Transponowany całkowitą - Transposable integer

Cyfry pewnych konkretnych liczb permutacji lub przesunąć cyklicznie, gdy są one mnożone przez liczbę n . Przykładami są:

142857 x = 3 428571 (przesunięcia cyklicznego jedno miejsce)
142857 x 5 = 714285 (przesunięcie cyklicznie jedno miejsce w prawo)
128205 x 4 = 512820 (przesunięcie cyklicznie jedno miejsce w prawo)
076923 x 9 = 692307 (przenosi cyklicznie dwa miejsca z lewej)

Te konkretne liczby całkowite, zwane do transpozycji liczb , może być, ale nie zawsze są numery cykliczne . Charakterystyka takich ilościach, może być wykonane za pomocą powtarzalnych dziesiętne (a więc i związanych z frakcji) lub bezpośrednio.

Zawartość

1 Ogólne
2 Sposób Frakcja
- 2.1 Zintegrowany mnożnik
- 2,2 frakcyjny mnożnik
3 bezpośrednie reprezentacja
4 cykliczny permutacji przez mnożenie
5 Potwierdzenie wzorze cyklicznej właściwej pracy zmianowej
6 Dowód wzorze cyklicznej pracy zmianowej lewej
7 Przejście liczbę całkowitą cyklicznie
8 pasożytnicze numery
9 Przesunięcie w prawo cyklicznie przez podwójnych stanowisk
- 9.1 Podsumowanie wyników
10 Przesunięcie w lewo w jednym położeniu cyklicznie
11 Przesunięcie lewo cyklicznie podwójnych pozycjach
- 11,1 Podsumowanie wyników
12 Innymi zasadami
13 Uwagi
14 Odnośniki

Generał

Dla każdej liczby całkowitej względnie pierwsze do 10, jego odwrotność jest powtarzanie dziesiętny bez jednorazowych cyfr. Np ¹ / ₁₄₃ = 0. 006993 006993 006993 ...

Podczas gdy ekspresja jednego szeregowo VINCULUM na górze jest wystarczające, Intencją powyższego wyrażenia jest wykazanie, że sześć cykliczne permutacji z 006993 można otrzymać z tego powtarzającego przecinku jeśli wybrać sześciu kolejnych cyfr z powtarzalnym przecinku wychodząc z różnych cyfr.

To pokazuje, że kombinacje cykliczne są w jakiś sposób związany z powtarzających przecinku i odpowiednie frakcje.

Największy wspólny dzielnik (GCD) między dowolnym cyklicznym permutacji w m -cyfrowy całkowitą do 10 ^m - 1 jest stała. Wyrażając to w postaci wzoru,

{\ Displaystyle \ GCD \ lewo (N 10 ^ m {} -1 \ prawej) = \ GCD \ lewo (N_ {c} 10 ^ {m} -1 \ prawej)}

gdzie N jest m całkowitą -cyfrowy; i N _c jakikolwiek cykliczny permutacji N .

Na przykład,

   gcd(091575, 999999) = gcd(3²×5²×11×37, 3³×7×11×13×37)
                       = 3663
                       = gcd(915750, 999999)
                       = gcd(157509, 999999)
                       = gcd(575091, 999999)
                       = gcd(750915, 999999)
                       = gcd(509157, 999999)

Jeżeli dotyczy to jest m całkowitą -cyfrowy, liczba N _C , otrzymany przez przesunięcie N w lewo cyklicznie, mogą być uzyskane z:

{\ N_ displaystyle {c} = 10N-d \ lewy (10 ^ {m} -1 \ prawej) \}

gdzie d jest pierwsza cyfra N i m oznacza liczbę cyfr.

Wyjaśnia to powyżej wspólnej GCD i zjawisko to prawdziwe w dowolnej podstawy , jeśli 10 jest zastąpiony przez B , podłoża.

Permutacje cykliczne są w ten sposób związane z powtarzających dziesiętne, odpowiednie frakcje i dzielników 10 ^m -1. Przykłady powiązane frakcjach powyżej permutacji cykliczne są w następujący sposób:

⁰⁹¹⁵⁷⁵ / ₉₉₉₉₉₉ ,^+915.750 / _999.999 ,^157.509 / _999.999 ,^575.091 / _999.999 ,⁷⁵⁰⁹¹⁵ / ₉₉₉₉₉₉ , a^+509.157 / ₉₉₉₉₉₉ .

