Переносимое целое число - Transposable integer

Цифры некоторых конкретных целых чисел переставляются или сдвигаются циклически, когда они умножаются на число n . Примеры:

142857 × 3 = 428571 (циклический сдвиг на одну позицию влево)
142857 × 5 = 714285 (циклический сдвиг на одно место вправо)
128205 × 4 = 512820 (циклический сдвиг на одну позицию вправо)
076923 × 9 = 692307 (циклический сдвиг на два места влево)

Эти конкретные целые числа, известные как переносимые целые числа , могут быть, но не всегда, циклическими числами . Характеристика таких чисел может быть выполнена с использованием повторяющихся десятичных знаков (и, следовательно, связанных дробей) или напрямую.

Общее

Для любого целого числа, взаимно простого с 10, его обратным значением является повторяющееся десятичное число без каких-либо неповторяющихся цифр. Например , ⁺¹ / ₊₁₄₃ = 0. 006993 006993 006993 ...

Хотя выражение одной серии с винкулумом наверху является адекватным, цель приведенного выше выражения - показать, что шесть циклических перестановок 006993 могут быть получены из этого повторяющегося десятичного числа, если мы выберем шесть последовательных цифр из повторяющегося десятичного разделителя, начиная с разных цифры.

Это показывает, что циклические перестановки каким-то образом связаны с повторяющимися десятичными знаками и соответствующими дробями.

Наибольший общий делитель (GCD) между любой циклической перестановкой в м -значных целом и 10 ^м - 1 постоянен. Выражаясь формулой,

{\ displaystyle \ gcd \ left (N, 10 ^ {m} -1 \ right) = \ gcd \ left (N_ {c}, 10 ^ {m} -1 \ right),}

где N - m- значное целое число; и N _с какой - либо циклической перестановкой N .

Например,

   gcd(091575, 999999) = gcd(3²×5²×11×37, 3³×7×11×13×37)
                       = 3663
                       = gcd(915750, 999999)
                       = gcd(157509, 999999)
                       = gcd(575091, 999999)
                       = gcd(750915, 999999)
                       = gcd(509157, 999999)

Если N является m- значным целым числом, число N _c , полученное циклическим сдвигом N влево, можно получить из:

{\ Displaystyle N_ {c} = 10N-d \ left (10 ^ {m} -1 \ right), \,}

где d - первая цифра N, а m - количество цифр.

Это объясняет вышеуказанный общий gcd, и это явление верно для любой базы, если 10 заменить на b , базу.

Таким образом, циклические перестановки связаны с повторяющимися десятичными знаками, соответствующими дробями и делителями 10 ^м -1. Например, дроби, связанные с вышеуказанными циклическими перестановками, таковы:

⁰⁹¹⁵⁷⁵ / ₉₉₉₉₉₉ ,^+915750 / ₉₉₉₉₉₉ ,¹⁵⁷⁵⁰⁹ / ₉₉₉₉₉₉ ,⁵⁷⁵⁰⁹¹ / ₉₉₉₉₉₉ ,^{750 915} / ₉₉₉₉₉₉ , и^{пятьсот девять тысяч сто пятьдесят-семь} / ₉₉₉₉₉₉ .

Уменьшенные до самых низких значений с использованием общего gcd, они:

²⁵ / ₂₇₃ ,²⁵⁰ / ₂₇₃ ,⁴³ / ₂₇₃ ,¹⁵⁷ / ₂₇₃ ,²⁰⁵ / ₂₇₃ и¹³⁹ / ₂₇₃ .

То есть, эти дроби, если они выражены наименьшим числом , имеют один и тот же знаменатель. Это верно для циклических перестановок любого целого числа.

Метод фракции

Интегральный множитель

Под интегральным множителем понимается, что множитель n является целым числом:

Целое число X циклически сдвигается вправо на k позиций, когда оно умножается на целое число n . Х затем повторяющиеся цифры ¹ / _F , в результате чего Р является Р ₀ = п 10 ^к - 1 ( F ₀ является взаимно просты до 10), или фактор F ₀ ; исключая любые значения F , не превышающие n .
Целое число X циклически сдвигается влево на k позиций, когда оно умножается на целое число n . Х затем повторяющиеся цифры ¹ / _F , в результате чего Р является Р ₀ = 10 ^к - п , или фактор F ₀ ; исключая любые значения F , не превышающие n и не взаимно простые с 10.

