Корреляционная функция - Correlation function

Визуальное сравнение свертки , взаимной корреляции и автокорреляции .

Корреляционная функция является функцией , которая дает статистическую корреляцию между случайными величинами , условными на пространственном или временное расстоянии между этими переменным. Если рассматривать функцию корреляции между случайными величинами, представляющими одну и ту же величину, измеренную в двух разных точках, то ее часто называют функцией автокорреляции , которая состоит из автокорреляций . Корреляционные функции различных случайных величин иногда называют функциями взаимной корреляции, чтобы подчеркнуть, что учитываются разные переменные, и потому, что они состоят из взаимных корреляций .

Функции корреляции являются полезным индикатором зависимостей как функции расстояния во времени или пространстве, и их можно использовать для оценки расстояния, необходимого между точками выборки, чтобы значения были эффективно некоррелированы. Кроме того, они могут составлять основу правил интерполяции значений в точках, для которых нет наблюдений.

Корреляционные функции, используемые в астрономии , финансовом анализе , эконометрике и статистической механике, различаются только конкретными случайными процессами, к которым они применяются. В квантовой теории поля существуют корреляционные функции по квантовым распределениям .

Определение

Для возможных различных случайных величин X ( s ) и Y ( t ) в разных точках s и t некоторого пространства корреляционная функция имеет вид

${\ Displaystyle С (s, t) = \ operatorname {corr} (X (s), Y (t)),}$

где описано в статье о корреляции . В этом определении предполагается, что стохастические переменные имеют скалярные значения. В противном случае можно определить более сложные корреляционные функции. Например, если X ( s ) - случайный вектор с n элементами, а Y (t) - вектор с q элементами, то матрица корреляционных функций n × q определяется с помощью element ${\ displaystyle \ operatorname {corr}}$${\ displaystyle i, j}$

${\ displaystyle C_ {ij} (s, t) = \ operatorname {corr} (X_ {i} (s), Y_ {j} (t)).}$

Когда n = q , иногда след этой матрицы фокусируется. Если вероятностные распределения имеют какие-либо симметрии целевого пространства, то есть симметрии в пространстве значений стохастической переменной (также называемые внутренними симметриями ), тогда корреляционная матрица будет иметь индуцированные симметрии. Точно так же, если существуют симметрии пространственной (или временной) области, в которой существуют случайные величины (также называемые пространственно-временными симметриями ), то корреляционная функция будет иметь соответствующие пространственные или временные симметрии. Примеры важных пространственно-временных симметрий:

• трансляционная симметрия дает C ( s , s ') = C ( s  -  s '), где s и s 'следует интерпретировать как векторы, дающие координаты точек
• вращательная симметрия в дополнение к вышесказанному дает C ( s , s ') = C (| s  -  s ' |), где | х | обозначает норму вектора x (для реальных вращений это евклидова или 2-норма).

Часто определяются корреляционные функции более высокого порядка. Типичная корреляционная функция порядка n (угловые скобки представляют собой математическое ожидание )

${\ displaystyle C_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {n}} (s_ {1}, s_ {2}, \ cdots, s_ {n}) = \ langle X_ {i_ {1}} ( s_ {1}) X_ {i_ {2}} (s_ {2}) \ cdots X_ {i_ {n}} (s_ {n}) \ rangle.}$

Если случайный вектор имеет только одну компонентную переменную, то индексы избыточны. Если есть симметрии, то корреляционная функция может быть разбита на неприводимые представления симметрий - как внутренних, так и пространственно-временных. ${\ displaystyle i, j}$

Свойства вероятностных распределений

С этими определениями изучение корреляционных функций похоже на изучение распределений вероятностей . Многие случайные процессы могут быть полностью охарактеризованы их корреляционными функциями; наиболее ярким примером является класс гауссовских процессов .

Распределения вероятностей, определенные для конечного числа точек, всегда можно нормализовать, но когда они определены в непрерывных пространствах, требуется особая осторожность. Изучение таких распределений началось с изучения случайных блужданий и привело к понятию исчисления Ито .

Интеграл по путям Фейнмана в евклидовом пространстве обобщает это на другие проблемы, представляющие интерес для статистической механики . Любое распределение вероятностей, которое подчиняется условию на корреляционные функции, называемое положительностью отражения, приводит к локальной квантовой теории поля после вращения Вика в пространство-время Минковского (см. Аксиомы Остервальдера-Шрадера ). Операция перенормировки - это заданный набор отображений из пространства вероятностных распределений в себя. Квантовая теория поля называется перенормируема , если это отображение имеет неподвижную точку , которая дает квантовую теорию поля.

Смотрите также

• Автокорреляция
• Корреляция не подразумевает причинно-следственной связи
• Коррелограмма
• Ковариационная функция
• Коэффициент корреляции произведение-момент Пирсона
• Корреляционная функция (астрономия)
• Корреляционная функция (статистическая механика)
• Корреляционная функция (квантовая теория поля)
• Взаимная информация
• Теория искажения скорости
• Функция радиального распределения