Zredukowana do swoich najniższych kategoriach wykorzystujących wspólny GCD, są to:

²⁵ / ₂₇₃ ,²⁵⁰ / ₂₇₃ ,⁴³ / ₂₇₃ ,¹⁵⁷ / ₂₇₃ ,²⁰⁵ / ₂₇₃ , i¹³⁹ / ₂₇₃ .

Oznacza to, że te frakcje, gdy wyrażone w najniższych kategoriach , mają ten sam mianownik. To jest prawdziwe dla cyklicznych permutacji każdej liczby całkowitej.

metoda frakcja

integralną mnożnik

Integralną mnożący dotyczy Mnożnik n oznacza liczbę całkowitą:

Liczba całkowita x przesunięcie w prawo cyklicznie k pozycji, gdy jest pomnożony przez liczb całkowitych n . X jest następnie powtarzające cyfry ¹ / _F , przy czym F jest F ₀ = n 10 ^k - 1 ( C ₀ jest względnie pierwsze do 10) lub współczynnik F ₀ ; z wyłączeniem wartości F o nie więcej niż n .
Liczba całkowita x przesunięcie w lewo cyklicznie k pozycji, gdy jest pomnożony przez liczb całkowitych n . X jest następnie powtarzające cyfry ¹ / _F , przy czym F jest F ₀ = 10 ^K - n lub współczynnik F ₀ ; z wyłączeniem wartości F o nie więcej niż N , i które nie są względnie pierwsze do 10.

Konieczne jest, aby być względnie pierwsze C do 10 w kolejności ¹ / _F jest powtarzalnym dziesiętny bez poprzednich cyfr nie powtarzające się (patrz kilka odcinków Powtarzając po przecinku ). Jeśli są cyfry nie w terminie, to nie ma odpowiedniego rozwiązania.

W tych dwóch ostatnich przypadkach wielokrotności X , to jest ( J X ) są także roztwory pod warunkiem, że liczba całkowita I spełnia warunek ^nj / _F <1. Najczęściej jest to wygodne, aby wybrać najmniejszy F , który pasuje do wyżej wymienionych. Roztwory można wyrazić za pomocą wzoru:

{\ Displaystyle X = J {\ Frac {10} ^ P {{M -1}}}}

gdzie P jest długością okresu ¹ / _F ; i K jest czynnikiem F ₀ względnie pierwsze do 10.

Np F ₀ = 1260 = 2, ² x 3 ² x 5 x 7. Współczynniki wyjątkiem 2 i 5 Przeskładaj do F = 3 ² x 7 = 63. Alternatywnie wykreślić wszystkie kończące zera od 1260 się 126, a następnie dzielenie to o 2 (lub 5) iteracyjnie aż iloraz nie więcej podzielna przez 2 (lub 5). Wynikiem jest F = 63.

Aby wykluczyć liczby całkowite, które zaczynają się od zera rozwiązań, wybierz całkowitą j takie, że ^j / _F > ¹ / ₁₀ , czyli j > ^F / ₁₀ .

Nie ma rozwiązanie, gdy n > F .

ułamkową mnożnika

Liczba całkowita x przesunięcie w lewo cyklicznie k pozycji, gdy jest pomnożony przez ułamek ⁿ / _s . X jest następnie powtarzające cyfry ^e / _F , przy czym F jest F ₀ = S 10 ^k - ń lub czynnik o F ₀ ; i F muszą być względnie pierwsze do 10.

W tym ostatnim przypadku wielokrotności X , to jest ( J X ) są ponownie rozwiązania, ale warunek jest spełniony dla liczb całkowitych j jest taka, że ^{n j} / _F <1. Ponownie, jest wygodne, aby wybrać najmniejszy F , który pasuje do wyżej wymienionych.

Roztwory można wyrazić za pomocą wzoru:

{\ Displaystyle X = js {\ Frac {10} ^ P {{M -1}}}}

gdzie P jest definiowany podobnie; i K jest względnie pierwsze do 10, w taki sam sposób, jak poprzednio.

Aby wykluczyć liczby całkowite, które zaczynają się od zera z roztworów, wybrać liczbę całkowitą j , tak że ^{j S} / _M > ¹ / ₁₀ , to znaczy j > ^F / _{10 s} .