Это необходимо для F , чтобы быть взаимно прост до 10 , с тем , что ¹ / _F является повторение десятичного без каких - либо предшествующих неповторяющихся цифр (см нескольких секций Повторяя десятичный ). Если есть цифры, не входящие в точку, то соответствующего решения нет.

Для этих двух случаев, кратные X , т.е. ( J X ) также являются решениями при условии , что целое число I удовлетворяет условию ^{п J} / _F <1. Чаще всего это удобно выбрать наименьшее F , который соответствует выше. Решения можно выразить формулой:

{\ displaystyle X = j {\ frac {10 ^ {p} -1} {F}}}

где р является длина периода ¹ / _F ; и F является множителем F _0, взаимно простым с 10.

Например, F ₀ = 1260 = 2 ² × 3 ² × 5 × 7. Множители, исключая 2 и 5, преобразовываются в F = 3 ² × 7 = 63. В качестве альтернативы вычеркните все конечные нули из 1260, чтобы получилось 126, затем разделите это на 2 (или 5) итеративно, пока частное не перестанет делиться на 2 (или 5). Результат также F = 63.

Чтобы исключить целые числа, начинающиеся с нулями решений, выберите целое число J такое , что ^J / _F > ⁺¹ / ₁₀ , т.е. J > ^F / ₁₀ .

При n > F решения нет .

Дробный множитель

Целое число , Х сдвиг влево циклически K позиции , когда она умножается на долю ^п / _сек . Х затем повторяющиеся цифры ^с / _F , в результате чего Р является Р ₀ = S 10 ^к - п , или фактор F ₀ ; и F должно быть взаимно просто с 10.

Для этого третьего случая, кратные X , т.е. ( J X ) снова решения , но условие будет выполнено для целого J является то , что ^{п J} / _F <1. Опять же удобно выбрать наименьшее F , который соответствует выше.

Решения можно выразить формулой:

{\ displaystyle X = js {\ frac {10 ^ {p} -1} {F}}}

где p определяется аналогично; и F делают взаимно простым с 10 тем же способом, что и раньше.

Чтобы исключить целые числа, начинающиеся с нулями решений, выберите целое число J такое , что ^{J s} / _F > ¹ / ₁₀ , т.е. J > ^F / _{10 с} .

Опять же, если ^{Дж с} / _F > 1, нет никакого решения.

Прямое представительство

Подход прямой алгебры к приведенным выше случаям интегрального множителя приводит к следующей формуле:

${\ displaystyle X = D {\ frac {10 ^ {m} -1} {n10 ^ {k} -1}},}$

где т есть число цифр X и D , то к -значное число смещается от нижнего конца X в высоком конце п X , удовлетворяет D <10 ^K .

Если цифры не должны иметь ведущие нули, то п 10 ^{к - 1} ≤ D .
${\ displaystyle X = D {\ frac {10 ^ {m} -1} {10 ^ {k} -n}},}$ $X = D \ frac {10 ^ m-1} {10 ^ kn},$
где т есть число цифр X и D , то к -значное число смещается от высокого конца X в нижний конец п X , удовлетворяет:
1. ${\ displaystyle D <{\ frac {10 ^ {k}} {n}} - 1,}$
2. и 10-часть (продукт из слагаемых , соответствующих простых чисел 2 и 5 факторизации ) 10 ^к - п делит D .
  Десятичная часть целого числа t часто сокращается ${\ displaystyle \ operatorname {gcd} \ left (10 ^ {\ infty}, t \ right).}$
Если цифры не должны иметь ведущие нули, то 10 ^{K - 1} ≤ D .

Циклическая перестановка умножением

Деление 1 на 7 в столбик дает:

        0.142857...
    7 ) 1.000000
         .7
          3
          28
           2
           14
            6
            56
             4
             35
              5
              49
               1

На последнем шаге снова появляется 1 как остаток. Циклические остатки равны {1, 3, 2, 6, 4, 5}. Мы перепишем частные с соответствующими дивидендами / остатками над ними на всех этапах:

    Dividend/Remainders    1 3 2 6 4 5
    Quotients              1 4 2 8 5 7

а также обратите внимание, что:

¹ ⁄ ₇ = 0,142857 ...
³ ⁄ ₇ = 0,428571 ...
² ⁄ ₇ = 0,285714 ...
⁶ ⁄ ₇ = 0,857142 ...
⁴ ⁄ ₇ = 0,571428 ...
⁵ ⁄ ₇ = 0,714285 ...

