Entier transposable - Transposable integer

Les chiffres de certains entiers spécifiques permutent ou décalent cycliquement lorsqu'ils sont multipliés par un nombre n . Des exemples sont:

142857 × 3 = 428571 (décale cycliquement une place à gauche)
142857 × 5 = 714285 (décale cycliquement d'une place à droite)
128205 × 4 = 512820 (décale cycliquement d'une place à droite)
076923 × 9 = 692307 (décale cycliquement deux places à gauche)

Ces entiers spécifiques, appelés entiers transposables , peuvent être mais ne sont pas toujours des nombres cycliques . La caractérisation de tels nombres peut être faite en utilisant des décimales répétitives (et donc les fractions associées), ou directement.

Général

Pour tout entier premier à 10, sa réciproque est une décimale répétitive sans chiffres non récurrents. Par exemple , ¹ / ₁₄₃ = 0. 006993 006993 006993 ...

Alors que l'expression d'une seule série avec vinculum sur le dessus est adéquate, l'intention de l'expression ci-dessus est de montrer que les six permutations cycliques de 006993 peuvent être obtenues à partir de cette décimale répétitive si nous sélectionnons six chiffres consécutifs à partir de la décimale répétée à partir de différents chiffres.

Cela illustre que les permutations cycliques sont en quelque sorte liées à la répétition des décimales et des fractions correspondantes.

Le plus grand diviseur commun (pgcd) entre toute permutation cyclique d'un entier à m chiffres et 10 ^m - 1 est constant. Exprimé sous forme de formule,

{\ displaystyle \ gcd \ left (N, 10 ^ {m} -1 \ right) = \ gcd \ left (N_ {c}, 10 ^ {m} -1 \ right),}

où N est un entier à m chiffres; et N _c est toute permutation cyclique de N .

Par exemple,

   gcd(091575, 999999) = gcd(3²×5²×11×37, 3³×7×11×13×37)
                       = 3663
                       = gcd(915750, 999999)
                       = gcd(157509, 999999)
                       = gcd(575091, 999999)
                       = gcd(750915, 999999)
                       = gcd(509157, 999999)

Si N est un entier à m chiffres, le nombre N _c , obtenu en décalant N cycliquement vers la gauche, peut être obtenu à partir de:

{\ displaystyle N_ {c} = 10N-d \ gauche (10 ^ {m} -1 \ droite), \,}

où d est le premier chiffre de N et m est le nombre de chiffres.

Ceci explique le pgcd commun ci-dessus et le phénomène est vrai dans n'importe quelle base si 10 est remplacé par b , la base.

Les permutations cycliques sont donc liées à la répétition des décimales, des fractions correspondantes, et des diviseurs de 10 ^m -1. Pour des exemples, les fractions liées aux permutations cycliques ci-dessus sont donc:

⁰⁹¹⁵⁷⁵ / ₉₉₉₉₉₉ ,⁹¹⁵⁷⁵⁰ / ₉₉₉₉₉₉ ,^{157 509} / ₉₉₉₉₉₉ ,^{575 091} / ₉₉₉₉₉₉ ,^{750 915} / ₉₉₉₉₉₉ et^{509 157} / ₉₉₉₉₉₉ .

Réduits à leurs plus bas termes en utilisant le pgcd commun, ils sont:

²⁵ / ₂₇₃ ,²⁵⁰ / ₂₇₃ ,⁴³ / ₂₇₃ ,¹⁵⁷ / ₂₇₃ ,²⁰⁵ / ₂₇₃ , et¹³⁹ / ₂₇₃ .

Autrement dit, ces fractions, lorsqu'elles sont exprimées en termes les plus bas , ont le même dénominateur. Ceci est vrai pour les permutations cycliques de n'importe quel entier.

Méthode de fraction

Multiplicateur intégral

Un multiplicateur entier fait référence au multiplicateur n étant un entier:

Un entier X se décale cycliquement vers la droite de k positions lorsqu'il est multiplié par un entier n . X est alors les chiffres répétés de ¹ / _F , où F est F ₀ = n 10 ^k - 1 ( F ₀ est coprime à 10), ou un facteur de F ₀ ; excluant toutes les valeurs de F qui ne sont pas supérieures à n .
Un entier X se décale cycliquement vers la gauche de k positions lorsqu'il est multiplié par un entier n . X est alors les chiffres répétés de ¹ / _F , où F est F ₀ = 10 ^k - n , ou un facteur de F ₀ ; excluant toutes les valeurs de F qui ne sont pas supérieures à n et qui ne sont pas coprime à 10.

