Tensorfält - Tensor field

I matematik och fysik , en tensor fältdelar en tensor till varje punkt av en matematisk utrymme (typiskt en euklidiska rymden eller grenröret ). Tensorfält används i differentialgeometri , algebraisk geometri , allmän relativitet , vid analys av spänning och belastning i material och i många tillämpningar inom fysik . Eftersom en tensor är en generalisering av en skalär (ett rent tal som representerar ett värde, till exempel hastighet) och en vektor (ett rent tal plus en riktning, som hastighet), är ett tensorfält en generalisering av ett skalfält eller vektorfält som tilldelar en skalare eller vektor till varje rymdpunkt.

Många matematiska strukturer som kallas "tensorer" är tensorfält. Till exempel Riemann krökning tensor är inte en tensor, som namnet antyder, men en tensor fält : Den är uppkallad efter Bernhard Riemann , och associerar en tensor till varje punkt i en Riemannmångfald , vilket är en topologisk utrymme .

Geometrisk introduktion

Intuitivt visualiseras ett vektorfält bäst som en "pil" som är fäst vid varje punkt i en region, med variabel längd och riktning. Ett exempel på ett vektorfält på ett krökt utrymme är en väderkarta som visar horisontell vindhastighet vid varje punkt på jordens yta.

Den allmänna idén om tensorfält kombinerar kravet på rikare geometri - till exempel en ellipsoid som varierar från punkt till punkt, när det gäller en metrisk tensor - med tanken att vi inte vill att vår uppfattning ska bero på den specifika metoden för kartlägga ytan. Det bör existera oberoende av latitud och longitud, eller vilken särskild "kartografisk projektion" vi använder för att införa numeriska koordinater.

Via koordinatövergångar

Efter Schouten (1951) och McConnell (1957) bygger konceptet på en tensor på ett begrepp om en referensram (eller koordinatsystem ), som kan fixas (i förhållande till någon bakgrundsreferensram), men i allmänhet kan det tillåtas att varierar inom någon klass av transformationer av dessa koordinatsystem.

Till exempel kan koordinater som tillhör det n -dimensionella verkliga koordinatutrymmet utsättas för godtyckliga affinomvandlingar : ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

${\ displaystyle x^{k} \ mapsto A_ {j}^{k} x^{j}+a^{k}}$

(med n -dimensionella index, summering underförstått ). En kovariant vektor, eller covector, är ett system av funktioner som transformeras under denna affin transformation av regeln ${\ displaystyle v_ {k}}$

${\ displaystyle v_ {k} \ mapsto v_ {i} A_ {k}^{i}.}$

Listan över kartesiska koordinatbaserade vektorer transformeras som en kovektor, sedan under affin transformationen . En kontravariant vektor är ett system av funktioner för koordinaterna som under en sådan affin transformation genomgår en transformation ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {k}}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {k} \ mapsto A_ {k}^{i} \ mathbf {e} _ {i}}$${\ displaystyle v^{k}}$

${\ displaystyle v^{k} \ mapsto (A^{-1}) _ {j}^{k} v^{j}.}$

Detta är just det krav som krävs för att säkerställa att kvantiteten är ett invariant objekt som inte är beroende av det valda koordinatsystemet. Mer allmänt har en tensor av valens ( p , q ) p nedre index och q övervåningsindex, varvid transformationslagen är ${\ displaystyle v^{k} \ mathbf {e} _ {k}}$

${\ displaystyle {T_ {i_ {1} \ cdots i_ {p}}}^{j_ {1} \ cdots j_ {q}} \ mapsto A_ {i_ {1}}^{i '_ {1}} \ cdots A_ {i_ {p}}^{i '_ {p}} {T_ {i' _ {1} \ cdots i '_ {p}}}^{j' _ {1} \ cdots j '_ { q}} (A^{-1}) _ {j '_ {1}}^{j_ {1}} \ cdots (A^{-1}) _ {j' _ {q}}^{j_ { q}}.}$