Ponownie, ^{J y} / _C > 1, nie ma żadnego rozwiązania.

Bezpośredni reprezentacja

Algebra bezpośrednie podejście do całkowania powyższych przypadkach prowadzi do następującego wzoru:

${\ Displaystyle X = D {\ Frac {10 ^ {m} -1} {n10 ^ {k} -1}}}$

gdzie m oznacza liczbę cyfr X i D The k liczba -cyfrowy przesunięty od dolnej wartości X do górnej granicy n X , spełnia D <10 ^K .

Jeśli numery nie mają zer, następnie n 10 ^{k - 1} ≤ D .
${\ Displaystyle X = D {\ Frac {10 ^ {m} -1} {10} {K ^ N}}}$ $X = D \ Frac {10 ^ m-1} {10} ^ PLN,$
gdzie m oznacza liczbę cyfr X i D The k liczba -cyfrowy przesunięty z górnym końcu X na dolnym końcu n X , spełnia:
1. ${\ Displaystyle D <{\ uł ^ {10} {k} {n}} - 1}$
2. i 10 części (produkt warunków odpowiadających liczb pierwszych 2 i 5 faktoryzacji ) 10 ^k - n dzieli D .
  10-część całkowitej t często skrótowo ${\ Displaystyle \ OperatorName {GCD} \ lewo (10 ^ {\ infty} t \ po prawej).}$
Jeśli numery nie mają zer, następnie 10 ^{k - 1} ≤ D .

Cykliczne permutacji przez mnożenie

Długi podział 1 przez 7 daje:

        0.142857...
    7 ) 1.000000
         .7
          3
          28
           2
           14
            6
            56
             4
             35
              5
              49
               1

W ostatnim etapie 1 pojawia jako resztę. Resztki cykliczne są {1, 3, 2, 6, 4, 5}. Mamy przepisać ilorazów z analogicznym dywidendy / resztek nad nimi na wszystkich etapach:

    Dividend/Remainders    1 3 2 6 4 5
    Quotients              1 4 2 8 5 7

a także pamiętać, że:

¹ / ₇ = 0,142857 ...
³ / ₇ = 0,428571 ...
² / ₇ = 0,285714 ...
⁶ / ₇ = 0,857142 ...
⁴ / ₇ = 0,571428 ...
⁵ / ₇ = 0,714285 ...

Obserwując pozostałości na każdym etapie, można w ten sposób wykonać pożądany permutacji cykliczny mnożenie. Na przykład,

Liczba całkowita 142857, co odpowiada pozostałym 1 permutacji do 428571, po pomnożeniu przez 3, odpowiadającej reszty z tych ostatnich.
Liczba całkowita 142857, co odpowiada pozostałym 1 permutacji do 857142, po pomnożeniu przez wartość 6, odpowiadającą pozostałej części tego ostatniego.
Liczba całkowita 857142, co odpowiada pozostałym 6 permutacji do 571428, po pomnożeniu przez ⁵ / ₆ ; to jest podzielona przez 6 i mnoży się przez 5, odpowiedni pozostałej części tego ostatniego.

W ten sposób cykliczny lewo lub w prawo przesunięcie dowolnej liczbie stanowisk może być wykonana.

Mniej ważne, technika ta może być zastosowana do dowolnej liczby całkowitej, aby przesuwać cyklicznie w prawo lub w lewo o dowolnej liczby miejsc z następującego powodu:

powtarzając każde dziesiętna może być wyrażona jako liczba wymierna (frakcji).
Każda liczba całkowita, gdy dodaje się z przecinkiem przodu i łączone ze sobą nieograniczone razy, można przekształcić na ułamek, na przykład można przekształcić 123456 w ten sposób 0.123456123456 ..., które można w ten sposób przekształcić w frakcji ¹²³⁴⁵⁶ / ₉₉₉₉₉₉ , Frakcja ta może być dalej uproszczone, ale nie będzie to zrobić tutaj.
Do permutacji Integer 123456 do 234561, wszystko trzeba zrobić, to pomnożyć przez 123456 ²³⁴⁵⁶¹ / ₁₂₃₄₅₆ . To wygląda na oszustwo, ale jeśli ²³⁴⁵⁶¹ / ₁₂₃₄₅₆ jest liczbą całkowitą (w tym przypadku nie jest), misja jest zakończona.