Il est nécessaire que F soit premier avec 10 afin que ¹ / _F est un nombre décimal périodique sans précédentes chiffres non-répétition (voir sections multiples de Répétition décimale ). S'il n'y a pas de chiffres dans une période, il n'y a pas de solution correspondante.

Pour ces deux cas, des multiples de X , ie ( j X ) sont également des solutions , à condition que l'entier i satisfait à la condition ^{n j} / _F <1. Le plus souvent , il est préférable de choisir le plus petit F qui correspond à ce qui précède. Les solutions peuvent être exprimées par la formule:

{\ displaystyle X = j {\ frac {10 ^ {p} -1} {F}}}

où p est une longueur de période de ¹ / _F ; et F est un facteur de F _{0 premier} à 10.

Par exemple, F ₀ = 1260 = 2 ² × 3 ² × 5 × 7. Les facteurs excluant 2 et 5 se recomposent en F = 3 ² × 7 = 63. Alternativement, rayer tous les zéros de fin de 1260 pour devenir 126, puis diviser itérativement par 2 (ou 5) jusqu'à ce que le quotient ne soit plus divisible par 2 (ou 5). Le résultat est également F = 63.

Pour exclure des nombres entiers qui commencent par des zéros à partir des solutions, sélectionner un nombre entier j tel que ^j / _F > ^une / ₁₀ , soit j > ^F / ₁₀ .

Il n'y a pas de solution quand n > F .

Multiplicateur fractionnaire

Un nombre entier X décalage à gauche de manière cyclique par k positions quand il est multiplié par une fraction ⁿ / _s . X est alors les chiffres répétés de ^s / _F , où F est F ₀ = de 10 ^k - n , ou un facteur de F ₀ ; et F doit être coprime à 10.

Pour ce troisième cas, des multiples de X , ie ( j X ) sont à nouveau des solutions , mais la condition à remplir pour entier j est que ^{n j} / _F <1. Encore une fois , il est préférable de choisir le plus petit F qui correspond à ce qui précède.

Les solutions peuvent être exprimées par la formule:

{\ displaystyle X = js {\ frac {10 ^ {p} -1} {F}}}

où p est défini de la même manière; et F est rendu premier à 10 par le même processus que précédemment.

Pour exclure des nombres entiers qui commencent par des zéros à partir des solutions, sélectionner un nombre entier j tel que ^{j s} / _F > ¹ / _dix , soit j > ^F / _{10 s} .

Encore une fois , si ^{de j} / _F > 1, il n'y a pas de solution.

Représentation directe

L'approche par algèbre directe du multiplicateur intégral des cas ci-dessus conduit à la formule suivante:

${\ displaystyle X = D {\ frac {10 ^ {m} -1} {n10 ^ {k} -1}},}$

où m est le nombre de chiffres de X , et D , le nombre de k chiffres décalé de l'extrémité inférieure de X à l'extrémité supérieure de n X , satisfait D <10 ^k .

Si les chiffres ne sont pas d'avoir des zéros à gauche, puis n 10 ^{k - 1} ≤ D .
${\ displaystyle X = D {\ frac {10 ^ {m} -1} {10 ^ {k} -n}},}$ $X = D \ frac {10 ^ m-1} {10 ^ kn},$
où m est le nombre de chiffres de X , et D , le nombre à k chiffres décalé de l'extrémité supérieure de X à l'extrémité inférieure de n X , satisfait:
1. ${\ displaystyle D <{\ frac {10 ^ {k}} {n}} - 1,}$
2. et les 10 parties (2 et 5 du produit des termes correspondant aux nombres premiers factorisation ) de 10 ^k - n divise D .
  Les 10 parties d'un entier t sont souvent abrégées ${\ displaystyle \ operatorname {gcd} \ left (10 ^ {\ infty}, t \ right).}$
Si les chiffres ne sont pas d'avoir des zéros à gauche, puis 10 ^{k - 1} ≤ D .