Таким образом, наблюдая остатки на каждом шаге, мы можем выполнить желаемую циклическую перестановку умножением. Например,

Целое число 142857, соответствующее остатку 1, переставляется в 428571 при умножении на 3, соответствующий остаток от последнего.
Целое число 142857, соответствующее остатку 1, переставляется в 857142 при умножении на 6, соответствующий остаток от последнего.
Целое число 857142, что соответствует 6 остатка, переставляет до 571428 при умножении на ⁵ / ₆ ; т.е. делится на 6 и умножается на 5, получается соответствующий остаток от последнего.

Таким образом, может выполняться циклический сдвиг влево или вправо на любое количество позиций.

Что менее важно, эту технику можно применить к любому целому числу для циклического сдвига вправо или влево на любое заданное количество мест по следующей причине:

Каждую повторяющуюся десятичную дробь можно выразить как рациональное число (дробь).
Каждое целое число, при добавлении с десятичной точкой перед и сцепляются с собой бесконечное число раз, можно преобразовать в дробь, например , мы можем преобразовать 123456 таким образом , чтобы 0.123456123456 ..., который , таким образом , могут быть преобразованы в фракцию ^{123 456} / ₉₉₉₉₉₉ . Эту дробь можно еще больше упростить, но здесь этого делать не будем.
Чтобы переставить целое число 123456 до 234561, все , что нужно сделать , это умножить 123456 на ²³⁴⁵⁶¹ / ₁₂₃₄₅₆ . Это выглядит как обман , но если ²³⁴⁵⁶¹ / ₁₂₃₄₅₆ представляет собой целое число (в данном случае это не так ), миссия завершена.

Доказательство формулы для циклического переключения вправо

Целое число X циклически сдвигается вправо на k позиций, когда оно умножается на целое число n . Докажите его формулу.

Доказательство

Сначала узнайте, что X - это повторяющиеся цифры повторяющейся десятичной дроби , которая всегда имеет циклическое поведение при умножении. Тогда целое число X и его кратное n X будут иметь следующие отношения:

Целое число , Х представляет повторяющиеся цифры фракции ¹ / _F , скажем , д _р д _р-1 ... d ₃ d ₂ d ₁ , где d _р , д _р-1 , ..., d ₃ , d ₂ и каждый d ₁ представляет собой цифру, а p - количество цифр.
Кратно п х , таким образом , повторяющиеся цифры дроби ^п / _Р , скажем д _к д _к-1 ... d ₃ d ₂ d ₁ d _р д _р-1 ... d _{к + 2} д _{к + 1} , представляющий результаты после правого циклического сдвига k позиций.
Р должны быть взаимно просты до 10 , так что при ¹ / _Р выражается в десятичной системе нет никаких предшествующих неповторяющихся цифр в противном случае повторения десятичные не не обладают циклическим поведением в умножении.
Если первый остаток берется п , то 1 должен быть ( к + 1) -й остаток в конечном делении на ^п / _F для того , чтобы эта циклическая перестановка иметь место.
Для того чтобы n × 10 ^k = 1 (mod F ), тогда F должно быть либо F ₀ = ( n × 10 ^k - 1), либо множителем F ₀ ; но исключая любые значения, не превышающие n, и любое значение, имеющее нетривиальный общий множитель с 10, как показано выше.

Это завершает доказательство.

Доказательство формулы для циклической работы левой смены

Целое число X циклически сдвигается влево на k позиций, когда оно умножается на целое число n . Докажите его формулу.

Доказательство

Сначала узнайте, что X - это повторяющиеся цифры повторяющейся десятичной дроби , которая всегда имеет циклическое поведение при умножении. Тогда целое число X и его кратное n X будут иметь следующие отношения:

Целое число , Х представляет повторяющиеся цифры фракции ¹ / _F , скажем , д _р д _р-1 ... d ₃ d ₂ d ₁ .
Кратно п х , таким образом , повторяющиеся цифры дроби ^п / _Р , скажем , д _р-к д _п-к-1 ... d ₃ d ₂ d ₁ d _р д _р-1 ... d _{п-к + 1} ,

который представляет результаты после циклического сдвига влево на k позиций.