Dowód wzorze cyklicznej właściwej pracy zmianowej

Liczba całkowita x przesunięcie cykliczne tuż k pozycji, gdy jest pomnożony przez liczbę całkowitą N . Okazać się formułę.

Dowód

Najpierw uznać, że X jest powtarzające się cyfry w powtarzającej przecinku , który ma zawsze zachowanie cykliczności mnożenia. Liczba całkowita x i wielokrotność nX wtedy mają następujące związki:

Liczba całkowita x jest powtarzające cyfry frakcji ¹ / _C , powiedzmy d _p d _{p 1} ... d ₃ d ₂ d ₁ , gdzie d _P , d _{p 1} , ..., d ₃ , d ₂ i d ₁ oznaczają cyfrę i p oznacza liczbę cyfr.
Wielokrotność nX jest zatem powtarzające się cyfry frakcja ⁿ / _F , np d _k d _k-1 ... d ₃ d ₂ d ₁ d _p d _{p 1} ... d _{k + 2} d _{k + 1} reprezentujących wyniki po prawej cyklicznego przesunięcia k pozycjach.
K musi być względnie pierwsze do 10 tak, że gdy ^jedno / _K wyrażona jest w po przecinku nie ma poprzedniego bez powtarzania cyfry dziesiętne inaczej powtarzająca nie wykazuje zachowanie cykliczności mnożenia.
Jeśli pierwszy pozostałość rozpuszcza się n następnie 1 będzie ( k + 1), ^p pozostający w długim podziału na ⁿ / _F w celu Cykliczny permutacji nastąpić.
Aby n x 10 ^k = 1 (model C ), po czym M jest albo F ₀ = ( n x 10 ^k - 1) lub współczynnik F ₀ ; ale z wyłączeniem wartości nie więcej niż n i każdej wartości o nietrywialne wspólny czynnik w 10, jak wskazuje powyżej.

To kończy dowód.

Dowód wzorze cyklicznej pracy zmianowej lewej

Liczba całkowita x przesunięcie cykliczne w lewo o k pozycji, gdy jest pomnożony przez liczb całkowitych n . Okazać się formułę.

Dowód

Najpierw uznać, że X jest powtarzające się cyfry w powtarzającej przecinku , który ma zawsze zachowanie cykliczności mnożenia. Liczba całkowita x i wielokrotność nX wtedy mają następujące związki:

Liczba całkowita x jest powtarzające cyfry frakcji ¹ / _F , np d _p d _{p 1} ... d ₃ d ₂ d ₁ .
Wielokrotność nX jest zatem powtarzające się cyfry frakcji ^N / _F , np d _P-K d _P-K-1 ... d ₃ d ₂ d ₁ d _p d _{p 1} ... du _{P-k + 1} ,

który przedstawia wyniki po lewej cyklicznym przesunięciem k pozycjach.

K musi być względnie pierwsze do 10 tak, że ¹ / _M ma poprzedni niepowtarzającego cyfry inaczej powtarzająca dziesiętne posiadającą cykliczny zachowanie mnożenia.
Jeśli pierwszy pozostałość rozpuszcza się 1, to n wynosi przycisk ( k + 1), ^p pozostający w długim regionie na ¹ / _F w celu cyklicznego permutacji nastąpić.
Aby 1 x 10 ^k = n (sposób C ), po czym M jest albo F ₀ = (10 ^K - n ) lub współczynnik F ₀ ; wyłączając wartość nie większą niż n i każda wartość o nietrywialne wspólny czynnik w 10, jak wskazuje powyżej.

To kończy dowód. Dowodem niezintegrowanych multiplikacji, takie jak ⁿ / _s może być uzyskane w podobny sposób, i nie są udokumentowane.

Przesunięcie liczbę całkowitą cyklicznie

Permutacje mogą być:

Cykliczne przesunięcie w prawo (w jednym położeniu numery pasożytnicze );
Przesunięcie w prawo cyklicznie przez podwójne stanowiska;
Przesunięcie w prawo cyklicznie przez dowolną liczbę stanowisk;
Ruchomych cyklicznie lewo w jednym położeniu;
Przesuwanie w lewo cyklicznie przez podwójne stanowiska; i
Przesuwanie w lewo cyklicznie przez dowolną liczbę stanowisk

numery pasożytnicze

Kiedy numer pasożytniczy jest mnożona przez N, a nie tylko wykazuje zachowanie cykliczny jednak przestawianie jest taka, że ostatnia cyfra liczby pasożytów się teraz pierwsza cyfra wielokrotności. Przykładowo, 102564 x 4 = 410256. Należy zauważyć, że 102564 jest powtarzające cyfry ⁴ / ₃₉ i 410256 Powtarzające cyfry ¹⁶ / ₃₉ .