Permutation cyclique par multiplication

Une longue division de 1 par 7 donne:

        0.142857...
    7 ) 1.000000
         .7
          3
          28
           2
           14
            6
            56
             4
             35
              5
              49
               1

À la dernière étape, 1 réapparaît comme le reste. Les restes cycliques sont {1, 3, 2, 6, 4, 5}. Nous réécrivons les quotients avec le dividende / les restes correspondants au-dessus d'eux à toutes les étapes:

    Dividend/Remainders    1 3 2 6 4 5
    Quotients              1 4 2 8 5 7

et notez également que:

¹ ⁄ ₇ = 0,142857 ...
³ ⁄ ₇ = 0,428571 ...
² ⁄ ₇ = 0,285714 ...
⁶ ⁄ ₇ = 0,857142 ...
⁴ ⁄ ₇ = 0,571428 ...
⁵ ⁄ ₇ = 0,714285 ...

En observant les restes à chaque étape, on peut ainsi effectuer une permutation cyclique souhaitée par multiplication. Par exemple,

L'entier 142857, correspondant au reste 1, permute à 428571 lorsqu'il est multiplié par 3, le reste correspondant de ce dernier.
L'entier 142857, correspondant au reste 1, permute à 857142 lorsqu'il est multiplié par 6, le reste correspondant de ce dernier.
L'entier 857142, correspondant au reste 6, permute à 571.428 lorsqu'il est multiplié par ^cinq / ₆ ; c'est-à-dire divisé par 6 et multiplié par 5, le reste correspondant de ce dernier.

De cette manière, un décalage cyclique vers la gauche ou vers la droite d'un nombre quelconque de positions peut être effectué.

Moins important encore, cette technique peut être appliquée à n'importe quel entier pour décaler cycliquement vers la droite ou la gauche d'un nombre donné de places pour la raison suivante:

Chaque décimal répétitif peut être exprimé sous forme de nombre rationnel (fraction).
Tout entier, lorsqu'il est ajouté avec un point décimal devant et concaténé avec lui - même temps infinis, peut être converti en une fraction, par exemple , nous pouvons transformer 123456 de cette manière à ,123456123456 ..., qui peut ainsi être converti en fraction ¹²³⁴⁵⁶ / ₉₉₉₉₉₉ . Cette fraction peut être encore simplifiée mais cela ne sera pas fait ici.
Pour permuter l'entier 123456-234561, tout ce qu'on doit faire est de multiplier par 123456 ²³⁴⁵⁶¹ / ₁₂₃₄₅₆ . Cela ressemble à la tricherie mais si ²³⁴⁵⁶¹ / ₁₂₃₄₅₆ est un nombre entier (dans ce cas , il n'est pas), la mission est terminée.

Preuve de la formule pour l'opération cyclique de décalage à droite

Un entier X se décale cycliquement vers la droite de k positions lorsqu'il est multiplié par un entier n . Prouvez sa formule.

Preuve

Reconnaissez d'abord que X est les chiffres répétés d'un décimal répétitif , qui possède toujours un comportement cyclique en multiplication. L'entier X et son multiple n X auront alors la relation suivante:

Le nombre entier X est les chiffres répétés de la fraction ¹ / _F , par exemple d _p d _p-1 ... d ₃ d ₂ d ₁ , où d _p , d _p-1 , ..., d ₃ , d ₂ et d ₁ représente chacun un chiffre et p est le nombre de chiffres.
Le multiple n X est donc les chiffres répétés de la fraction ⁿ / _F , par exemple d _k d _k-1 ... d ₃ d ₂ d ₁ d _p d _p-1 ... d _{k + 2} d _{k + 1} , représentant les résultats après le décalage cyclique droit de k positions.
F doit être premier avec 10 de sorte que lorsque ¹ / _F est exprimé en décimal il n'y a pas précédentes chiffres non-répétition sinon la répétition décimale ne possèdent pas un comportement cyclique dans la multiplication.
Si le premier reste est considéré comme n alors 1 est le ( k + 1) st reste dans la division longue pour ⁿ / _F pour que cette permutation cyclique ait lieu.
Pour que n × 10 ^k = 1 (mod F ), alors F sera soit F ₀ = ( n × 10 ^k - 1), soit un facteur de F ₀ ; mais en excluant toute valeur ne dépassant pas n et toute valeur ayant un facteur commun non trivial avec 10, comme déduit ci-dessus.

Ceci complète la preuve.

Preuve de la formule pour le déplacement cyclique à gauche

Un entier X se décale cycliquement vers la gauche de k positions lorsqu'il est multiplié par un entier n . Prouvez sa formule.