Konceptet med ett tensorfält kan erhållas genom att specialisera de tillåtna koordinattransformationerna för att vara smidiga (eller differentierbara , analytiska , etc). Ett kovektorfält är en funktion av koordinaterna som transformeras av Jacobian av övergångsfunktionerna (i den givna klassen). På samma sätt transformeras ett kontravariant vektorfält av det omvända Jacobian. ${\ displaystyle v_ {k}}$${\ displaystyle v^{k}}$

Tensorbuntar

Ett tensorknippe är ett fiberknippe där fibern är en tensorprodukt av valfritt antal kopior av tangentutrymmet och/eller cotangentutrymmet i basutrymmet, vilket är en grenrör. Som sådan är fibern ett vektorutrymme och tensor -bunten är en speciell typ av vektorbunt .

Vektorn bunt är en naturlig uppfattning om "vektorrum kontinuerligt (eller jämnt) i beroende av parametrar" - parametrarna är de punkter i ett grenrör M . Till exempel kan ett vektorutrymme med en dimension beroende på en vinkel se ut som en Möbius -remsa eller alternativt som en cylinder . Med tanke på en vektorbunt V över M kallas motsvarande fältbegrepp en sektion av bunten: för m som varierar över M , ett val av vektor

v _m i V _m ,

där V _m är vektorutrymmet "vid" m .

Eftersom tensorproduktkonceptet är oberoende av val av grund, är det rutinmässigt att ta tensorprodukten av två vektorglasar på M. Från och med tangentbunten (bunten med tangentutrymmen) överförs hela apparaten som förklaras vid komponentfri behandling av tensorer på ett rutinmässigt sätt-igen oberoende av koordinater, som nämnts i inledningen.

Vi kan därför ge en definition av tensorfält , nämligen som en sektion av någon tensorbunt . (Det finns vektorbuntar som inte är tensor -buntar: Möbius -bandet till exempel.) Detta är då garanterat geometriskt innehåll, eftersom allt har gjorts på ett inneboende sätt. Mer exakt tilldelar ett tensorfält till en given punkt i grenröret en tensor i utrymmet

${\ displaystyle V \ otimes \ cdots \ otimes V \ otimes V^{*} \ otimes \ cdots \ otimes V^{*},}$

där V är tangentutrymmet vid den punkten och V ^∗ är cotangentutrymmet . Se även tangentbunt och cotangentbunt .

Med tanke på två tensorbuntar E → M och F → M kan en linjär karta A : Γ ( E ) → Γ ( F ) från utrymmet i sektioner av E till sektioner av F betraktas som en tensorsektion av om och endast om det uppfyller A ( fs ) = fA ( s ), för varje sektion s i Γ ( E ) och varje jämn funktion f på M . Sålunda en tensor avsnitt är inte bara en linjär karta på vektorrummet av sektioner, men en C ^∞ ( M ) -linear karta på modulen av sektioner. Den här egenskapen används för att till exempel kontrollera att även om Lie -derivatet och kovariansderivatet inte är tensorer, är torsions- och krökningstensorerna byggda från dem. ${\ displaystyle \ scriptstyle E^{*} \ otimes F}$

Notation

Notationen för tensorfält kan ibland vara förvirrande lik notationen för tensorutrymmen. Således kan tangentbunten TM = T ( M ) ibland skrivas som

${\ displaystyle T_ {0}^{1} (M) = T (M) = TM}$

att betona att tangentknippe är intervallet utrymmet av de (1,0) tensor fält (dvs vektorfält) på fördelaren M . Detta bör inte förväxlas med den mycket likartade notationen

${\ displaystyle T_ {0}^{1} (V)}$;

I det senare fallet har vi bara en tensor utrymme, medan det i den förstnämnda har vi en tensor utrymme definieras för varje punkt i grenröret M .