Przesunięcie w prawo cyklicznie przez podwójnych stanowisk

Liczba całkowita x przesunięcie w prawo cyklicznie podwójnych pozycji, gdy jest pomnożony przez liczbę całkowitą N . X jest następnie powtarzające cyfry ¹ / _F , przy czym $F$ = n x 10 ² - 1; lub czynnikiem nim; z wyłączeniem wartości dla których ¹ / _M ma długość okresu rozdzielający 2 (lub, równoważnie, mniej niż 3); i $F$ muszą być względnie pierwsze do 10.

Najczęściej jest to wygodne, aby wybrać najmniejszy $F$ , który pasuje do powyższych.

Podsumowanie rezultatów

Poniższy mnożenie porusza dwie ostatnie cyfry każdego oryginalnego całkowitej do dwóch pierwszych cyfr i przesuwają się co inne cyfry:

mnożnik n	Rozwiązanie	Reprezentowane przez	Inne rozwiązania
2	0050251256 2814070351 7587939698 4924623115 5778894472 3618090452 2613065326 6331658291 4572864321 608040201	¹ / ₁₉₉ x 2 =² / ₁₉₉ Okres = 99 czyli 99 powtarzające się cyfry.	² / ₁₉₉ ,³ / ₁₉₉ , ...,⁹⁹ / ₁₉₉
3	0033444816 0535117056 8561872909 6989966555 1839464882 9431438127 090301	¹ / ₂₉₉ x 3 =³ / ₂₉₉ Okres = 66 299 = 13 x 23	² / ₂₉₉ ,³ / ₂₉₉ , ...,⁹⁹ / ₂₉₉ pewne szczególne przypadki są przedstawione poniżej
3	076923	¹ / ₁₃ x 3 =³ / ₁₃ Okres = 6	² / ₁₃ ,³ / ₁₃ ,⁴ / ₁₃
3	0434782608 6956521739 13	¹ / ₂₃ x 3 =³ / ₂₃ Okres = 22	² / ₂₃ ,³ / ₂₃ , ...,⁷ / ₂₃
4	0025062656 64160401	¹ / ₃₉₉ x 4 =⁴ / ₃₉₉ Okres = 18 399 = 3 x 7 x 19	² / ₃₉₉ ,³ / ₃₉₉ , ...,⁹⁹ / ₃₉₉ pewne szczególne przypadki są przedstawione poniżej
4	142857	¹ / ₇ x 4 =⁴ / ₇ Okres = 6	-
4	0526315789 47368421	¹ / ₁₉ x 4 =⁴ / ₁₉ Okres = 18	² / ₁₉ ,³ / ₁₉ ,⁴ / ₁₉
5	(a ilość cyklicznego o okresie 498)	¹ / ₄₉₉ x 5 =⁵ / ₄₉₉ 499 jest pełny reptend prime	² / ₄₉₉ ,³ / ₄₉₉ , ...,⁹⁹ / ₄₉₉

Należy pamiętać, że:

299 = 13 x 23, a okres od ¹ / ₂₉₉ jest dokładnie określona przez wzór, LCM (6, 22) = 66, według Powtarzając dziesiętny # uogólnienia .
399 = 3 x 7 x 19, a okres od ¹ / ₃₉₉ jest dokładnie określona przez wzór, LCM (1, 6, 18) = 18.

Istnieje wiele innych możliwości.

Przesuwanie w lewo cyklicznie w jednym położeniu

Problem: całkowita X przesunięcie w lewo cyklicznie w jednym położeniu, gdy jest mnożona przez 3. Znaleźć X .