Preuve

Reconnaissez d'abord que X est les chiffres répétés d'un décimal répétitif , qui possède toujours un comportement cyclique en multiplication. L'entier X et son multiple n X auront alors la relation suivante:

Le nombre entier X est les chiffres répétés de la fraction ¹ / _F , par exemple d _p d _p-1 ... d ₃ d ₂ d ₁ .
Le multiple n X est donc les chiffres répétés de la fraction ⁿ / _F , dit d _p-k d _p-k-1 ... d ₃ d ₂ d ₁ d _p d _p-1 ... d _{p-k + 1} ,

qui représente les résultats après décalage cyclique gauche de k positions.

F doit être premier avec 10 de sorte que ¹ / _F n'a pas de précédent chiffres non-répétition sinon la répétition décimale ne possède pas un comportement cyclique dans la multiplication.
Si le premier reste est pris à 1 alors n est le ( k + 1) st reste dans la division longue pour ¹ / _F pour que cette permutation cyclique ait lieu.
Afin que 1 × 10 ^k = n (mode F ), alors F sera soit F ₀ = (10 ^k - n ), soit un facteur F ₀ ; mais en excluant toute valeur ne dépassant pas n , et toute valeur ayant un facteur commun non trivial avec 10, comme déduit ci-dessus.

Ceci complète la preuve. La preuve de multiplicateur non intégrale telle que ⁿ / _s peut être dérivé d'une manière similaire et non documentée ici.

Décalage cyclique d'un entier

Les permutations peuvent être:

Décalage cyclique vers la droite par position unique ( nombres parasites );
Décalage cyclique à droite par positions doubles;
Déplacement cyclique vers la droite d'un nombre quelconque de positions;
Déplacement cyclique à gauche par position unique;
Décalage cyclique à gauche par positions doubles; et
Décalage cyclique vers la gauche d'un nombre quelconque de positions

Numéros parasites

Lorsqu'un nombre parasite est multiplié par n, non seulement il présente le comportement cyclique mais la permutation est telle que le dernier chiffre du nombre parasite devient maintenant le premier chiffre du multiple. Par exemple, 102564 x 4 = 410256. On notera que les chiffres 102564 est répétitifs de ⁴ / ₃₉ et 410.256 les chiffres répétés de ^seize / ₃₉ .

Décalage cyclique à droite par positions doubles

Un entier X se décale cycliquement à droite de deux positions lorsqu'il est multiplié par un entier n . X est alors les chiffres répétés de ¹ / _F , où $F$ = n 10 x ² - 1; ou un facteur de celui-ci; mais à l' exclusion des valeurs pour lesquelles ¹ / _F a une longueur de période de division 2 (ou, de manière équivalente, inférieur à 3); et $F$ doit être coprime à 10.

Le plus souvent, il est pratique de choisir le plus petit $F$ qui correspond à ce qui précède.

Résumé des résultats

La multiplication suivante déplace les deux derniers chiffres de chaque entier d'origine vers les deux premiers chiffres et décale tous les autres chiffres vers la droite:

Multiplicateur n	Solution	Représenté par	Autres solutions
2	0050251256 2814070351 7587939698 4924623115 5778894472 3618090452 2613065326 6331658291 4572864321 608040201	¹ / ₁₉₉ x 2 =² / ₁₉₉ période = 99 soit 99 chiffres répétés.	^Deux / ₁₉₉ ,³ / ₁₉₉ , ...,⁹⁹ / ₁₉₉
3	0033444816 0535117056 8561872909 6989966555 1839464882 9431438127 090301	^Une / ₂₉₉ x 3 =³ / ₂₉₉ période = 66 299 = 13 × 23	² / ₂₉₉ ,³ / ₂₉₉ , ...,⁹⁹ / ₂₉₉ quelques cas particuliers sont illustrés ci-dessous
3	076923	^Une / ₁₃ x 3 =³ / ₁₃ période = 6	^Deux / ₁₃ ,^trois / ₁₃ ,^quatre / ₁₃
3	0434782608 6956521739 13	^Une / ₂₃ x 3 =³ / ₂₃ période = 22	² / ₂₃ ,³ / ₂₃ , ...,⁷ / ₂₃
4	0025062656 64160401	¹ / ₃₉₉ x 4 =⁴ / ₃₉₉ période = 18 399 = 3 × 7 × 19	^Deux / ₃₉₉ ,³ / ₃₉₉ , ...,⁹⁹ / ₃₉₉ quelques cas particuliers sont illustrés ci-dessous
4	142857	^Une / ₇ x 4 =⁴ / ₇ période = 6	-
4	0526315789 47368421	¹ / ₁₉ x 4 =⁴ / ₁₉ période = 18	^Deux / ₁₉ ,^trois / ₁₉ ,⁴ / ₁₉
5	(un nombre cyclique avec une période de 498)	^Une / ₄₉₉ x 5 =⁵ / ₄₉₉ 499 est un plein reptend prime	^Deux / ₄₉₉ ,^trois / ₄₉₉ , ...,⁹⁹ / ₄₉₉

