Küresel alan - Global field

Gelen matematik , bir küresel alan alanların İki tür biridir (diğeri yerel alan ile karakterize edilir) değerleme . İki tür küresel alan vardır :

• Cebirsel numarası alanı : Bir sonlu uzatma ait${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Global fonksiyon alanı : Sonlu bir alan üzerinde bir cebirsel eğrinin fonksiyon alanı , eşdeğer olarak, sonlu bir uzantısı , rasyonel fonksiyonların alanı tek değişkenli sonlu alan üzerinde elemanlarla.${\ Displaystyle F_{q}(T)}$${\görüntüleme stili q}$

Değerleme teorisi aracılığıyla bu alanların aksiyomatik bir karakterizasyonu 1940'larda Emil Artin ve George Whaples tarafından verildi .

Resmi tanımlar

Bir küresel alan aşağıdakilerden biridir:

Cebirsel sayı alanı

Bir cebirsel sayı alanı F sonlu (ve dolayısıyla bir cebirsel ) cisim genişlemesi ve alan bir rasyonel sayı Q . Böylece F , Q içeren ve Q üzerinde bir vektör uzayı olarak düşünüldüğünde sonlu boyutu olan bir alandır .

Sonlu bir alan üzerinde bir cebirsel eğrinin fonksiyon alanı

Bir çeşidin fonksiyon alanı, o çeşit üzerindeki tüm rasyonel fonksiyonların kümesidir. Bir cebirsel eğri (yani, bir tek boyutlu çeşitli V sonlu alanı üzerinde), açık bir afin alt kümesine rasyonel olan bir fonksiyon olduğunu söylemek u iki polinomların oranı olarak tanımlanır halka koordinat afin bir U ve rasyonel olduğu V'nin tamamındaki işlev, açık afinlerin kesişimleri üzerinde anlaşmaya varan yerel verilerden oluşur. Bu teknik rasyonel işlevlerini tanımlar V olduğu fraksiyonların alan bu tür tüm alt-gruplar yoğun olduğu için, herhangi bir açık afin alt kümesinin bir halka koordinat benzeşik.

İki alan sınıfı arasındaki analojiler

İki tür alan arasında bir takım biçimsel benzerlikler vardır. Her iki türde bir alanda aşağıdaki tüm bu özelliğine sahiptir tamamlama olan yerel kompakt alanlar (bkz yerel alanlar ). Her iki türden her alan, içinde sıfır olmayan her idealin sonlu indeksli olduğu bir Dedekind alanının kesirlerin alanı olarak gerçekleştirilebilir . Her durumda, sıfır olmayan elemanlar x için çarpım formülü vardır :

${\displaystyle \prod _{v}|x|_{v}=1.\ }$

İki tür alan arasındaki analoji, cebirsel sayı teorisinde güçlü bir motive edici güç olmuştur . Sayı alanları ve arasında bir benzetme fikri Riemann yüzeyleri kadar gider Richard Dedekind ve Heinrich M. Weber on dokuzuncu yüzyılda. Cebirsel eğri olarak Riemann Yüzeyin boy sonlu alanın üzerine tanımlanmış eğrilerin eşleştirilmiş olduğu 'küresel alan' fikri, tarafından ifade daha sıkı benzetme, sonuçlanan, 1930'larda inşa edilmiş Sonlu cisimler üzerinde eğriler için Riemann hipotezi yerleşti tarafından André Weil 1940 yılında terminoloji onun yazdığı Weil, kaynaklanıyor olabilir Temel Numarası Teorisi paralellik dışarı çalışmalarına kısmen (1967).

Fonksiyon alanı durumunda çalışmak ve daha sonra sayı alanı tarafında paralel teknikler geliştirmeye çalışmak genellikle daha kolaydır. Gelişimi Arakelov teorisi ile ve sömürü Gerd Faltings onun kanıtı Mordell varsayım dramatik bir örnektir. Analoji, Iwasawa teorisinin ve Ana Varsayımın gelişmesinde de etkili olmuştur . Kanıtı temel lemma içinde Langlands PROGRAM da işlev alanı durumda sayı alanı durum düşük tekniklerin kullanımı.

teoremler

Hasse-Minkowski teoremi

Hasse-Minkowski teoremi temel bir sonuçtur sayılar teorisi iki belirtiyor kuadratik formlar küresel alanın üzerine denk olup olmadığını ve onlar eşdeğerdir yalnızca tüm yerlerde yerel olarak her aşkın eşdeğer, yani tamamlanma alanın.

Artin mütekabiliyet kanunu

Artin'in karşılıklılık yasası , Hasse yerel-küresel ilkesine dayanan bir küresel alan K'nin mutlak Galois grubunun değişmelileştirilmesinin bir tanımını ima eder . Kohomoloji açısından şu şekilde açıklanabilir:

Let L _hac / K _v bir olmak Galois'in uzantısı arasında yerel alanlar Galois'in grubu ile G . Yerel mütekabiliyet yasası kanonik izomorfizm açıklar

${\displaystyle \theta _{v}:K_{v}^{\times }/N_{L_{v}/K_{v}}(L_{v}^{\times })\to G^{\text {ab}},}$

denilen yerel Artin sembol , yerel mütekabiliyet haritası veya norm kalıntı sembolü .

Let L / K bir olmak Galois uzantısı küresel alanların ve C _L ayakta idèle sınıf grubunun içinde L . Maps'in θ _v farklı yerlerde için v ait K tek içine monte edilebilir küresel sembol haritası bir idèle sınıfın yerel bileşenlerini çarparak. Artin mütekabiliyet yasasının ifadelerinden biri, bunun kanonik bir eşbiçimlilik ile sonuçlanmasıdır.

alıntılar

Referanslar