Р должны быть взаимно просты до 10 таким образом , что ¹ / _Р имеет никакого предшествующего неповторяющиеся цифры в противном случае повторения десятичное не обладает циклическим поведением при умножении.
Если первый остаток принимается за 1 , то п должно быть ( к + 1) -й остаток в конечном делении на ¹ / _F для того , чтобы эта циклическая перестановка иметь место.
Для того чтобы 1 × 10 ^k = n (режим F ), тогда F должно быть либо F ₀ = (10 ^k - n ), либо коэффициентом F ₀ ; но исключая любое значение, не превышающее n , и любое значение, имеющее нетривиальный общий множитель с 10, как было установлено выше.

Это завершает доказательство. Доказательство для нецелого множителя , таких как ^п / _с может быть получено аналогичным образом , и здесь не документируется.

Циклический сдвиг целого числа

Перестановки могут быть:

Циклическое переключение вправо на одну позицию ( паразитные числа );
Циклическое переключение вправо на двойное положение;
Циклическое переключение вправо на любое количество позиций;
Циклическое переключение влево на одну позицию;
Циклическое переключение влево на двойное положение; и
Циклическое переключение влево на любое количество позиций

Паразитарные числа

Когда паразитное число умножается на n, оно не только демонстрирует циклическое поведение, но и перестановка такова, что последняя цифра паразитного числа теперь становится первой цифрой кратного. Например, 102564 х 4 = 410256. Следует отметить , что это 102564 повторяющиеся цифры ⁴ / ₃₉ и 410256 повторяющиеся цифры ¹⁶ / ₃₉ .

Циклическое переключение вправо на двойное положение

Целое число X циклически сдвигается вправо на двойные позиции, когда оно умножается на целое число n . Х затем повторяющиеся цифры ¹ / _F , в результате чего $Р$ = п × 10 ² - 1; или его фактор; но исключая значения , для которых ¹ / _Р имеет длину периода , разделяющую 2 (или, что то же самое, менее 3); и $F$ должно быть взаимно просто с 10.

Чаще всего удобно выбирать самую маленькую $F,$ которая подходит к вышеперечисленным.

Резюме результатов

Следующее умножение перемещает последние две цифры каждого исходного целого числа в первые две цифры и сдвигает все остальные цифры вправо:

Множитель n	Решение	Представлена	Другие решения
2	0050251256 2814070351 7587939698 4924623115 5778894472 3618090452 2613065326 6331658291 4572864321 608040201	¹ / ₁₉₉ х 2 =² / ₁₉₉ период = 99, т.е. 99 повторяющихся цифр.	² / ₁₉₉ ,³ / ₁₉₉ , ...,⁺⁹⁹ / ₁₉₉
3	0033444816 0535117056 8561872909 6989966555 1839464882 9431438127 090301	¹ / ₂₉₉ х 3 =³ / ₂₉₉ период = 66 299 = 13 × 23	² / ₂₉₉ ,⁺³ / ₂₉₉ , ...,⁺⁹⁹ / ₂₉₉ некоторые особые случаи показаны ниже
3	076923	¹ / ₁₃ х 3 =³ / ₁₃ период = 6	² / ₁₃ ,³ / ₁₃ ,⁴ / ₁₃
3	0434782608 6956521739 13	¹ / ₂₃ х 3 =³ / ₂₃ период = 22	² / ₂₃ ,⁺³ / ₂₃ , ...,⁺⁷ / ₂₃
4	0025062656 64160401	¹ / ₃₉₉ х 4 =⁴ / ₃₉₉ период = 18 399 = 3 × 7 × 19	² / ₃₉₉ ,³ / ₃₉₉ , ...,⁹⁹ / ₃₉₉ некоторые особые случаи показаны ниже
4	142857	¹ / ₇ х 4 =⁴ / ₇ период = 6	-
4	0526315789 47368421	¹ / ₁₉ х 4 =⁴ / ₁₉ период = 18	² / ₁₉ ,³ / ₁₉ ,⁴ / ₁₉
5	( циклическое число с периодом 498)	¹ / ₄₉₉ х 5 =⁵ / ₄₉₉ 499 - простое число с полным повторением	² / ₄₉₉ ,⁺³ / ₄₉₉ , ...,⁹⁹ / ₄₉₉