Lockigt (script) bokstäver används ibland för att beteckna uppsättningen av oändligt-differentier Tensor fälten på M . Således,

${\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {n}^{m} (M)}$

är sektionerna av ( m , n ) tensor-bunten på M som är oändligt differentierbara. Ett tensorfält är ett element i denna uppsättning.

Den C ^∞ ( M ) modul förklaring

Det finns en annan mer abstrakt (men ofta användbart) sätt att karakterisera Tensor fält på ett grenrör M , vilket gör Tensor fält i ärliga tensorer (dvs. enskilda multilinjär avbildningar), men av en annan typ (även om detta är inte vanligtvis varför man säger ofta " tensor "när man verkligen betyder" tensorfält "). Först kan vi betrakta uppsättningen av alla släta (C ^∞ ) vektorfält på M , (se avsnittet om notation ovan) som ett enda mellanslag - en modul över ringen av släta funktioner, C ^∞ ( M ), med punktvis skalär multiplikation. Begreppen multilinearitet och tensorprodukter sträcker sig lätt till moduler över vilken kommutativ ring som helst . ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} (M)}$

Som ett motiverande exempel, överväga utrymmet för släta kovektorfält ( 1-formulär ), också en modul över de släta funktionerna. Dessa verkar på släta vektorfält för att ge smidiga funktioner genom punktvis utvärdering, nämligen med tanke på ett kovektorfält ω och ett vektorfält X definierar vi ${\ displaystyle {\ mathcal {T}}^{*} (M)}$

( ω ( X )) ( p ) = ω ( p ) ( X ( p )).

På grund av att allt inblandat är punktvis är åtgärden av ω på X en C ^∞ ( M ) -linjär karta, det vill säga

( ω ( fX )) ( p ) = f ( p ) ω ( p ) ( X ( p )) = ( fω ) ( p ) ( X ( p )) = ( fω ( X )) ( p )

för alla p i M och slät funktion f . Således kan vi betrakta kuvektorfält inte bara som sektioner av cotangent -bunten, utan också linjära mappningar av vektorfält till funktioner. Genom den dubbel-dubbla konstruktionen kan vektorfält på samma sätt uttryckas som mappningar av kovektorfält till funktioner (nämligen kan vi börja "inbyggt" med kovektorfält och arbeta därifrån).

I en fullständig parallell till konstruktionen av vanliga enstaka tensorer (inte tensorfält!) På M som flerlinjära kartor på vektorer och kovektorer kan vi betrakta allmänna ( k , l ) tensorfält på M som C ^∞ ( M ) -flerlinjära kartor definierade på l kopior av och k kopior av till C ^∞ ( M ). ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} (M)}$${\ displaystyle {\ mathcal {T}}^{*} (M)}$

Nu, med tanke på godtycklig mappning T från en produkt av k kopior av och l kopior av till C ^∞ ( M ), visar det sig att det härrör från ett tensorfält på M om och bara om det är flerlinjigt över C ^∞ ( M ) . Således uttrycker denna typ av multilinearitet implicit det faktum att vi verkligen har att göra med ett punktvis definierat objekt, dvs. och 1-former samtidigt. ${\ displaystyle {\ mathcal {T}}^{*} (M)}$${\ displaystyle {\ mathcal {T}} (M)}$

Ett vanligt exempel tillämpning av denna allmänna regel är att visa att den Levi-Civita anslutning , som är en avbildning av glatta vektorfält som tar ett par av vektorfält till ett vektorfält, inte definierar en tensor fält på M . Detta beror på att det bara är R -linjärt i Y (i stället för fullständig C ^∞ ( M ) -linearitet uppfyller det Leibniz -regeln, )). Det måste dock understrykas att även om det inte är ett tensorfält, kvalificerar det fortfarande som ett geometriskt objekt med en komponentfri tolkning. ${\ displaystyle (X, Y) \ mapsto \ nabla _ {X} Y}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {X} (fY) = (Xf) Y+f \ nabla _ {X} Y}$

Ansökningar

Krökningstensorn diskuteras i differentialgeometri och spänningsenergitensorn är viktig i fysiken, och dessa två tensorer är relaterade till Einsteins teori om allmän relativitet .