Notez que:

299 = 13 x 23, et la période de ¹ / ₂₉₉ est déterminée avec précision par la formule, LCM (6, 22) = 66, selon Répétition décimale # Généralisation .
399 = 3 x 7 x 19, et la période de ¹ / ₃₉₉ est déterminée avec précision par la formule, LCM (1, 6, 18) = 18.

Il y a beaucoup d'autres possibilités.

Déplacement cyclique à gauche par position unique

Problème: Entier X décalage à gauche de manière cyclique par la position unique quand elle est multipliée par 3. Recherche X .

Solution: Reconnaissez d'abord que X est les chiffres répétés d'un décimal répétitif , qui possède toujours un comportement cyclique intéressant dans les multiplications. L'entier X et son multiple auront alors la relation suivante:

Le nombre entier X est les chiffres répétés de la fraction ¹ / _F , dites ab *** .
Le multiple est donc les chiffres répétés de la fraction ³ / _F , par exemple b *** a .
Pour que cette permutation cyclique doit avoir lieu, puis 3 sera le prochain reste dans la division longue pour ¹ / _F . Ainsi $F$ sera 7 car 1 × 10 ÷ 7 donne le reste 3.

Cela donne les résultats que:

X = les chiffres répétés de ^une / _sept

= 142857, et

le multiple = 142857 x 3 = 428571, les chiffres répétés de ³ / _sept

L'autre solution est représentée par ^deux / ₇ x 3 = ^six / ₇ :

285714 x 3 = 857142

Il n'y a pas d'autres solutions car:

Nombre entier n doit être le reste ultérieur dans une longue division d'une fraction ¹ / _F . Étant donné que n = 10 - F, et F est premier avec 10 pour que ¹ / _F soit un nombre décimal périodique, alors n doit être inférieur à 10.
Pour n = 2, F doit être 10-2 = 8. Cependant ¹ / _huit ne génère pas un nombre décimal périodique, de manière similaire pour n = 5.
Pour n = 7, F doit être 10-7 = 3. Cependant 7> 3 et ⁷ / ₃ = 2,333> 1 et ne correspond pas à l'objectif.
De même, il n'y a pas de solution pour tout autre entier de n inférieur à 10 sauf n = 3.

Cependant, si le multiplicateur n'est pas limité à un entier (bien que laid), il existe de nombreuses autres solutions de cette méthode. Par exemple, si un nombre entier X décalage vers la droite de manière cyclique par la position unique quand il est multiplié par ³ / ₂ , puis 3 est le nouveau reste après deux dans une longue division d'une fraction ² / _F . Cette déduit que F = 2 x 10-3 = 17, ce qui donne X comme les chiffres répétés de ² / ₁₇ , soit 1176470588235294, et son multiple est 1764705882352941.

Ce qui suit résume certains des résultats obtenus de cette manière:

Multiplicateur ⁿ ⁄ _s	Solution	Représenté par	Autres solutions
¹ ⁄ ₂	105263157894736842	² / _dix-neuf ×¹ / ₂ =¹ / _dix-neuf Un numéro 2- parasite	Autres nombres parasites 2: ^Quatre / ₁₉ ,⁶ / ₁₉ ,⁸ / ₁₉ ,^dix / ₁₉ ,¹² / ₁₉ ,¹⁴ / ₁₉ ,^seize / ₁₉ ,¹⁸ / ₁₉
³ ⁄ ₂	1176470588235294	² / ₁₇ ×³ / ₂ =³ / ₁₇	⁴ / ₁₇ ,^six / ₁₇ ,^huit / ₁₇ ,^dix / ₁₇
⁷ ⁄ ₂	153846	² / _treize ×⁷ / ₂ =⁷ / _treize	-
⁹ ⁄ ₂	18	² / ₁₁ x⁹ / ₂ =⁹ / ₁₁	-
⁷ ⁄ ₃	1304347826086956521739	³ / ₂₃ ×⁷ / ₃ =⁷ / ₂₃	^Six / ₂₃ ,^neuf / ₂₃ ,^douze / ₂₃ ,^quinze / ₂₃ ,^dix-huit / ₂₃ ,²¹ / ₂₃
¹⁹ ⁄ ₄	190476	⁴ / ₂₁ ×^dix-neuf / ₄ =^dix-neuf / ₂₁	-

