Siirrettävä kokonaisluku - Transposable integer

Joidenkin tiettyjen kokonaislukujen numerot pysyvät muuttuneina tai muuttuvat syklisesti, kun ne kerrotaan luvulla n . Esimerkkejä ovat:

• 142857 × 3 = 428571 (siirtyy syklisesti yksi paikka vasemmalle)
• 142857 × 5 = 714285 (siirtyy syklisesti yksi paikka oikealle)
• 128205 × 4 = 512820 (siirtyy syklisesti yksi paikka oikealle)
• 076923 × 9 = 692307 (siirtyy syklisesti kaksi paikkaa vasemmalle)

Nämä erityiset kokonaisluvut, joita kutsutaan siirrettäviksi kokonaislukuiksi , voivat olla, mutta eivät aina, syklisiä lukuja . Tällaisten lukujen karakterisointi voidaan suorittaa toistamalla desimaalit (ja siten niihin liittyvät murto-osat) tai suoraan.

yleinen

Jokaiselle kokonaisluvulle kopiokorkeudelle 10, sen vastavuoroinen on toistuva desimaali ilman kertaluonteisia numeroita. Esim ¹ / ₁₄₃ = 0. 006993 006993 006993 ...

Vaikka yhden sarjan lauseke , jonka päällä on vinculum , on riittävä, yllä olevan lausekkeen tarkoituksena on osoittaa, että 006993: n kuusi syklistä permutaatiota voidaan saada tästä toistuvasta desimaalista, jos valitsemme kuusi peräkkäistä numeroa toistuvasta desimaalista alkaen erilaisista numeroa.

Tämä havainnollistaa, että sykliset permutaatiot liittyvät jotenkin toistuviin desimaaliin ja vastaaviin fraktioihin.

Suurin yhteinen tekijä (syt) minkä tahansa syklisen permutaation sellaisen m numeroinen kokonaisluku ja 10 ^m  - 1 on vakio. Ilmaistuna kaavana,

${\ displaystyle \ gcd \ left (N, 10 ^ {m} -1 \ oikea) = \ gcd \ left (N_ {c}, 10 ^ {m} -1 \ oikea),}$

missä N on m- numeroinen kokonaisluku; ja N _c on mikä tahansa syklinen permutaatio N .

Esimerkiksi,

   gcd(091575, 999999) = gcd(32×52×11×37, 33×7×11×13×37)
                       = 3663
                       = gcd(915750, 999999)
                       = gcd(157509, 999999)
                       = gcd(575091, 999999)
                       = gcd(750915, 999999)
                       = gcd(509157, 999999)

Jos N on m- numeroinen kokonaisluku, luku N _c , joka saadaan siirtämällä N vasemmalle syklisesti, voidaan saada seuraavista:

${\ displaystyle N_ {c} = 10N-d \ vasen (10 ^ {m} -1 \ oikea), \,}$

jossa d on ensimmäinen numero N ja m on määrä numeroita.

Tämä selittää yllä mainitun yleisen gcd: n ja ilmiö on totta missä tahansa emäksessä, jos 10 korvataan b: llä , emäksellä.

Syklinen permutaatio liittyy siis toistuviin desimaaliin, vastaaviin fraktioihin ja 10 ^m −1 jakoihin . Esimerkkeinä edellä oleviin syklisiin permutaatioihin liittyvät fraktiot ovat siten:

• ​⁰⁹¹⁵⁷⁵ / ₉₉₉₉₉₉ , ⁹¹⁵⁷⁵⁰ / ₉₉₉₉₉₉ , ¹⁵⁷⁵⁰⁹ / ₉₉₉₉₉₉ , ⁵⁷⁵⁰⁹¹ / ₉₉₉₉₉₉ , ⁷⁵⁰⁹¹⁵ / ₉₉₉₉₉₉ ja ⁵⁰⁹¹⁵⁷ / ₉₉₉₉₉₉ .

