Функция Чебышева - Chebyshev function

В математике , то функция Чебышева является одной из двух функций , связанных с . Первый Чебышева функция θ ( х ) или θ ( х ) задается

${\ Displaystyle \ vartheta (x) = \ сумма _ {p \ leq x} \ log p}$

где обозначает натуральный логарифм , сумма распространяется на все простые числа p , которые меньше или равны x . ${\ displaystyle \ log}$

Второй Чебышева функция ψ ( х ) определяется аналогично, с суммой распространяется на все степени простых чисел , не превышающей  х

${\ Displaystyle \ psi (x) = \ сумма _ {к \ in \ mathbb {N}} \ сумма _ {p ^ {k} \ leq x} \ log p = \ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n) = \ sum _ {p \ leq x} \ left \ lfloor \ log _ {p} x \ right \ rfloor \ log p,}$

где Λ - функция фон Мангольдта . Функции Чебышева, особенно второй ψ ( х ) , которые часто используются в доказательствах , связанных с простыми числами , потому что , как правило , проще работать с ними , чем с функцией прайм-счета , π ( х ) (см точную формулу , ниже.) Обе функции Чебышева асимптотичны по  x , утверждение эквивалентно теореме о простых числах .

Обе функции названы в честь Пафнутия Чебышева .

Отношения

Вторую функцию Чебышева можно увидеть как связанную с первой, записав ее как

${\ Displaystyle \ пси (х) = \ сумма _ {р \ Leq х} к \ журнал р}$

где k - единственное целое число такое, что p ^k ≤ x и x < p ^{k + 1} . Значения k приведены в OEIS :  A206722 . Более прямую связь дает

${\ displaystyle \ psi (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ vartheta \ left (x ^ {\ frac {1} {n}} \ right).}$

Обратите внимание, что эта последняя сумма имеет только конечное число ненулевых членов, так как

${\ displaystyle \ vartheta \ left (x ^ {\ frac {1} {n}} \ right) = 0 \ quad {\ text {for}} \ quad n> \ log _ {2} x \ = {\ frac {\ log x} {\ log 2}}.}$

Вторая функция Чебышева - это логарифм наименьшего общего кратного целых чисел от 1 до  n .

${\ displaystyle \ operatorname {lcm} (1,2, \ dots, n) = e ^ {\ psi (n)}.}$

Значения lcm (1,2, ..., n ) для целочисленной переменной n приведены в OEIS :  A003418 .

Асимптотика и оценки

Для функций Чебышева известны следующие оценки: (в этих формулах p _k - k- е простое число p ₁ = 2 , p ₂ = 3 и т. Д.)

${\ displaystyle {\ begin {align} \ vartheta (p_ {k}) & \ geq k \ left (\ log k + \ log \ log k-1 + {\ frac {\ log \ log k-2.050735} {\ log k}} \ right) && {\ text {for}} k \ geq 10 ^ {11}, \\ [8px] \ vartheta (p_ {k}) & \ leq k \ left (\ log k + \ log \ log k-1 + {\ frac {\ log \ log k-2} {\ log k}} \ right) && {\ text {for}} k \ geq 198, \\ [8px] | \ vartheta (x) - x | & \ leq 0.006788 {\ frac {x} {\ log x}} && {\ text {for}} x \ geq 10 \, 544 \, 111, \\ [8px] | \ psi (x) -x | & \ leq 0,006409 {\ frac {x} {\ log x}} && {\ text {for}} x \ geq e ^ {22}, \\ [8px] 0,9999 {\ sqrt {x}} & <\ psi (x) - \ vartheta (x) <1.00007 {\ sqrt {x}} + 1.78 {\ sqrt [{3}] {x}} && {\ text {for}} x \ geq 121. \ end {выровнено }}}$

Кроме того, согласно гипотезе Римана ,

${\ Displaystyle {\ begin {align} | \ vartheta (x) -x | & = O \ left (x ^ {{\ frac {1} {2}} + \ varepsilon} \ right) \\ | \ psi ( x) -x | & = O \ left (x ^ {{\ frac {1} {2}} + \ varepsilon} \ right) \ end {align}}}$

для любого ε > 0 .

Верхние оценки существуют как для ϑ ( x ), так и для ψ ( x ) такие, что,

${\ displaystyle {\ begin {align} \ vartheta (x) & <1.000028x \\\ psi (x) & <1.03883x \ end {align}}}$

для любого x > 0 .

Объяснение константы 1.03883 дано в OEIS :  A206431 .

