Korrelationsfunktion - Correlation function

Visuell jämförelse av faltning , korskorrelation och autokorrelation .

En korrelationsfunktion är en funktion som ger den statistiska korrelationen mellan slumpmässiga variabler , beroende av det rumsliga eller tidsmässiga avståndet mellan dessa variabler. Om man tar hänsyn till korrelationsfunktionen mellan slumpmässiga variabler som representerar samma kvantitet uppmätt vid två olika punkter, så kallas detta ofta för en autokorrelationsfunktion , som består av autokorrelationer . Korrelationsfunktioner för olika slumpmässiga variabler kallas ibland korskorrelationsfunktioner för att betona att olika variabler övervägs och för att de består av korskorrelationer .

Korrelationsfunktioner är en användbar indikator på beroenden som en funktion av avstånd i tid eller rum, och de kan användas för att bedöma det avstånd som krävs mellan provpunkter för att värdena ska vara okorrelerade. Dessutom kan de ligga till grund för regler för interpolering av värden vid punkter där det inte finns några observationer.

Korrelationsfunktioner som används i astronomi , finansiell analys , ekonometri och statistisk mekanik skiljer sig bara åt i de specifika stokastiska processerna de används på. I kvantfältsteori finns korrelationsfunktioner över kvantfördelningar .

Definition

För eventuellt distinkta slumpmässiga variabler X ( s ) och Y ( t ) vid olika punkter s och t i något utrymme är korrelationsfunktionen

${\ displaystyle C (s, t) = \ operatorname {corr} (X (s), Y (t)),}$

där beskrivs i artikeln om korrelation . I denna definition har man antagit att de stokastiska variablerna är skalära. Om de inte är det kan mer komplicerade korrelationsfunktioner definieras. Till exempel, om X ( s ) är en slumpmässig vektor med n- element och Y (t) är en vektor med q- element, så definieras en n × q- matris av korrelationsfunktioner med element ${\ displaystyle \ operatorname {corr}}$${\ displaystyle i, j}$

${\ displaystyle C_ {ij} (s, t) = \ operatorname {corr} (X_ {i} (s), Y_ {j} (t)).}$

När n = q är spåren av denna matris ibland fokuserad på. Om sannolikhetsfördelningarna har några målrymdsymmetrier, dvs. symmetrier i värdet för den stokastiska variabeln (även kallad interna symmetrier ), kommer korrelationsmatrisen att ha inducerat symmetrier. På samma sätt, om det finns symmetrier för rymd- (eller tidsdomänen) där de slumpmässiga variablerna finns (även kallade rymdtidssymmetrier ), kommer korrelationsfunktionen att ha motsvarande rymd- eller tidssymmetrier. Exempel på viktiga rymdtidssymmetrier är -

• translationell symmetri ger C ( s , s ') = C ( s  -  s ') där s och s 'ska tolkas som vektorer som ger koordinater för punkterna
• rotationssymmetri utöver ovanstående ger C ( s , s ') = C (| s  -  s ' |) där | x | betecknar vektorn x norm (för verkliga rotationer är detta den euklidiska eller 2-normen).

Korrelationsfunktioner med högre ordning definieras ofta. En typisk korrelationsfunktion för ordning n är (vinkelparenteserna representerar förväntningsvärdet )

${\ displaystyle C_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {n}} (s_ {1}, s_ {2}, \ cdots, s_ {n}) = \ langle X_ {i_ {1}} ( s_ {1}) X_ {i_ {2}} (s_ {2}) \ cdots X_ {i_ {n}} (s_ {n}) \ rangle.}$

Om den slumpmässiga vektorn endast har en komponentvariabel är indexen överflödiga. Om det finns symmetrier kan korrelationsfunktionen delas upp i oreducerbara representationer av symmetrier - både interna och rymdtid. ${\ displaystyle i, j}$

Egenskaper för sannolikhetsfördelningar

Med dessa definitioner liknar studien av korrelationsfunktioner studien av sannolikhetsfördelningar . Många stokastiska processer kan karakteriseras fullständigt av deras korrelationsfunktioner; det mest anmärkningsvärda exemplet är klassen av Gaussiska processer .

Sannolikhetsfördelningar definierade på ett begränsat antal punkter kan alltid normaliseras, men när dessa definieras över kontinuerliga utrymmen, krävs extra försiktighet. Studien av sådana fördelningar började med studien av slumpmässiga promenader och ledde till uppfattningen om Ito-kalkylen .

Feynman- vägen integrerad i det euklidiska rymden generaliserar detta till andra problem av intresse för statistisk mekanik . Varje sannolikhetsfördelning som följer ett villkor för korrelationsfunktioner som kallas reflektionspositivitet leder till en lokal kvantfältsteori efter Wick-rotation till Minkowski-rymdtid (se Osterwalder-Schrader-axiomer ). Operationen av renormalisering är en specificerad uppsättning mappningar från utrymmet för sannolikhetsfördelningar till sig själv. En kvantfältsteori kallas renormaliserbar om denna kartläggning har en fast punkt som ger en kvantfältsteori.

Se även

• Autokorrelation
• Korrelation innebär inte orsakssamband
• Korrelogram
• Kovariansfunktion
• Pearson produkt-moment korrelationskoefficient
• Korrelationsfunktion (astronomi)
• Korrelationsfunktion (statistisk mekanik)
• Korrelationsfunktion (kvantfältsteori)
• Ömsesidig information
• Rate distorsionsteori
• Radiell fördelningsfunktion