Pelkistettyinä alhaisimpiin termeihin käyttämällä yleistä gcd: tä, ne ovat:

• ​²⁵ / ₂₇₃ , ²⁵⁰ / ₂₇₃ , ⁴³ / ₂₇₃ , ¹⁵⁷ / ₂₇₃ , ²⁰⁵ / ₂₇₃ , ja ¹³⁹ / ₂₇₃ .

Toisin sanoen näillä murto-elementeillä, kun ne ilmaistaan pienimmin termein , on sama nimittäjä. Tämä pätee minkä tahansa kokonaisluvun syklisiin permutaatioihin.

Fraktiomenetelmä

Integroitu kertoja

Integroitu kertoin tarkoittaa kertoimen n olevan kokonaisluku:

1. Kokonaisluku X muuttuu oikein syklisesti k- paikalla, kun se kerrotaan kokonaisluvulla n . X on sitten toistamalla numeroa ¹ / _F , jolloin F on F ₀ = n  10 ^k - 1 ( F ₀ on jaottomia 10), tai kertoimella F ₀ ; lukuun ottamatta kaikkia F- arvoja, jotka ovat enintään n .
2. Kokonaisluku X siirtyy vasemmalle syklisesti k- paikalla, kun se kerrotaan kokonaisluvulla n . X on sitten toistamalla numeroa ¹ / _F , jolloin F on F ₀ = 10 ^k - n , tai tekijä F ₀ ; lukuun ottamatta kaikkia F- arvoja, jotka ovat enintään n ja jotka eivät ole kopio 10: een.

On välttämätöntä, että F on jaottomia 10, jotta ¹ / _F on toistuva desimaalin ilman edeltävän ei-toistuvia numeroa (ks moniosaista Toistuva desimaalin ). Jos on numeroita, jotka eivät ole jaksossa, niin vastaavaa ratkaisua ei ole.

Näistä kahdessa tapauksessa, kerrannaisina X eli ( j X ) ovat myös ratkaisuja, kunhan kokonaisluvun i täyttää ehdon ^{n j} / _F <1. Useimmiten on sopivaa valita pienin F , joka sopii yllä. Liuokset voidaan ilmaista kaavalla:

${\ displaystyle X = j {\ frac {10 ^ {p} -1} {F}}}$

jossa p on ajan pituus ¹ / _F ; ja F on tekijä F ₀ jaottomia 10.

Esimerkiksi, F ₀ = 1260 = 2 ² × 3 ² × 5 × 7. Kertoimet lukuun ottamatta 2 ja 5 lasketaan uudelleen arvoksi F = 3 ² × 7 = 63. Vaihtoehtoisesti, poista kaikki päättyvät nollat luvusta 1260, jotta ne muuttuvat 126: ksi, sitten jaa sitten se 2: lla (tai 5: llä) iteratiivisesti, kunnes osamäärä ei ole enää jaollinen 2: lla (tai 5: llä). Tulos on myös F = 63.

Poissulkemiseksi kokonaislukuja, jotka alkavat nollat ratkaisuista, valitse kokonaisluku j siten, että ^j / _F > ¹ / ₁₀ , eli j > ^F / ₁₀ .

Ei ole ratkaisu, kun n > F .

Jaekerroin

Kokonaisluku X siirtyminen vasemmalle syklisesti k asentoihin, kun se kerrotaan murto ⁿ / _s . X on niin toistuva numeroa ^s / _F , jolloin F on F ₀ = s 10 ^k - n , tai tekijä F ₀ ; ja F: n on oltava kopioaika 10: een.

Tämän Kolmannessa tapauksessa kerrannaisina X , eli ( j X ) ovat jälleen ratkaisuja, vaan ehdon on täytyttävä kokonaisluku j on, että ^{n j} / _F <1. Jälleen on kätevää valita pienimmän F , joka sopii yllä.

Liuokset voidaan ilmaista kaavalla:

${\ displaystyle X = js {\ frac {10 ^ {p} -1} {F}}}$

jossa p on määritelty samoin; ja F tehdään kopio 10: een samalla prosessilla kuin aikaisemmin.