Обратите внимание, что:

299 = 13 х 23, и период ¹ / ₂₉₉ точно определяется по формуле, LCM (6, 22) = 66, в соответствии с Повторяя десятичной # обобщении .
399 = 3 х 7 х 19, и период ¹ / ₃₉₉ точно определяется по формуле, LCM (1, 6, 18) = 18.

Есть много других возможностей.

Циклическое переключение влево на одну позицию

Проблема: целое число X сдвиг влево циклически одной позиции , когда она умножается на 3. Найдите X .

Решение: сначала узнайте, что X - это повторяющиеся цифры повторяющейся десятичной дроби , которая всегда проявляет интересное циклическое поведение при умножении. Тогда целое число X и его кратное будут иметь следующие отношения:

Целое число , Х представляет повторяющиеся цифры фракции ¹ / _F , скажем AB *** .
Множественное Таким образом , повторяющиеся цифры фракции ³ / _F , скажем , б *** и .
Для того , чтобы этой циклической перестановкой иметь место, то 3 должен быть следующий остаток в конечном делении на ¹ / _F . Таким образом, $F$ должно быть 7, поскольку 1 × 10 ÷ 7 дает остаток 3.

Это дает следующие результаты:

X = повторяющиеся цифры ¹ / ₇

= 142857, и

множественные = 142857 × 3 = 428571, повторяющиеся цифры ³ / ₇

Другое решение представлено ² / ₇ х 3 = ⁶ / ₇ :

285714 х 3 = 857142

Других решений нет, потому что:

Целое число п должен быть последующим остатком в течение длительного разделения фракции ¹ / _F . Принимая во внимание , что п = 10 - Р и Р взаимно прост с 10 для того , чтобы ¹ / _F , чтобы быть повторением десятичное, то п должно быть не менее 10.
Для п = 2, F должна быть не менее 10 - 2 = 8. Тем не менее ¹ / ₈ не создает повторяющуюся десятичной, аналогично для п = 5.
Для п = 7, Р должно быть не менее 10 - 7 = 3. Однако 7> 3 и ⁷ / ₃ = 2,333> 1 и не соответствует цели.
Точно так же нет решения для любого другого целого числа n меньше 10, кроме n = 3.

Однако, если множитель не ограничен целым числом (хотя и уродливым), есть много других решений из этого метода. Например, если целое число Х сдвиг вправо циклически одной позиции , когда она умножается на ³ / ₂ , а затем 3 должен быть следующий остаток от 2 в течение длительного разделения фракции ² / _F . Это делает вывод , что Р = 2 х 10 - 3 = 17, что дает X в качестве повторяющихся цифр ² / ₁₇ , т.е. 1176470588235294, а его кратное 1764705882352941.

Ниже приведены некоторые результаты, полученные таким образом:

Множитель ⁿ / _s	Решение	Представлена	Другие решения
¹ ⁄ ₂	105263157894736842	² / ₁₉ ×¹ / ₂ =¹ / ₁₉ 2- паразитарное число	Другие 2-паразитарные числа: ⁴ / ₁₉ ,⁶ / ₁₉ ,⁸ / ₁₉ ,¹⁰ / ₁₉ ,¹² / ₁₉ ,¹⁴ / ₁₉ ,¹⁶ / ₁₉ ,¹⁸ / ₁₉
³ ⁄ ₂	1176470588235294	² / ₁₇ ×³ / ₂ =³ / ₁₇	⁴ / ₁₇ ,⁶ / ₁₇ ,⁸ / ₁₇ ,¹⁰ / ₁₇
⁷ ⁄ ₂	153846	² / ₁₃ ×⁷ / ₂ =⁷ / ₁₃	-
⁹ ⁄ ₂	18	² / ₁₁ ×⁹ / ₂ =⁹ / ₁₁	-
⁷ ⁄ ₃	1304347826086956521739	³ / ₂₃ ×⁷ / ₃ =⁷ / ₂₃	⁶ / ₂₃ ,⁹ / ₂₃ ,¹² / ₂₃ ,¹⁵ / ₂₃ ,¹⁸ / ₂₃ ,²¹ / ₂₃
¹⁹ ⁄ ₄	190476	⁴ / ₂₁ ×¹⁹ / ₄ =¹⁹ / ₂₁	-