Точная формула

В 1895 году Ханс Карл Фридрих фон Мангольдт доказал явное выражение для ψ ( x ) в виде суммы по нетривиальным нулям дзета-функции Римана :

${\ displaystyle \ psi _ {0} (x) = x- \ sum _ {\ rho} {\ frac {x ^ {\ rho}} {\ rho}} - {\ frac {\ zeta '(0)} {\ zeta (0)}} - {\ tfrac {1} {2}} \ log (1-x ^ {- 2}).}$

(Числовое значение ζ ′ (0)/ζ (0)равно log (2π) .) Здесь ρ пробегает нетривиальные нули дзета-функции, а ψ ₀ то же самое, что ψ , за исключением того, что на его скачкообразных разрывах (степенях простых чисел) он принимает значение посередине между значениями слева и право:

${\ displaystyle \ psi _ {0} (x) = {\ tfrac {1} {2}} \ left (\ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n) + \ sum _ {n <x} \ Lambda (n) \ right) = {\ begin {cases} \ psi (x) - {\ tfrac {1} {2}} \ Lambda (x) & x = 2,3,4,5,7,8,9 , 11,13,16, \ dots \\ [5px] \ psi (x) & {\ mbox {в противном случае.}} \ End {case}}}$

Из ряда Тейлора для логарифма , последний член в явной формуле можно понимать как суммированиех ^ω/ωнад тривиальными нулями дзета-функции, ω = −2, −4, −6, ... , т.е.

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {- 2k}} {- 2k}} = {\ tfrac {1} {2}} \ log \ left (1- x ^ {- 2} \ right).}$

Аналогично, первый член x =х ¹/1, соответствует простому полюсу дзета-функции в 1. То, что полюс, а не ноль, означает противоположный знак члена.

Характеристики

Теорема Эрхарда Шмидта утверждает, что для некоторой явной положительной константы K существует бесконечно много натуральных чисел x таких, что

${\ displaystyle \ psi (x) -x <-K {\ sqrt {x}}}$

и бесконечно много натуральных чисел x таких, что

${\ displaystyle \ psi (x) -x> K {\ sqrt {x}}.}$

В мало- о нотации , можно написать выше , как

${\ displaystyle \ psi (x) -x \ neq o \ left ({\ sqrt {x}} \ right).}$

Харди и Литтлвуд доказывают более сильный результат:

${\ displaystyle \ psi (x) -x \ neq o \ left ({\ sqrt {x}} \ log \ log \ log x \ right).}$

Отношение к примориалам

Первая функция Чебышева - это логарифм первичного числа x , обозначаемый x # :

${\ displaystyle \ vartheta (x) = \ sum _ {p \ leq x} \ log p = \ log \ prod _ {p \ leq x} p = \ log \ left (x \ # \ right).}$

Это доказывает , что primorial х # асимптотически равна е ^{(1 + о (1)) х} , где « О » является мало- о нотации (см большой O нотации ) и вместе с простым числом теорема устанавливает асимптотику п _п # .

Связь с функцией подсчета простых чисел

Функцию Чебышева можно связать с функцией счета простых чисел следующим образом. Определять

${\ displaystyle \ Pi (x) = \ sum _ {n \ leq x} {\ frac {\ Lambda (n)} {\ log n}}.}$

потом

${\ displaystyle \ Pi (x) = \ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n) \ int _ {n} ^ {x} {\ frac {dt} {t \ log ^ {2} t}} + {\ frac {1} {\ log x}} \ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n) = \ int _ {2} ^ {x} {\ frac {\ psi (t) \, dt } {t \ log ^ {2} t}} + {\ frac {\ psi (x)} {\ log x}}.}$

Переход от П к функции прайм-счета , π , производится через уравнение

${\ displaystyle \ Pi (x) = \ pi (x) + {\ tfrac {1} {2}} \ pi \ left ({\ sqrt {x}} \ right) + {\ tfrac {1} {3} } \ pi \ left ({\ sqrt [{3}] {x}} \ right) + \ cdots}$

Конечно, π ( x ) ≤ x , поэтому для приближения это последнее соотношение можно переписать в виде

${\ displaystyle \ pi (x) = \ Pi (x) + O \ left ({\ sqrt {x}} \ right).}$

Гипотеза Римана

Гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть1/2. В этом случае | x ^ρ | = √ x , и можно показать, что

${\ displaystyle \ sum _ {\ rho} {\ frac {x ^ {\ rho}} {\ rho}} = O \ left ({\ sqrt {x}} \ log ^ {2} x \ right).}$