Rozwiązanie: najpierw uznać, że X jest powtarzające się cyfry na ułamek dziesiętny nieskończony , który zawsze posiada jakiś ciekawy cykliczny zachowanie mnożenia. Liczba całkowita x i wielokrotność wtedy są następujące związki:

Liczba całkowita x jest powtarzające cyfry frakcji ¹ / _F , np ab *** .
Wielokrotna jest zatem powtarzające się cyfry z frakcji ³ / _C , powiedzmy b *** .
Aby to cykliczny permutacji nastąpi, następnie 3 będzie następna reszta w długim regionie na ¹ / _F . Zatem $M$ wynosi 7 w 1 x 10 ÷ 7 daje resztę 3.

To daje wyniki, które:

X = powtarzającej cyfry ¹ / ₇

= 142857 i

wielokrotność = 142857 x = 3 428571, powtarzająca się cyfry ³ / ₇

Innym rozwiązaniem jest reprezentowane przez ² / ₇ x 3 = ⁶ / ₇ :

285714 x 3 = 857.142

Nie istnieją inne rozwiązania, ponieważ:

Liczba całkowita n musi być następnie pozostałość w długim podział frakcji ¹ / _F . Biorąc pod uwagę, że n = 10 - F i F jest względnie pierwsze do 10 w celu ¹ / _C jako powtarzający dziesiętną, to n wynosi mniej niż 10.
Dla n = 2, K może być 10 - 2 = 8. Jednakże ¹ / ₈ nie generuje powtarzającą się po przecinku, podobnie dla n = 5.
Dla n = 7, C musi wynosić 10 - 7 = 3. Jednakże 7> 3 i ⁷ / ₃ = 2.333> 1 i nie pasuje do celu.
Podobnie nie ma rozwiązania dla każdej liczby całkowitej w n poniżej 10, z wyjątkiem n = 3.

Jednakże, jeżeli wielokrotność nie ogranicza się całkowitą (chociaż brzydki), istnieje wiele innych rozwiązań tego sposobu. Na przykład, jeżeli pewna liczba całkowita X, przesunięcie w prawo cyklicznie w jednym położeniu, gdy jest pomnożony przez ³ / ₂ , 3 są następnie kolejna reszta po 2 w długim podział frakcji ² / _F . To wnioskuje, że F = 2 x 10 - 3 = 17, co daje X jako powtarzająca cyfry ² / ₁₇ , to znaczy 1176470588235294, a wielokrotność jest 1764705882352941.

Poniżej znajduje się podsumowanie niektórych wyników znalezionych w ten sposób:

Mnożnik ⁿ / _s	Rozwiązanie	Reprezentowane przez	Inne rozwiązania
¹ / ₂	105263157894736842	² / ₁₉ x¹ / ₂ =¹ / ₁₉ 2- liczba pasożytnicze	Inne liczby dwa pasożytnicze: ⁴ / ₁₉ ,⁶ / ₁₉ ,⁸ / ₁₉ ,¹⁰ / ₁₉ ,¹² / ₁₉ ,¹⁴ / ₁₉ ,¹⁶ / ₁₉ ,¹⁸ / ₁₉
³ / ₂	1176470588235294	² / ₁₇ x³ / ₂ =³ / ₁₇	⁴ / ₁₇ ,⁶ / ₁₇ ,⁸ / ₁₇ ,¹⁰ / ₁₇
⁷ / ₂	153846	² / ₁₃ x⁷ / ₂ =⁷ / ₁₃	-
⁹ / ₂	18	² / ₁₁ x⁹ / ₂ =⁹ / ₁₁	-
⁷ / ₃	1304347826086956521739	³ / ₂₃ x⁷ / ₃ =⁷ / ₂₃	⁶ / ₂₃ ,⁹ / ₂₃ ,¹² / ₂₃ ,¹⁵ / ₂₃ ,¹⁸ / ₂₃ ,²¹ / ₂₃
¹⁹ / ₄	190476	⁴ / ₂₁ x¹⁹ / ₄ =¹⁹ / ₂₁	-

Przesuwanie w lewo cyklicznie przez podwójnych stanowisk

Liczba całkowita x przesunięcie w lewo cyklicznie podwójnych pozycji, gdy jest pomnożony przez liczbę całkowitą N . X jest następnie powtarzające cyfry ¹ / _F , przy czym $F$ jest $R$ = 10, ² - N lub współczynnik $R$ ; z wyłączeniem wartości $F$ , dla których ¹ / _M ma długość okresu rozdzielający 2 (lub, równoważnie, mniej niż 3); i F muszą być względnie pierwsze do 10.

