omega _ {1} + n \ omega _ {2}) ^ {- 6}.}$

Nechť je derivát . Pak získáme izomorfismus komplexních Lieových skupin: ${\ displaystyle \ wp '}$${\ displaystyle \ wp}$

${\ displaystyle w \ mapsto (\ wp (w): \ wp '(w): 1) \ in \ mathbb {P} ^ {2} (\ mathbb {C})}$

ze komplexní skupiny torusů do projektivní eliptické křivky definované v homogenních souřadnicích pomocí ${\ displaystyle \ mathbb {C} / \ Lambda}$

${\ displaystyle E = \ left \ {(x: y: z) \ in \ mathbb {C} ^ {3} \ mid y ^ {2} z = 4x ^ {3} -g_ {2} xz ^ {2 } -g_ {3} z ^ {3} \ doprava \}}$

a kde je bod v nekonečnu, nulový prvek skupinového zákona eliptické křivky, podle konvence považován za . V případě, že mřížka definující eliptickou křivku skutečně zachována v násobení (možná správné subring) kruhu celých čísel z , pak kruh analytických automorphisms dopadá být isomorfní této (sub) kruhu. ${\ displaystyle (0: 1: 0)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {o}} _ {K}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle E = \ mathbb {C} / \ Lambda}$

Pokud přepíšeme kde a potom ${\ displaystyle \ tau = \ omega _ {1} / \ omega _ {2}}$${\ displaystyle \ operatorname {Im} \ tau> 0}$${\ displaystyle \ Delta (\ Lambda) = g_ {2} (\ Lambda) ^ {3} -27g_ {3} (\ Lambda) ^ {3}}$

${\ displaystyle j (\ tau) = j (E) = j (\ Lambda) = 2 ^ {6} 3 ^ {3} g_ {2} (\ Lambda) ^ {3} / \ Delta (\ Lambda) \ .}$

To znamená, že j-neměnný z je algebraické číslo - ležící v - v případě, má komplexní násobení. ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle E}$

Abstraktní teorie endomorfismů

Kruh endomorfismů eliptické křivky může mít jednu ze tří forem: celá čísla Z ; pořadí v imaginární kvadratický pole čísla ; nebo příkaz v určitém čtveřice algebry přes Q .

Když je definičním polem konečné pole , vždy existují netriviální endomorfismy eliptické křivky pocházející z Frobeniovy mapy , takže každá taková křivka má složité násobení (a terminologie se často nepoužívá). Ale když je základním polem číselné pole, komplexní násobení je výjimkou. Je známo, že v obecném smyslu je pro Hodgeovu domněnku nejtěžší vyřešit případ složitého násobení .

Kronecker a Abelian rozšíření

Kronecker nejprve předpokládal, že hodnoty eliptických funkcí v torzních bodech by měly stačit ke generování všech abelianských rozšíření pro imaginární kvadratická pole, což je myšlenka, která se v některých případech vrátila k Eisensteinovi , ba dokonce ke Gaussovi . Toto se stalo známým jako Kronecker Jugendtraum ; a bylo to přesně to, co podnítilo Hilbertovu poznámku výše, protože činí explicitní teorii třídního pole tak, jak to dělají kořeny jednoty pro abelianská rozšíření racionálního číselného pole , a to prostřednictvím Shimurova zákona o vzájemnosti .

Ve skutečnosti, ať K být imaginární kvadratické těleso s třídou pole H . Nechť E být eliptická křivka s komplexním násobením celá čísla K , definované přes H . Potom se maximální abelian rozšíření o K je generován x -coordinates z bodů konečné pořadí na nějakém Weierstrassovy modelu E přes H .

Bylo hledáno mnoho zobecnění Kroneckerových myšlenek; leží však poněkud šikmo k hlavnímu tahu Langlandsovy filozofie a v současnosti není známo žádné definitivní prohlášení.

Ukázkový důsledek

Není to náhoda

${\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {163}}} = 262537412640768743.99999999999925007 \ dots \,}$

nebo ekvivalentně

${\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {163}}} = 640320 ^ {3} +743,99999999999925007 \ tečky \,}$

je tak blízko k celému číslu. Tato pozoruhodná skutečnost je vysvětlena teorií komplexního násobení spolu s některými znalostmi modulárních forem a skutečností, že

${\ displaystyle \ mathbf {Z} \ doleva [{\ frac {1 + {\ sqrt {-163}}} {2}} \ doprava]}$

je jedinečná faktorizační doména .

Zde splňuje α ² = α - 41 . Obecně platí, že S [ α ] označuje soubor všech polynomiálních výrazů v a s koeficienty v S , což je nejmenší kruh, obsahující alfa a S . Protože α splňuje tuto kvadratickou rovnici, lze požadované polynomy omezit na první stupeň. ${\ displaystyle (1 + {\ sqrt {-163}}) / 2}$

Alternativně,

${\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {163}}} = 12 ^ {3} (231 ^ {2} -1) ^ {3} +743,99999999999925007 \ dots \,}$

vnitřní struktura kvůli určité Eisensteinově řadě a s podobnými jednoduchými výrazy pro ostatní Heegnerova čísla .

Singulární moduly

Body horní poloroviny τ, které odpovídají periodickým poměrům eliptických křivek nad komplexními čísly se složitým násobením, jsou přesně imaginární kvadratická čísla. Odpovídající modulární invarianty j ( τ ) jsou singulární moduly , pocházející ze starší terminologie, ve které „singulární“ odkazoval na vlastnost mít netriviální endomorfismy, spíše než odkazovat na singulární křivku .

Modulární funkce j ( τ ) je algebraická na imaginárních kvadratických čísel ▼ je : to jsou pouze algebraická čísla v horní polorovině, pro které j je algebraický.

Pokud je Λ mřížka s periodickým poměrem τ , napíšeme j (Λ) pro j ( τ ). Pokud je dále Λ ideálním a v kruhu celých čísel O _K kvadratického imaginárního pole K , napíšeme j ( a ) pro odpovídající singulární modul. Hodnoty j ( ) jsou potom v reálném algebraická celá čísla, a generovat Hilbertovy třída pole H a K : na rozšíření pole stupeň [ H : K ] = H je počet tříd K a H / K je rozšíření Galoisovo s Galois skupina isomorphic k ideální třídy skupiny z k . Skupina tříd působí na hodnoty j ( a ) pomocí [ b ]: j ( a ) → j ( ab ).

Zejména pokud K má třídu číslo jedna, pak j ( a ) = j ( O ) je racionální celé číslo: například j ( Z [i]) = j (i) = 1728.

Viz také

• Abelianská odrůda typu CM , vyšší rozměry
• Algebraický Hecke charakter
• Heegnerův bod
• Hilbertův dvanáctý problém
• Lubin – Tate formální skupina , místní pole
• Drinfeld shtuka , případ globálního funkčního pole

Citace

Reference

externí odkazy

• Komplexní násobení z PlanetMath.org
• Příklady eliptických křivek se složitým násobením z PlanetMath.org
• Ribet, Kenneth A. (říjen 1995). "Reprezentace Galois a modulární formuláře". Bulletin of the American Mathematical Society . 32 (4): 375–402. arXiv : matematika / 9503219 . CiteSeerX  10.1.1.125.6114 . doi : 10.1090 / s0273-0979-1995-00616-6 .