Correlatiefunctie - Correlation function

Visuele vergelijking van convolutie , kruiscorrelatie en autocorrelatie .

Een correlatiefunctie is een functie die de statistische correlatie tussen willekeurige variabelen geeft , afhankelijk van de ruimtelijke of temporele afstand tussen die variabelen. Als men de correlatiefunctie beschouwt tussen willekeurige variabelen die dezelfde grootheid vertegenwoordigen gemeten op twee verschillende punten, dan wordt dit vaak een autocorrelatiefunctie genoemd , die bestaat uit autocorrelaties . Correlatiefuncties van verschillende willekeurige variabelen worden soms kruiscorrelatiefuncties genoemd om te benadrukken dat er met verschillende variabelen rekening wordt gehouden en omdat ze uit kruiscorrelaties bestaan .

Correlatiefuncties zijn een nuttige indicator van afhankelijkheden als functie van afstand in tijd of ruimte, en ze kunnen worden gebruikt om de afstand te beoordelen die nodig is tussen bemonsteringspunten om ervoor te zorgen dat de waarden effectief niet gecorreleerd zijn. Bovendien kunnen ze de basis vormen van regels voor het interpoleren van waarden op punten waarvoor geen observaties zijn.

Correlatiefuncties die in de astronomie , financiële analyse , econometrie en statistische mechanica worden gebruikt, verschillen alleen in de specifieke stochastische processen waarop ze worden toegepast. In de kwantumveldentheorie zijn er correlatiefuncties over kwantumverdelingen .

Definitie

Voor mogelijk verschillende willekeurige variabelen X ( s ) en Y ( t ) op verschillende punten s en t van een bepaalde ruimte, is de correlatiefunctie

${\ Displaystyle C (s, t) = \ operatorname {corr} (X (s), Y (t)),}$

waar wordt beschreven in het artikel over correlatie . In deze definitie is aangenomen dat de stochastische variabelen scalair gewaardeerd zijn. Als dat niet het geval is, kunnen meer gecompliceerde correlatiefuncties worden gedefinieerd. Als X ( s ) bijvoorbeeld een willekeurige vector is met n elementen en Y (t) een vector met q elementen, dan wordt een n × q matrix van correlatiefuncties gedefinieerd met element ${\ displaystyle \ operatorname {corr}}$${\ displaystyle i, j}$

${\ displaystyle C_ {ij} (s, t) = \ operatornaam {corr} (X_ {i} (s), Y_ {j} (t)).}$

Wanneer n = q , wordt soms het spoor van deze matrix gefocust. Als de kansverdelingen enige symmetrie in de doelruimte hebben, dat wil zeggen symmetrieën in de waardenruimte van de stochastische variabele (ook wel interne symmetrieën genoemd ), dan heeft de correlatiematrix symmetrieën geïnduceerd. Evenzo, als er symmetrieën zijn van het ruimte (of tijd) domein waarin de willekeurige variabelen bestaan ​​(ook wel ruimtetijd symmetrieën genoemd ), dan zal de correlatiefunctie corresponderende ruimte- of tijdsymmetrieën hebben. Voorbeelden van belangrijke ruimtetijdsymmetrieën zijn -

• translationele symmetrie geeft C ( s , s ') = C ( s  -  s ') waarbij s en s 'moeten worden geïnterpreteerd als vectoren die coördinaten van de punten geven
• rotatiesymmetrie naast het bovenstaande geeft C ( s , s ') = C (| s  -  s ' |) waar | x | geeft de norm van de vector x aan (voor werkelijke rotaties is dit de Euclidische of 2-norm).

Vaak worden correlatiefuncties van hogere orde gedefinieerd. Een typische correlatiefunctie van orde n is (de punthaken vertegenwoordigen de verwachtingswaarde )

${\ displaystyle C_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {n}} (s_ {1}, s_ {2}, \ cdots, s_ {n}) = \ langle X_ {i_ {1}} ( s_ {1}) X_ {i_ {2}} (s_ {2}) \ cdots X_ {i_ {n}} (s_ {n}) \ rangle.}$

Als de willekeurige vector slechts één componentvariabele heeft, zijn de indices overbodig. Als er symmetrieën zijn, kan de correlatiefunctie worden opgesplitst in onherleidbare representaties van de symmetrieën - zowel interne als ruimtetijd. ${\ displaystyle i, j}$

Eigenschappen van kansverdelingen

Met deze definities is de studie van correlatiefuncties vergelijkbaar met de studie van kansverdelingen . Veel stochastische processen kunnen volledig worden gekenmerkt door hun correlatiefuncties; het meest opvallende voorbeeld is de klasse van Gauss-processen .

Waarschijnlijkheidsverdelingen die zijn gedefinieerd op een eindig aantal punten kunnen altijd worden genormaliseerd, maar wanneer deze worden gedefinieerd over continue spaties, is extra zorg geboden. De studie van dergelijke verdelingen begon met de studie van willekeurige wandelingen en leidde tot het idee van de Itō-calculus .

De Feynman- padintegraal in de Euclidische ruimte generaliseert dit naar andere problemen die van belang zijn voor de statistische mechanica . Elke kansverdeling die voldoet aan een voorwaarde op correlatiefuncties die reflectiepositiviteit wordt genoemd, leidt tot een lokale kwantumveldentheorie na Wick-rotatie naar Minkowski-ruimtetijd (zie Osterwalder-Schrader-axioma's ). De werking van renormalisatie is een gespecificeerde set van toewijzingen vanuit de ruimte van kansverdelingen naar zichzelf. Een kwantumveldentheorie wordt renormaliseerbaar genoemd als deze afbeelding een vast punt heeft dat een kwantumveldentheorie oplevert.

Zie ook

• Autocorrelatie
• Correlatie impliceert geen oorzakelijk verband
• Correlogram
• Covariantie-functie
• Pearson product-moment correlatiecoëfficiënt
• Correlatiefunctie (astronomie)
• Correlatiefunctie (statistische mechanica)
• Correlatiefunctie (kwantumveldentheorie)
• Wederzijdse informatie
• Beoordeel de vervormingstheorie
• Radiale distributiefunctie