Poissulkemiseksi kokonaislukuja, jotka alkavat nollat ratkaisuista, valitse kokonaisluku j siten, että ^{j: n} / _F > ¹ / ₁₀ , eli j > ^F / _{10 s} .

Uudelleen, jos ^{j a} / _F > 1, ei ole ratkaisua.

Suora edustus

Suora algebran lähestymistapa edellä mainittuihin tapauksiin integraalin kertoimella johtaa seuraavaan kaavaan:

1. ${\ displaystyle X = D {\ frac {10 ^ {m} -1} {n10 ^ {k} -1}},}$

   missä m on X : n ja D : n numeroiden lukumäärä , k- numeroinen luku, joka on siirretty X : n alapäästä n x : n yläosaan , täyttää D <10 ^k .

   Jos numerot eivät ole olla johtava nollia, sitten n  10 ^{k  - 1} ≤ D .

2. ${\ displaystyle X = D {\ frac {10 ^ {m} -1} {10 ^ {k} -n}},}$

   missä m on X : n ja D : n numeroiden lukumäärä , k- numeroinen luku, joka on siirretty X : n yläpäästä n X : n alaosaan , täyttää:

   1. ${\ displaystyle D <{\ frac {10 ^ {k}} {n}} - 1,}$
   2. ja 10-osa (tuote ehdot, jotka vastaavat alkulukuja 2 ja 5 factorization ) 10 ^k  -  n jakaa D .

      Kokonaisluvun t 10-osaa lyhennetään usein${\ displaystyle \ käyttäjänimi {gcd} \ vasen (10 ^ {\ infty}, t \ oikea).}$

   Jos numerot eivät ole olla johtava nollia, sitten 10 ^{k  - 1} ≤ D .

Syklinen permutaatio kertomalla

Pitkä jako 1: llä 7 antaa:

        0.142857...
    7 ) 1.000000
         .7
          3
          28
           2
           14
            6
            56
             4
             35
              5
              49
               1

Viimeisessä vaiheessa 1 ilmestyy uudelleen jäljellä. Sykliset jäännökset ovat {1, 3, 2, 6, 4, 5}. Kirjoitamme osamäärät vastaavilla osingoilla / jäännöksillä niiden yläpuolella kaikissa vaiheissa:

    Dividend/Remainders    1 3 2 6 4 5
    Quotients              1 4 2 8 5 7

ja huomaa myös, että:

• ​¹ ⁄ ₇ = 0,142857 ...
• ​³ ⁄ ₇ = 0,428571 ...
• ​² ⁄ ₇ = 0,285714 ...
• ​⁶ ⁄ ₇ = 0,857142 ...
• ​⁴ ⁄ ₇ = 0,571428 ...
• ​⁵ ⁄ ₇ = 0,714285 ...

Tarkkailemalla jäljellä olevia osia kussakin vaiheessa, voimme siten suorittaa halutun syklisen permutaation kertomalla. Esimerkiksi,

• Loppuosaa 1 vastaava kokonaisluku 142857 jatkaa arvoon 428571 kerrottuna 3: lla, jälkimmäisen vastaava loppuosa.
• Loppuosaa 1 vastaava kokonaisluku 142857 säilyy 857142: na kerrottuna 6: lla, jälkimmäisen vastaava loppuosa.
• Kokonaisluku 857142, joka vastaa loput 6, järjestyksenvaihtamiset on 571428 kerrottuna ⁵ / ₆ ; eli jaettuna 6: lla ja kerrottuna 5: llä, vastaava jälkimmäinen jäljelle jäävä osa.

Tällä tavalla voidaan suorittaa minkä tahansa määrän asentoja syklisesti vasemmalle tai oikealle.