Najczęściej jest to wygodne, aby wybrać najmniejszy $F$ , który pasuje do powyższych.

Podsumowanie rezultatów

Poniżej podsumowano niektóre wyniki otrzymane w ten sposób, jeśli spacji pomiędzy cyframi cyfry podziału na grupy w 10 cyfr:

mnożnik n	Rozwiązanie	Reprezentowane przez	Inne rozwiązania
2	142857	¹ / ₇ x 2 =² / ₇	² / ₇ ,³ / ₇
3	0103092783 5051546391 7525773195 8762886597 9381443298 9690721649 4845360824 7422680412 3711340206 185567	¹ / ₉₇ x 3 =³ / ₉₇	² / ₉₇ ,³ / ₉₇ ,⁴ / ₉₇ ,⁵ / ₉₇ , ....,³¹ / ₉₇ ,³² / ₉₇
4	Brak rozwiązania	-	-
5	0526315789 47368421	¹ / ₁₉ x 5 =⁵ / ₁₉	² / ₁₉ ,³ / ₁₉
6	0212765957 4468085106 3829787234 0425531914 893617	¹ / ₄₇ x 6 =⁶ / ₄₇	² / ₄₇ ,³ / ₄₇ ,⁴ / ₄₇ ,⁵ / ₄₇ ,⁶ / ₄₇ ,⁷ / ₄₇
7	0322580645 16129	¹ / ₃₁ x 7 =⁷ / ₃₁	² / ₃₁ ,³ / ₃₁ ,⁴ / ₃₁ ¹ / ₉₃ ,² / ₉₃ ,⁴ / ₉₃ ,⁵ / ₉₃ ,⁷ / ₉₃ ,⁸ / ₉₃ ,¹⁰ / ₉₃ ,¹¹ / ₉₃ ,¹³ / ₉₃
8	0434782608 6956521739 13	¹ / ₂₃ x 8 =⁸ / ₂₃	² / ₂₃
9	076923	¹ / ₁₃ x 9 =⁹ / ₁₃	¹ / ₉₁ ,² / ₉₁ ,³ / ₉₁ ,⁴ / ₉₁ ,⁵ / ₉₁ ,⁶ / ₉₁ ,⁸ / ₉₁ ,⁹ / ₉₁ ,¹⁰ / ₉₁
10	Brak rozwiązania	-	-
11	0112359550 5617977528 0898876404 4943820224 7191	¹ / ₈₉ x 11 =¹¹ / ₈₉	² / ₈₉ ,³ / ₈₉ ,⁴ / ₈₉ ,⁵ / ₈₉ ,⁶ / ₈₉ ,⁷ / ₈₉ ,⁸ / ₈₉
12	Brak rozwiązania	-	-
13	0344827586 2068965517 24137931	¹ / ₂₉ x 13 =¹³ / ₂₉	² / ₂₉ ¹ / ₈₇ ,² / ₈₇ ,⁴ / ₈₇ ,⁵ / ₈₇ ,⁶ / ₈₇
14	0232558139 5348837209 3	¹ / ₄₃ x 14 =¹⁴ / ₄₃	² / ₄₃ ,³ / ₄₃
15	0588235294 117647	¹ / ₁₇ x 15 =¹⁵ / ₁₇	-

Inne zasady

W dwunastkowym systemu transpozonu liczbami całkowitymi, są następujące: (przy użyciu odwróconego dwa i trzy dla dziesięć, jedenaście i dwanaście, odpowiednio)