Из вышесказанного это означает, что

${\ displaystyle \ pi (x) = \ operatorname {li} (x) + O \ left ({\ sqrt {x}} \ log x \ right).}$

Хорошее свидетельство того, что эта гипотеза может быть верной, исходит из факта, предложенного Аленом Коннесом и другими: если мы дифференцируем формулу фон Мангольдта по x, мы получаем x = e ^u . Манипулируя, мы имеем "формулу следа" для экспоненты гамильтонова оператора, удовлетворяющую

${\ displaystyle \ left. \ zeta \ left ({\ tfrac {1} {2}} + i {\ hat {H}} \ right) \ right | n \ geq \ zeta \ left ({\ tfrac {1} {2}} + iE_ {n} \ right) = 0,}$

а также

${\ displaystyle \ sum _ {n} e ^ {iuE_ {n}} = Z (u) = e ^ {\ frac {u} {2}} - e ^ {- {\ frac {u} {2}} } {\ frac {d \ psi _ {0}} {du}} - {\ frac {e ^ {\ frac {u} {2}}} {e ^ {3u} -e ^ {u}}} = \ operatorname {Tr} \ left (e ^ {iu {\ hat {H}}} \ right),}$

где «тригонометрическую сумму» можно рассматривать как след оператора ( статистическая механика ) e ^iuĤ , что верно только при ρ =1/2+ iE ( n ) .

Используя полуклассический подход, потенциал H = T + V удовлетворяет:

${\ displaystyle {\ frac {Z (u) u ^ {\ frac {1} {2}}} {\ sqrt {\ pi}}} \ sim \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {i \ left (uV (x) + {\ frac {\ pi} {4}} \ right)} \, dx}$

с Z ( u ) → 0 при  u → ∞ .

решение этого нелинейного интегрального уравнения может быть получено (среди прочего) с помощью

${\ Displaystyle V ^ {- 1} (х) \ приблизительно {\ sqrt {4 \ pi}} \ cdot {\ frac {d ^ {\ frac {1} {2}}} {dx ^ {\ frac {1 } {2}}}} N (x)}$

чтобы получить обратную величину потенциала:

${\ displaystyle \ pi N (E) = \ operatorname {Arg} \ xi \ left ({\ tfrac {1} {2}} + iE \ right).}$

Функция сглаживания

Функция сглаживания определяется как

${\ Displaystyle \ psi _ {1} (x) = \ int _ {0} ^ {x} \ psi (t) \, dt.}$

Можно показать, что

${\ displaystyle \ psi _ {1} (x) \ sim {\ frac {x ^ {2}} {2}}.}$

Вариационная формулировка

Функция Чебышева, вычисленная при x = e ^t, минимизирует функционал

${\ displaystyle J [f] = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {f (s) \ zeta '(s + c)} {\ zeta (s + c) (s + c)} } \, ds- \ int _ {0} ^ {\ infty} \! \! \! \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (s) f (t) \, ds \, dt,}$

так

${\ displaystyle f (t) = \ psi \ left (e ^ {t} \ right) e ^ {- ct} \ quad {\ text {for}} c> 0.}$

Заметки

• ^ Пьер Дюзар, "Оценки некоторых функций над простыми числами без RH". arXiv:1002.0442
• ^ Пьер Дюзар, "Более точные оценки дляψ,θ,π, p _k ", Rapport de recherche no. 1998-06, Университет Лиможа. Сокращенная версия появилась как « k- е простое число больше k (log k + log log k - 1)для k ≥ 2»,Mathematics of Computing, Vol. 68, № 225 (1999), стр. 411–415.
• ^ Эрхард Шмидт, "Убер умереть Anzahl дер Primzahlen унтер gegebener Grenze",Mathematische Annalen,57(1903 г.), стр. 195-204.
• ^ G .H. Харди и Дж. Литтлвуд, «Вклад в теорию дзета-функции Римана и теорию распределения простых чисел»,Acta Mathematica,41(1916) стр. 119–196.
• ^ Давенпорт, Гарольд(2000). В теории мультипликативных чисел . Springer. п. 104.ISBN 0-387-95097-4. Поиск книг Google.

Рекомендации

• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, Руководство по ремонту  0434929 , Zbl  0335.10001

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Функции Чебышева» . MathWorld .
• «Сумматорная функция Мангольдта» . PlanetMath .
• «Чебышевские функции» . PlanetMath .
• Явная формула Римана с изображениями и фильмами