Vid elektromagnetism kombineras de elektriska och magnetiska fälten till ett elektromagnetiskt tensorfält .

Det är värt att notera att differentialformer , som används för att definiera integration på grenrör, är en typ av tensorfält.

Tensorberäkning

Inom teoretisk fysik och andra områden ger differentialekvationer i form av tensorfält ett mycket allmänt sätt att uttrycka relationer som både är geometriska till sin natur (garanterad av tensor -naturen) och konventionellt kopplade till differentialräkning . Även för att formulera sådana ekvationer krävs en ny uppfattning, det kovarianta derivatet . Detta hanterar formuleringen av variation av ett tensorfält längs ett vektorfält . Det ursprungliga absoluta differentialberäkningsbegreppet , som senare kallades tensorkalkyl , ledde till isoleringen av det geometriska konceptet för anslutning .

Vridning av ett linjebunt

En förlängning av tensor fält idén inkorporerar en extra linje bunt L på M . Om W är den tensorprodukt bunt av V med L , då W är en bunt av vektorrum av precis samma dimension som V . Detta gör att man kan definiera begreppet tensortäthet , en "vriden" typ av tensorfält. En tensor densitet är det speciella fall då L är knippet av densiteter på ett grenrör , nämligen determinanten knippet av cotangens knippet . (För att vara strikt noggrann bör man också tillämpa det absoluta värdet på övergångsfunktionerna - detta gör liten skillnad för ett orienterbart grenrör .) För en mer traditionell förklaring se artikeln om tensortäthet .

Ett särdrag hos knippet av densiteter (återigen under antagande orienterbarhet) L är att L ^s är väldefinierad för riktiga siffervärden för s ; detta kan avläsas från övergångsfunktionerna, som tar strikt positiva verkliga värden. Detta betyder till exempel att vi kan ta en halvdensitet , fallet där s = ½. I allmänhet kan vi ta sektioner av W , tensor produkten av V med L ^s , och överväga tensor densitets fält med vikt s .

Halvtätheten tillämpas inom områden som att definiera integrala operatörer på grenrör och geometrisk kvantisering .

Det platta fodralet

När M är ett euklidiskt utrymme och alla fält anses vara invarianta genom översättningar av vektorerna för M , kommer vi tillbaka till en situation där ett tensorfält är synonymt med en tensor "sitter vid ursprunget". Detta gör ingen stor skada och används ofta i applikationer. Tillämpat på Tensor densiteter, det gör göra skillnad. Paketet med densiteter kan inte på allvar definieras "vid en punkt"; och därför är en begränsning av den moderna matematiska behandlingen av tensorer att tensortätheten definieras på en rondell.

Cykler och kedjeregler

Som en avancerad förklaring av tensorkonceptet kan man tolka kedjeregeln i det flervariabla fallet, som tillämpas för att koordinera förändringar, också som kravet på självkonsistenta begrepp om tensor som ger upphov till tensorfält.

Abstrakt kan vi identifiera kedjeregeln som en 1- cykel . Det ger den konsistens som krävs för att definiera tangentbunten på ett inneboende sätt. De andra vektorbuntarna av tensorer har jämförbara samcykler, som kommer från att applicera funktionella egenskaper hos tensorkonstruktioner på själva kedjeregeln; det är därför de också är inneboende (läs, 'naturliga') begrepp.

Det som vanligtvis talas om som det "klassiska" tillvägagångssättet för tensorer försöker läsa detta bakåt - och är därför en heuristisk, post hoc -strategi snarare än verkligen en grundläggande. Implicit för att definiera tensorer genom hur de transformeras under en koordinatförändring är den typ av självkonsistens som cykeln uttrycker. Konstruktionen av tensortätheten är en "vridning" på cykelnivån. Geometers har inte varit i något tvivel om geometriska natur Tensor mängder ; denna typ av härkomstargument motiverar abstrakt hela teorin.