Décalage cyclique à gauche par positions doubles

Un entier X se décale cycliquement vers la gauche de positions doubles lorsqu'il est multiplié par un entier n . X est alors les chiffres répétés de ¹ / _F , où $F$ est $R$ = 10 ² - n, ou un facteur $R$ ; en excluant les valeurs de $F$ pour laquelle ¹ / _F a une longueur de période de division 2 (ou, de manière équivalente, inférieur à 3); et F doit être coprime à 10.

Le plus souvent, il est pratique de choisir le plus petit $F$ qui correspond à ce qui précède.

Résumé des résultats

Ce qui suit résume certains des résultats obtenus de cette manière, où les espaces blancs entre les chiffres divisent les chiffres en groupes de 10 chiffres:

Multiplicateur n	Solution	Représenté par	Autres solutions
2	142857	^Une / _sept × 2 =² / _sept	² / _sept ,³ / _sept
3	0103092783 5051546391 7525773195 8762886597 9381443298 9690721649 4845360824 7422680412 3711340206 185567	¹ / ₉₇ x 3 =³ / ₉₇	² / ₉₇ ,³ / ₉₇ ,^quatre / ₉₇ ,⁵ / ₉₇ , ....,³¹ / ₉₇ ,³² / ₉₇
4	Pas de solution	-	-
5	0526315789 47368421	¹ / ₁₉ x 5 =⁵ / ₁₉	² / ₁₉ ,³ / ₁₉
6	0212765957 4468085106 3829787234 0425531914 893617	¹ / ₄₇ x 6 =⁶ / ₄₇	^Deux / ₄₇ ,^trois / ₄₇ ,⁴ / ₄₇ ,^cinq / ₄₇ ,⁶ / ₄₇ ,^sept / ₄₇
7	0322580645 16129	^Une / ₃₁ x 7 =⁷ / ₃₁	² / ₃₁ ,³ / ₃₁ ,⁴ / ₃₁ ¹ / ₉₃ ,^deux / ₉₃ ,^quatre / ₉₃ ,⁵ / ₉₃ ,⁷ / ₉₃ ,⁸ / ₉₃ ,¹⁰ / ₉₃ ,¹¹ / ₉₃ ,^treize / ₉₃
8	0434782608 6956521739 13	¹ / ₂₃ x 8 =⁸ / ₂₃	² ⁄ ₂₃
9	076923	¹ / _treize x 9 =⁹ / _treize	^Une / ₉₁ ,² / ₉₁ ,^trois / ₉₁ ,^quatre / ₉₁ ,⁵ / ₉₁ ,^six / ₉₁ ,⁸ / ₉₁ ,^neuf / ₉₁ ,¹⁰ / ₉₁
dix	Pas de solution	-	-
11	0112359550 5617977528 0898876404 4943820224 7191	^Une / ₈₉ x 11 =¹¹ / ₈₉	² / ₈₉ ,^trois / ₈₉ ,^quatre / ₈₉ ,^cinq / ₈₉ ,⁶ / ₈₉ ,^sept / ₈₉ ,^huit / ₈₉
12	Pas de solution	-	-
13	0344827586 2068965517 24137931	¹ / ₂₉ x 13 =¹³ / ₂₉	² ⁄ ₂₉ ^Une / ₈₇ ,² / ₈₇ ,^quatre / ₈₇ ,⁵ / ₈₇ ,^six / ₈₇
14	0232558139 5348837209 3	¹ / ₄₃ x 14 =¹⁴ / ₄₃	^Deux / ₄₃ ,^trois / ₄₃
15	0588235294 117647	^Une / ₁₇ x 15 =¹⁵ / ₁₇	-

Autres bases

Dans le système duodécimal , les entiers transposables sont: (en utilisant deux et trois inversés pour dix et onze, respectivement)