Ei niin tärkeätä, että tätä tekniikkaa voidaan käyttää mihin tahansa kokonaislukuun, joka siirtyy syklisesti oikealle tai vasemmalle minkä tahansa määrän paikkoja seuraavasta syystä:

• Jokainen toistuva desimaali voidaan ilmaista rationaaliluvuna (murto).
• Jokainen kokonaisluku, kun lisätään desimaalipilkun edessä ja ketjutetaan itse ääretön kertaa, voidaan muuntaa osa, esimerkiksi voidaan muuttaa 123456 tällä tavalla +0,123456123456 ..., jotka voidaan näin ollen muuntaa osa ¹²³⁴⁵⁶ / ₉₉₉₉₉₉ . Tätä murto-osaa voidaan edelleen yksinkertaistaa, mutta sitä ei tehdä tässä.
• Permutoimiseksi kokonaisluku 123456-234561, kaikki mitä tarvitsee tehdä, on kertoa 123456 vuoteen ²³⁴⁵⁶¹ / ₁₂₃₄₅₆ . Tämä näyttää huijausta, mutta jos ²³⁴⁵⁶¹ / ₁₂₃₄₅₆ on kokonaisluku (tässä tapauksessa se ei ole), operaatio on valmis.

Todistus kaavasta sykliselle oikealle siirtymiselle

Kokonaisluku X siirtyy syklisesti oikealle k- asemalla, kun se kerrotaan kokonaisluvulla n . Todista kaava.

Todiste

Ensin ymmärretään, että X on toistuvan desimaalin toistuvat numerot , joilla on aina jaksollinen käyttäytyminen kertoessa. Kokonaisluvulla X ja sen moninkertaisella n X: llä on silloin seuraava suhde:

1. Kokonaisluku X on toistuva numeroa osa ¹ / _F , sanoa d _p d _p-1 ... d ₃ d ₂ d ₁ , jossa d _p , d _p-1 , ..., d ₃ , d ₂ ja d ₁ kukin edustaa numeron ja p on määrä numeroita.
2. Useita nX on siis toistamalla numeroa osa ⁿ / _F , sanoa d _k d _k-1 ... d ₃ d ₂ d ₁ d _p d _p-1 ... d _{k + 2} d _{k + 1} , joka edustaa tuloksia k- aseman syklisen siirron jälkeen oikealta .
3. F on oltava keskenään jaottomia 10 niin, että kun ¹ / _F ilmaistaan desimaalin ei ole edeltävän ei-toistuvia numeroa muuten toistamalla desimaalin ei omaa syklistä käyttäytymistä kertolasku.
4. Jos ensimmäinen loppuosa on pidetty n sitten 1 on oltava ( k + 1) ^{: nnen} loput pitkällä jaosta ⁿ / _F , jotta tämä syklisen permutaation tapahtua.
5. Jotta n × 10 ^k = 1 (mod F ), niin F on joko F ₀ = ( n × 10 ^k - 1) tai kerroin F ₀ ; mutta lukuun ottamatta kaikkia arvoja, jotka ovat korkeintaan n, ja kaikkia arvoja, joilla on ei-triviaalinen yhteiskerroin 10: n kanssa, kuten edellä johdettiin.

Tämä täydentää todisteita.

Todistus kaavasta sykliselle vasemmalle siirtymiselle

Kokonaisluku X siirtyy syklisesti vasemmalle k- paikasta, kun se kerrotaan kokonaisluvulla n . Todista kaava.

Todiste

Ensin tunnistetaan, että X on toistuvan desimaalin toistuvat numerot , joilla on aina syklinen käyttäytyminen kertoessa. Kokonaisluvulla X ja sen moninkertaisella n X: llä on silloin seuraava suhde:

1. Kokonaisluku X on toistuva numeroa osa ¹ / _F , sanoa d _p d _p-1 ... d ₃ d ₂ d ₁ .
2. Useita nX on siis toistamalla numeroa osa ⁿ / _F , sanoa d _p-k d _p-k-1 ... d ₃ d ₂ d ₁ d _p d _p-1 ... d _{p-k + 1} ,

joka edustaa tuloksia k- aseman vasemman jaksollisen muutoksen jälkeen .