Generaliseringar

Tensortätheter

Konceptet med ett tensorfält kan generaliseras genom att överväga objekt som förändras annorlunda. Ett objekt som omvandlas som ett vanligt tensorfält under koordinattransformationer, förutom att det också multipliceras med determinanten för Jacobian för den inversa koordinattransformationen till w -effekten, kallas en tensortäthet med vikt w . I språket för multilinjär algebra kan man alltid tänka på tensortätheten som flerlinjära kartor som tar sina värden i ett densitetspaket, såsom (1 -dimensionellt) utrymme för n -former (där n är rymdets dimension), som motsätter sig att deras värden på bara R . Högre "vikter" motsvarar då bara att ta ytterligare tensorprodukter med detta utrymme i sortimentet.

Ett specialfall är skalartätheten. Skalär 1-densiteter är särskilt viktiga eftersom det är vettigt att definiera deras integral över ett grenrör. De förekommer till exempel i Einstein – Hilbert -handlingen i allmän relativitet. Det vanligaste exemplet på en skalär 1-densitet är volymelementet , som i närvaro av en metrisk tensor g är kvadratroten av dess determinant i koordinater, betecknade . Den metriska tensorn är en kovariant tensor av ordning 2, och dess skalor bestäms därför av kvadraten i koordinatövergången: ${\ displaystyle {\ sqrt {\ det g}}}$

${\ displaystyle \ det (g ') = \ left (\ det {\ frac {\ partiell x} {\ partiell x'}} \ höger)^{2} \ det (g),}$

som är transformationslagen för en skalär densitet av vikt +2.

Mer allmänt är varje tensortäthet produkten av en vanlig tensor med en skalär densitet av lämplig vikt. I språket av vektorknippe , determinanten bunt av den tangentknippe är en linje bunt som kan användas för att 'twist' andra knippen w gånger. Även om lokalt den mer allmänna omvandlingslagen verkligen kan användas för att känna igen dessa tensorer, så uppstår en global fråga som återspeglar att man i transformationslagen kan skriva antingen den jakobiska determinanten eller dess absoluta värde. Icke-integrerade krafter hos de (positiva) övergångsfunktionerna i bunten av densiteter är vettiga, så att vikten av en densitet i den meningen inte begränsas till heltalsvärden. Begränsa ändringar av koordinater med positiv Jacobian determinant är möjlig på orienterbara grenrör , eftersom det finns ett konsekvent globalt sätt att eliminera minustecknen; men annars är linjebunten av densiteter och linjebunten av n -former distinkta. För mer information om den inneboende betydelsen, se densitet på ett grenrör .

Se även

• Jetbunt
• Ricci calculus-  Tensor index notation för tensorbaserade beräkningar
• Spinor fält

Anteckningar

Referenser

• Frankel, T. (2012), The Geometry of Physics (3: e upplagan) , Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-60260-1.
• Lambourne [Open University], RJA (2010), relativitet, gravitation och kosmologi , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-13138-4.
• Lerner, RG ; Trigg, GL (1991), Encyclopaedia of Physics (andra upplagan) , VHC Publishers.
• McConnell, AJ (1957), Applications of Tensor Analysis , Dover Publications, ISBN 9780486145020.
• McMahon, D. (2006), Relativity DeMystified , McGraw Hill (USA), ISBN 0-07-145545-0.
• C. Misner, KS Thorne, JA Wheeler (1973), Gravitation , WH Freeman & Co, ISBN 0-7167-0344-0CS1 -underhåll: flera namn: författarlista ( länk ).
• Parker, CB (1994), McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (andra upplagan) , McGraw Hill, ISBN 0-07-051400-3.
• Schouten, Jan Arnoldus (1951), Tensoranalys för fysiker , Oxford University Press.
• Steenrod, Norman (5 april 1999). Fiberpakets topologi . Princeton Mathematical Series. 14 . Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00548-5. OCLC  40734875 .