Multiplicateur n	La plus petite solution telle que la multiplication déplace le dernier chiffre vers la gauche	Chiffres	Représenté par	La plus petite solution telle que la multiplication déplace le premier chiffre vers la droite	Chiffres	Représenté par
2	06316948421	Ɛ	¹ / _1Ɛ x 2 =² / _1Ɛ	2497	4	^Une / _cinq x 2 =² / _cinq
3	2497	4	^Une / ₅ x 3 =³ / ₅	pas de solution
4	0309236 ᘔ 8820 61647195441	1Ɛ	¹ / _3Ɛ x 4 =⁴ / _3Ɛ	pas de solution
5	025355 ᘔ 94330 73 ᘔ 458409919 Ɛ7151	25	¹ / _4Ɛ x 5 =⁵ / _4Ɛ	186 ᘔ 35	6	¹ / ₇ x 5 =⁵ / ₇
6	020408142854 ᘔ 997732650 ᘔ 1 83469163061	2Ɛ	¹ / _5Ɛ x 6 =⁶ / _5Ɛ	pas de solution
7	01899Ɛ864406 Ɛ33ᘔᘔ 1542391 374594930525 5Ɛ171	35	¹ / _6Ɛ x 7 =⁷ / _6Ɛ	pas de solution
8	076Ɛ45	6	^Une / ₁₇ x 8 =⁸ / ₁₇	pas de solution
9	014196486344 59Ɛ9384Ɛ26Ɛ5 33040547216 ᘔ 1155Ɛ3Ɛ12978 ᘔ 3991	45	¹ / _8Ɛ x 9 =⁹ / _8Ɛ	pas de solution
ᘔ	08579214Ɛ364 29 ᘔ 7	14	¹ / ₁₅ x ᘔ =^ᘔ / ₁₅	pas de solution
Ɛ	011235930336 ᘔ 53909 ᘔ873Ɛ3 25819Ɛ997505 5Ɛ54ᘔ 3145 ᘔ 42 694157078404 491Ɛ1	55	¹ / _ᘔƐ x Ɛ =^Ɛ / _ᘔƐ	pas de solution

Notez que le problème «Décalage à gauche cycliquement par position unique» n'a pas de solution pour le multiplicateur inférieur à 12 sauf 2 et 5, le même problème en système décimal n'a pas de solution pour le multiplicateur inférieur à 10 sauf 3.

Remarques

^ P. Yiu, entiers k-droite-transposables, Chap.18.1 `` Mathématiques récréatives ''

Les références

P. Yiu, k-entiers transposables à droite, k-entiers transposables à gauche Chap.18.1, 18.2 pp. 168/360 dans 'Recreational Mathematics', https://web.archive.org/web/20090901180500/http:/ /math.fau.edu/Yiu/RecreationalMathematics2003.pdf
CA Pickover , Wonders of Numbers , Chapitre 28, Oxford University Press UK, 2000.
Sloane, N. J. A. (éd.). "Séquence A092697 (Pour 1 <= n <= 9, a (n) = plus petit nombre m tel que le produit n * m est obtenu simplement en décalant le chiffre le plus à droite de m vers l'extrémité gauche)" . L' encyclopédie en ligne des séquences d'entiers . Fondation OEIS.
Gardner, Martin. Cirque mathématique: plus de puzzles, jeux, paradoxes et autres divertissements mathématiques de Scientific American. New York: The Mathematical Association of America, 1979. pp. 111–122.
Kalman, Dan; «Fractions avec des modèles de chiffres cycliques» The College Mathematics Journal, Vol. 27, n ° 2. (mars 1996), pp. 109-115.
Leslie, John. "La philosophie de l'arithmétique: présentation d'une vision progressive de la théorie et de la pratique de ...." , Longman, Hurst, Rees, Orme et Brown, 1820, ISBN 1-4020-1546-1
Wells, David; " Le Dictionnaire Pingouin des Nombres Curieux et Intéressants " , Penguin Press. ISBN 0-14-008029-5

[1] P. Yiu, entiers k-droite-transposables, Chap.18.1 `` Mathématiques récréatives ''

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Contenu

Général

Méthode de fraction

Multiplicateur intégral

Multiplicateur fractionnaire

Représentation directe

Permutation cyclique par multiplication

Preuve de la formule pour l'opération cyclique de décalage à droite

Preuve de la formule pour le déplacement cyclique à gauche

Décalage cyclique d'un entier

Numéros parasites

Décalage cyclique à droite par positions doubles

Résumé des résultats

Déplacement cyclique à gauche par position unique

Décalage cyclique à gauche par positions doubles

Résumé des résultats

Autres bases

Remarques

Les références