1. F on oltava keskenään jaottomia 10 niin, että ¹ / _F on ei aiemmin ei-toistuvia numeroa muuten toistamalla desimaalin ei omaa syklistä käyttäytymistä kertolasku.
2. Jos ensimmäinen loppuosa on pidetty 1, sitten n on oltava ( k + 1) ^{: nnen} loput pitkällä jaosta ¹ / _F , jotta tämä syklisen permutaation tapahtua.
3. Jotta 1 × 10 ^k = n (moodi F ), niin F on joko F ₀ = (10 ^k - n ) tai kerroin F ₀ ; mutta lukuun ottamatta arvoa, joka on korkeintaan n , ja mitä tahansa arvoa, jolla on ei-triviaali yhteiskerroin 10: n kanssa, kuten edellä johdettiin.

Tämä täydentää todisteita. Todiste ei-kiinteä kertojan, kuten ⁿ / _s voidaan johtaa samalla tavalla ja ei kuvata tässä.

Siirtyy kokonaisluku syklisesti

Permutaatiot voivat olla:

• Siirtyminen oikealle syklisesti yhdellä paikalla ( loisluku );
• Siirtyminen oikealle syklisesti kaksoisasennoilla;
• Siirtyminen oikealle syklisesti millaisella lukumäärällä asentoja;
• Vaihtaminen vasemmalle syklisesti yhdessä asennossa;
• Vaihtaminen vasemmalle syklisesti kaksoisasennoilla; ja
• Siirtyminen vasemmalle syklisesti minkä tahansa määrän sijainteja

Parasiittiset numerot

Kun loisluku kerrotaan n: llä, se ei vain osoita syklistä käyttäytymistä, vaan permutaatio on sellainen, että loisluvun viimeisestä numerosta tulee nyt monikerta. Esimerkiksi, 102564 x 4 = 410256. Huomaa, että 102564 on toistuva numeroa ⁴ / ₃₉ ja 410256 toistuvia numeroa ¹⁶ / ₃₉ .

Siirtyminen oikealle syklisesti kaksoisasennoilla

Kokonaisluku X muuttuu oikein syklisesti kaksoisasennoilla, kun se kerrotaan kokonaisluvulla n . X on sitten toistamalla numeroa ¹ / _F , jolloin F = n x 10 ² - 1; tai sen tekijä; lukuun ottamatta arvot, jotka ¹ / _F jakso on pituudeltaan jakamalla 2 (tai vastaavasti pienempi kuin 3); ja F: n on oltava kopioaika 10: een.

Useimmiten on kätevää valita pienin F, joka sopii yllä olevaan.

Yhteenveto tuloksista

Seuraava kertoaminen siirtää kunkin alkuperäisen kokonaisluvun kaksi viimeistä numeroa kahteen ensimmäiseen numeroon ja siirtää kaikki muut numerot oikealle:

Kertoja n	Ratkaisu	Edustaa	Muut ratkaisut
2	0050251256 2814070351 7587939698 4924623115 5778894472 3618090452 2613065326 6331658291 4572864321 608040201	​1 / 199 x 2 = 2 / 199 jakso = 99 eli 99 toista numeroa.	​2 / 199 , 3 / 199 , ..., 99 / 199
3	0033444816 0535117056 8561872909 6989966555 1839464882 9431438127 090301	​1 / 299 x 3 = 3 / 299 jakso = 66 299 = 13 × 23	​2 / 299 , 3 / 299 , ..., 99 / 299 joitain erityistapauksia on kuvattu alla
3	076923	​1 / 13 x 3 = 3 / 13 jakso = 6	​2 / 13 , 3 / 13 , 4 / 13
3	0434782608 6956521739 13	​1 / 23 x 3 = 3 / 23 jakso = 22	​2 / 23 , 3 / 23 , ..., 7 / 23
4	0025062656 64160401	​1 / 399 x 4 = 4 / 399 jakso = 18 399 = 3 × 7 × 19	​2 / 399 , 3 / 399 , ..., 99 / 399 joitain erityistapauksia on kuvattu alla
4	142857	​1 / 7 x 4 = 4 / 7 jakso = 6	-
4	0526315789 47368421	​1 / 19 x 4 = 4 / 19 jakso = 18	​2 / 19 , 3 / 19 , 4 / 19
5	( syklinen luku jaksolla 498)	​1 / 499 x 5 = 5 / 499 499 on täydellinen reptend prime	​2 / 499 , 3 / 499 , ..., 99 / 499