Циклическое переключение влево на двойное положение

Целое число X циклически сдвигается влево на двойные позиции, когда оно умножается на целое число n . Х затем повторяющиеся цифры ¹ / _F , в результате чего $Р$ является $R$ = 10 ² - п, или фактор $R$ ; за исключением значений $F$ , для которых ¹ / _Р имеет длину периода , разделяющую 2 (или, что то же самое, менее чем 3); и F должно быть взаимно просто с 10.

Чаще всего удобно выбирать самую маленькую $F,$ которая подходит к вышеперечисленным.

Резюме результатов

Ниже приведены некоторые результаты, полученные таким образом, где пробелы между цифрами разделяют цифры на группы из 10 цифр:

Множитель n	Решение	Представлена	Другие решения
2	142857	¹ / ₇ × 2 =² / ₇	² / ₇ ,³ / ₇
3	0103092783 5051546391 7525773195 8762886597 9381443298 9690721649 4845360824 7422680412 3711340206 185567	¹ / ₉₇ х 3 =³ / ₉₇	² / ₉₇ ,³ / ₉₇ ,⁴ / ₉₇ ,⁵ / ₉₇ , ....,³¹ / ₉₇ ,³² / ₉₇
4	Нет решения	-	-
5	0526315789 47368421	¹ / ₁₉ х 5 =⁵ / ₁₉	² / ₁₉ ,³ / ₁₉
6	0212765957 4468085106 3829787234 0425531914 893617	¹ / ₄₇ х 6 =⁶ / ₄₇	² / ₄₇ ,³ / ₄₇ ,⁴ / ₄₇ ,⁵ / ₄₇ ,⁶ / ₄₇ ,⁷ / ₄₇
7	0322580645 16129	¹ / ₃₁ х 7 =⁷ / ₃₁	² / ₃₁ ,³ / ₃₁ ,⁴ / ₃₁ ¹ / ₉₃ ,² / ₉₃ ,⁴ / ₉₃ ,⁵ / ₉₃ ,⁷ / ₉₃ ,⁸ / ₉₃ ,¹⁰ / ₉₃ ,¹¹ / ₉₃ ,¹³ / ₉₃
8	0434782608 6956521739 13	¹ / ₂₃ х 8 =⁸ / ₂₃	² ⁄ ₂₃
9	076923	¹ / ₁₃ х 9 =⁹ / ₁₃	¹ / ₉₁ ,² / ₉₁ ,³ / ₉₁ ,⁴ / ₉₁ ,⁵ / ₉₁ ,⁶ / ₉₁ ,⁸ / ₉₁ ,⁹ / ₉₁ ,¹⁰ / ₉₁
10	Нет решения	-	-
11	0112359550 5617977528 0898876404 4943820224 7191	¹ / ₈₉ х 11 =¹¹ / ₈₉	² / ₈₉ ,³ / ₈₉ ,⁴ / ₈₉ ,⁵ / ₈₉ ,⁶ / ₈₉ ,⁷ / ₈₉ ,⁸ / ₈₉
12	Нет решения	-	-
13	0344827586 2068965517 24137931	¹ / ₂₉ х 13 =¹³ / ₂₉	² ⁄ ₂₉ ¹ / ₈₇ ,² / ₈₇ ,⁴ / ₈₇ ,⁵ / ₈₇ ,⁶ / ₈₇
14	0232558139 5348837209 3	¹ / ₄₃ х 14 =¹⁴ / ₄₃	² / ₄₃ ,³ / ₄₃
15	0588235294 117647	¹ / ₁₇ х 15 =¹⁵ / ₁₇	-

Другие базы

В двенадцатеричной системе можно использовать следующие транспонируемые целые числа: (используя перевернутые два и три для десяти и одиннадцати, соответственно)