mnożnik n	Najmniejsze rozwiązanie takie, że mnożenie porusza ostatnią cyfrę w lewo	cyfry	Reprezentowane przez	Najmniejsze rozwiązanie takie, że mnożenie przesuwa pierwszą cyfrę w prawo	cyfry	Reprezentowane przez
2	06316948421	ɛ	¹ / _1Ɛ x 2 =² / _1Ɛ	2497	4	¹ / ₅ x 2 =² / ₅
3	2497	4	¹ / ₅ x 3 =³ / ₅	brak rozwiązania
4	0309236 ᘔ 8820 61647195441	1Ɛ	¹ / _3Ɛ x 4 =⁴ / _3Ɛ	brak rozwiązania
5	025355 ᘔ 94330 73 ᘔ 458409919 Ɛ7151	25	¹ / _4Ɛ x 5 =⁵ / _4Ɛ	186 ᘔ 35	6	¹ / ₇ x 5 =⁵ / ₇
6	020408142854 ᘔ 997732650 ᘔ 1 83469163061	2Ɛ	¹ / _5Ɛ x 6 =⁶ / _5Ɛ	brak rozwiązania
7	01899Ɛ864406 Ɛ33ᘔᘔ 1542391 374594930525 5Ɛ171	35	¹ / _6Ɛ x 7 =⁷ / _6Ɛ	brak rozwiązania
8	076Ɛ45	6	¹ / ₁₇ x 8 =⁸ / ₁₇	brak rozwiązania
9	014196486344 59Ɛ9384Ɛ26Ɛ5 33040547216 ᘔ 1155Ɛ3Ɛ12978 ᘔ 3991	45	¹ / _8Ɛ x 9 =⁹ / _8Ɛ	brak rozwiązania
ᘔ	08579214Ɛ364 29 ᘔ 7	14	¹ / ₁₅ x ᘔ =^ᘔ / ₁₅	brak rozwiązania
ɛ	011235930336 ᘔ 53909 ᘔ873Ɛ3 25819Ɛ997505 5Ɛ54ᘔ 3145 ᘔ 42 694157078404 491Ɛ1	55	¹ / _ᘔƐ x ɛ =^ɛ / _ᘔƐ	brak rozwiązania

Należy zauważyć, że „zmiana biegów lewo cyklicznie w jednym położeniu” problem nie ma rozwiązania dla mnożnika mniej niż 12 zamiast 2 i 5, ten sam problem w systemie dziesiętnym nie ma rozwiązania dla mnożnika mniej niż 10, z wyjątkiem 3.

Uwagi

^ P. Yiu, K-prawo-transpozycyjny całkowitymi, 'Matematyka rekreacyjne' Chap.18.1

Referencje

P. Yiu, K-prawo-transpozycyjny całkowitymi, k-lewo-transpozycyjny całkowitymi Chap.18.1, 18,2 pp. 168/360 w 'rekreacyjny Matematyki', https://web.archive.org/web/20090901180500/http:/ /math.fau.edu/Yiu/RecreationalMathematics2003.pdf
CA Pickover , Wonders of Numbers , rozdział 28, Oxford University Press, Wielka Brytania, 2000.
Sloane, N. J. A. (red.). "Sekwencja A092697 (dla 1 <= n <= 9, a (n) = najmniej liczby m, tak że produkt n * m uzyskuje się jedynie przez zmianę po prawej stronie, cyfrę m do lewej strony)" . On-Line Encyclopedia of Integer sekwencji . Fundacja OEIS.
Gardner Martin. Matematyczne Circus: Więcej puzzle, gry, Paradoksy i inne matematyczne rozrywkowa Od Scientific American. Nowy Jork: Mathematical Association of America, 1979. pp 111-122..
Kalman, Dan; "Ułamki z Rowerowych Patterns cyfrę The College Mathematics Journal, Vol. 27, nr 2 (marzec 1996), str. 109-115.
Leslie, John. "Filozofia arytmetyki: wykazujących Progressive widzenia teorii i praktyki ...." , Longman, Hurst, Rees, Orme i Brown, 1820, ISBN 1-4020-1546-1
Wells, David; „ Penguin Słownik Ciekawy i ciekawy Numbers ” , Penguin Press. ISBN 0-14-008029-5

[1] P. Yiu, K-prawo-transpozycyjny całkowitymi, 'Matematyka rekreacyjne' Chap.18.1

Languages

In other projects

Transponowany całkowitą - Transposable integer

Zawartość

Generał

metoda frakcja

integralną mnożnik

ułamkową mnożnika

Bezpośredni reprezentacja

Cykliczne permutacji przez mnożenie

Dowód wzorze cyklicznej właściwej pracy zmianowej

Dowód wzorze cyklicznej pracy zmianowej lewej

Przesunięcie liczbę całkowitą cyklicznie

numery pasożytnicze

Przesunięcie w prawo cyklicznie przez podwójnych stanowisk

Podsumowanie rezultatów

Przesuwanie w lewo cyklicznie w jednym położeniu

Przesuwanie w lewo cyklicznie przez podwójnych stanowisk

Podsumowanie rezultatów

Inne zasady

Uwagi

Referencje