Ota huomioon, että:

• 299 = 13 x 23, ja ajan ¹ / ₂₉₉ on tarkasti määritetään kaavalla, LCM (6, 22) = 66, mukaan Toistuvat desimaalin # yleistys .
• 399 = 3 x 7 x 19, ja ajan ¹ / ₃₉₉ on tarkasti määritetään kaavalla, LCM (1, 6, 18) = 18.

On monia muita mahdollisuuksia.

Vaihtaminen vasemmalle syklisesti yhdessä asennossa

Ongelma: Kokonaisluvun X siirtyminen vasemmalle syklisesti yhden asennossa, kun se kerrotaan 3. Etsi X .

Ratkaisu: Ensin tunnistetaan, että X on toistuvan desimaalin toistuvat numerot , joilla on aina mielenkiintoista syklistä käyttäytymistä kertolaskuissa. Kokonaisluvulla X ja sen moninkertaisella on sitten seuraava suhde:

• Kokonaisluku X on toistuva numeroa osa ¹ / _F , sanoa ab *** .
• Useita on siis toistamalla numeroa osa ³ / _F , sanoa b *** .
• Jotta tämä syklisen permutaation tapahtuvat, sitten 3 on seuraava loput pitkällä jaosta ¹ / _F . Siten F on 7, koska 1 × 10 ÷ 7 antaa loput 3.

Tämä antaa tulokset:

X = toistuvia numeroa ¹ / ₇

= 142857, ja

useita = 142857 x 3 = 428571, toistuvat numeroa ³ / ₇

Toinen ratkaisu edustaa ² / ₇ x 3 = ⁶ / ₇ :

• 285714 x 3 = 857142

Muita ratkaisuja ei ole, koska:

• Kokonaisluku n on myöhemmin loput pitkä jako murto- ¹ / _F . Ottaen huomioon, että n = 10 - F, ja F on yhteisiä tekijöitä 10, jotta ¹ / _F on toistuva desimaalin, niin n on oltava pienempi kuin 10.
• Ja n = 2, F on oltava 10-2 = 8. Kuitenkin ¹ / ₈ ei generoi toistamalla desimaalin, sama pätee n = 5.
• Ja n = 7, F on oltava 10-7 = 3. Kuitenkin 7> 3 ja ⁷ / ₃ = 2,333> 1, ja ei sovi tarkoitukseen.
• Samoin ei ole olemassa ratkaisua muita kokonaisluku n vähemmän kuin 10, paitsi n = 3.

Kuitenkin, jos kertojaa ei ole rajoitettu kokonaislukuksi (vaikka ruma), tästä menetelmästä löytyy monia muita ratkaisuja. Esimerkiksi, jos kokonaisluku X siirtyminen oikealle syklisesti yhden asennossa, kun se kerrotaan ³ / ₂ , niin 3 on seuraava loput jälkeen 2 pitkä jako murto- ² / _F . Tämä päättelee, että F = 2 x 10-3 = 17, jolloin X kuten toistuvia numeroa ² / ₁₇ , eli 1176470588235294, ja sen useita on 1764705882352941.

Seuraavassa on yhteenveto joistakin tällä tavalla löydetyistä tuloksista:

Kertoja n / s​	Ratkaisu	Edustaa	Muut ratkaisut
​1 ⁄ 2	105263157894736842	​2 / 19 x 1 / 2 = 1 / 19 2 - loisluku	Muut 2-loisten numerot: ​4 / 19 , 6 / 19 , 8 / 19 , 10 / 19 , 12 / 19 , 14 / 19 , 16 / 19 , 18 / 19
​3 ⁄ 2	1176470588235294	​2 / 17 x 3 / 2 = 3 / 17	​4 / 17 , 6 / 17 , 8 / 17 , 10 / 17
​7 ⁄ 2	153846	​2 / 13 x 7 / 2 = 7 / 13	-
​9 ⁄ 2	18	​2 / 11 x 9 / 2 = 9 / 11	-
​7 ⁄ 3	1304347826086956521739	​3 / 23 x 7 / 3 = 7 / 23	​6 / 23 , 9 / 23 , 12 / 23 , 15 / 23 , 18 / 23 , 21 / 23
​19 ⁄ 4	190476	​4 / 21 x 19 / 4 = 19 / 21	-