Множитель n	Наименьшее решение такое, что при умножении последняя цифра перемещается влево	Цифры	Представлена	Наименьшее решение, при котором первая цифра при умножении перемещается вправо	Цифры	Представлена
2	06316948421	Ɛ	¹ / _1Ɛ х 2 =² / _1Ɛ	2497	4	¹ / ₅ х 2 =² / ₅
3	2497	4	¹ / ₅ х 3 =³ / ₅	нет решения
4	0309236 ᘔ 8820 61647195441	1Ɛ	¹ / _3Ɛ х 4 =⁴ / _3Ɛ	нет решения
5	025355 ᘔ 94330 73 ᘔ 458409919 Ɛ7151	25	¹ / _4Ɛ х 5 =⁵ / _4Ɛ	186 ᘔ 35	6	¹ / ₇ х 5 =⁵ / ₇
6	020408142854 ᘔ 997732650 ᘔ 1 83469163061	2Ɛ	¹ / _5Ɛ х 6 =⁶ / _5Ɛ	нет решения
7	01899,864406 Ɛ33ᘔᘔ 1542391 374594930525 5Ɛ171	35 год	¹ / _6Ɛ х 7 =⁷ / _6Ɛ	нет решения
8	076Ɛ45	6	¹ / ₁₇ х 8 =⁸ / ₁₇	нет решения
9	014196486344 59,9384,26,5 33040547216 ᘔ 1155,3,12978 ᘔ 3991	45	¹ / _8Ɛ х 9 =⁹ / _8Ɛ	нет решения
ᘔ	08579214–364 29–7	14	¹ / ₁₅ х ᘔ =^ᘔ / ₁₅	нет решения
Ɛ	011235930336 ᘔ 53909 ᘔ873Ɛ3 25819Ɛ997505 5Ɛ54ᘔ 3145 ᘔ 42 694157078404 491Ɛ1	55	¹ / _ᘔƐ х ɛ =^ɛ / _ᘔƐ	нет решения

Обратите внимание, что задача «Циклический сдвиг влево на одну позицию» не имеет решения для множителя меньше 12, кроме 2 и 5, та же проблема в десятичной системе не имеет решения для множителя меньше 10, кроме 3.

Ноты

^ П. Ю, k-перемещаемые вправо целые числа, глава 18.1 «Развлекательная математика»

Ссылки

П. Ю, k-перемещаемые вправо целые числа, k-перемещаемые влево целые числа Глава 18.1, 18.2 стр. 168/360 в «Рекреационной математике», https://web.archive.org/web/20090901180500/http:/ /math.fau.edu/Yiu/RecreationalMat Mathematics2003.pdf
CA Pickover , Чудеса чисел , глава 28, Oxford University Press UK, 2000.
Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A092697 (Для 1 <= n <= 9, a (n) = наименьшее число m такое, что произведение n * m получается просто путем сдвига крайней правой цифры m в левый конец)» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
Гарднер, Мартин. Математический цирк: больше головоломок, игр, парадоксов и других математических развлечений от журнала Scientific American. Нью-Йорк: Математическая ассоциация Америки, 1979. С. 111–122.
Кальман, Дэн; «Дроби с циклическими схемами цифр» The College Mathematics Journal, Vol. 27, No. 2. (март, 1996), стр. 109–115.
Лесли, Джон. «Философия арифметики: демонстрация прогрессивного взгляда на теорию и практику…» , Лонгман, Херст, Рис, Орм и Браун, 1820, ISBN 1-4020-1546-1
Уэллс, Дэвид; " Словарь любопытных и интересных чисел Penguin " , Penguin Press. ISBN 0-14-008029-5

[1] П. Ю, k-перемещаемые вправо целые числа, глава 18.1 «Развлекательная математика»

Languages

In other projects

Переносимое целое число - Transposable integer

Содержание

Общее

Метод фракции

Интегральный множитель

Дробный множитель

Прямое представительство

Циклическая перестановка умножением

Доказательство формулы для циклического переключения вправо

Доказательство формулы для циклической работы левой смены

Циклический сдвиг целого числа

Паразитарные числа

Циклическое переключение вправо на двойное положение

Резюме результатов

Циклическое переключение влево на одну позицию

Циклическое переключение влево на двойное положение

Резюме результатов

Другие базы

Ноты

Ссылки