Siirtyminen vasemmalle syklisesti kaksoisasennoilla

Kokonaisluku X siirtyy vasemmalle syklisesti kaksoisasennoilla, kun se kerrotaan kokonaisluvulla n . X on sitten toistamalla numeroa ¹ / _F , jolloin F on R = 10 ² - n, tai kertoimella R ; lukuun ottamatta arvot F , joista ¹ / _F jakso on pituudeltaan jakamalla 2 (tai vastaavasti pienempi kuin 3); ja F: n on oltava kopioaika 10: een.

Useimmiten on kätevää valita pienin F, joka sopii yllä olevaan.

Yhteenveto tuloksista

Seuraavassa esitetään yhteenveto joistakin tällä tavoin saaduista tuloksista, joissa numeroiden väliset valkoiset välilyönnit jakavat numerot 10-numeroisiin ryhmiin:

Kertoja n	Ratkaisu	Edustaa	Muut ratkaisut
2	142857	​1 / 7 x 2 = 2 / 7	​2 / 7 , 3 / 7
3	0103092783 5051546391 7525773195 8762886597 9381443298 9690721649 4845360824 7422680412 3711340206 185567	​1 / 97 x 3 = 3 / 97	​2 / 97 , 3 / 97 , 4 / 97 , 5 / 97 , ...., 31 päivään / 97 , 32 / 97
4	Ei ratkaisua	-	-
5	0526315789 47368421	​1 / 19 x 5 = 5 / 19	​2 / 19 , 3 / 19
6	0212765957 4468085106 3829787234 0425531914 893617	​1 / 47 x 6 = 6 / 47	​2 / 47 , 3 / 47 , 4 / 47 , 5 / 47 , 6 / 47 , 7 / 47
7	0322580645 16129	​1 / 31 päivään x 7 = 7 / 31 päivään	​2 / 31 päivään , 3 / 31 päivään , 4 / 31 päivään ​1 / 93 , 2 / 93 , 4 / 93 , 5 / 93 , 7 / 93 , 8 / 93 , 10 / 93 , 11 / 93 , 13 / 93
8	0434782608 6956521739 13	​1 / 23 x 8 = 8 / 23	​2 ⁄ 23
9	076923	​1 / 13 x 9 = 9 / 13	​1 / 91 , 2 / 91 , 3 / 91 , 4 / 91 , 5 / 91 , 6 / 91 , 8 / 91 , 9 / 91 , 10 / 91
10	Ei ratkaisua	-	-
11	0112359550 5617977528 0898876404 4943820224 7191	​1 / 89 x 11 = 11 / 89	​2 / 89 , 3 / 89 , 4 / 89 , 5 / 89 , 6 / 89 , 7 / 89 , 8 / 89
12	Ei ratkaisua	-	-
13	0344827586 2068965517 24137931	​1 / 29 x 13 = 13 / 29	​2 ⁄ 29 ​1 / 87 , 2 / 87 , 4 / 87 , 5 / 87 , 6 / 87
14	0232558139 5348837209 3	​1 / 43 x 14 = 14 / 43	​2 / 43 , 3 / 43
15	0588235294 117647	​1 / 17 x 15 = 15 / 17	-

Muut emäkset

In duodecimal järjestelmä, transposoituvan kokonaisluvut ovat: (käyttämällä käänteinen kaksi ja kolme kymmenen ja yksitoista, vastaavasti)

Kertoja n	Pienin ratkaisu siten, että kertominen siirtää viimeisen numeron vasemmalle	numeroa	Edustaa	Pienin ratkaisu siten, että kertominen siirtyy ensimmäisen numeron oikealle	numeroa	Edustaa
2	06316948421	Ɛ	​1 / 1Ɛ x 2 = 2 / 1Ɛ	2497	4	​1 / 5 x 2 = 2 / 5
3	2497	4	​1 / 5 x 3 = 3 / 5	ei ratkaisua
4	0309236 ᘔ 8820 61647195441	1Ɛ	​1 / 3Ɛ x 4 = 4 / 3Ɛ	ei ratkaisua
5	025355 ᘔ 94330 73 ᘔ 458409919 Ɛ7151	25	​1 / 4Ɛ x 5 = 5 / 4Ɛ	186 ᘔ 35	6	​1 / 7 x 5 = 5 / 7
6	020408142854 ᘔ 997732650 ᘔ 1 83469163061	2Ɛ	​1 / 5Ɛ x 6 = 6 / 5Ɛ	ei ratkaisua
7	01899Ɛ864406 Ɛ33ᘔᘔ 1542391 374594930525 5Ɛ171	35	​1 / 6Ɛ x 7 = 7 / 6Ɛ	ei ratkaisua
8	076Ɛ45	6	​1 / 17 x 8 = 8 / 17	ei ratkaisua
9	014196486344 59Ɛ9384Ɛ26Ɛ5 33040547216 ᘔ 1155Ɛ312978 ᘔ 3991	45	​1 / 8Ɛ x 9 = 9 / 8Ɛ	ei ratkaisua
ᘔ	08579214Ɛ364 29 ᘔ 7	14	​1 / 15 x ᘔ = ᘔ / 15	ei ratkaisua
Ɛ	011235930336 ᘔ 53909 ᘔ873Ɛ3 25819Ɛ997505 5Ɛ54ᘔ 3145 ᘔ 42 694157078404 491Ɛ1	55	​1 / ᘔƐ x Ɛ = Ɛ / ᘔƐ	ei ratkaisua

Huomaa, että "Siirtyminen vasemmalle syklisesti yhden sijainnin avulla" -ongelmalla ei ole ratkaisua kertoimelle, joka on pienempi kuin 12 paitsi 2 ja 5, samassa desimaalijärjestelmän tehtävässä ei ole ratkaisua kertoimelle, joka on pienempi kuin 10 paitsi 3.

Huomautuksia

Viitteet

• P. Yiu, k-oikea-siirrettävät kokonaisluvut, k-vasen-siirrettävät kokonaisluvut Luku 18.1, 18.2, s. 168/360, 'Virkistysmatematiikka', https://web.archive.org/web/20090901180500/http:/ /math.fau.edu/Yiu/RecreationalMathematics2003.pdf
• CA Pickover , Wonders of Numbers , luku 28, Oxford University Press UK, 2000.
• Sloane, N. J. A. (toimitettu). "Jakso A092697 (1 <= n <= 9, a (n) = pienin luku m siten, että tulos n * m saadaan vain siirtämällä m: n oikeanpuoleisin numero vasempaan päähän)" . -Line Encyclopedia Kokonaisluku- Jaksot . OEIS-säätiö.
• Gardner, Martin. Matemaattinen sirkus: Lisää palapelit, pelit, paradoksidit ja muut matemaattiset viihteet tieteellisestä amerikkalaisesta. New York: Amerikan matemaattinen yhdistys, 1979. s. 111–122.
• Kalman, Dan; 'Fraktiot pyöräilynumerokuvioilla' The College Mathematics Journal, voi. 27, nro 2. (maaliskuu 1996), s. 109–115.
• Leslie, John. "Aritmeetian filosofia: Progressiivisen kuvan esittäminen .... teoriasta ja käytännöstä" , Longman, Hurst, Rees, Orme ja Brown, 1820, ISBN  1-4020-1546-1
• Wells, David; " Uutisten ja mielenkiintoisten numeroiden Penguin-sanakirja " , Penguin Press. ISBN  0-14-008029-5