Chebyshev-functie - Chebyshev function

In de wiskunde is de Chebyshev-functie een van de twee gerelateerde functies. De eerste Chebyshev-functie ϑ ( x ) of θ ( x ) wordt gegeven door

${\ Displaystyle \ vartheta (x) = \ sum _ {p \ leq x} \ log p}$

waarin staat voor de natuurlijke logaritme , waarbij de som zich uitstrekt over alle priemgetallen p die kleiner zijn dan of gelijk zijn aan x . ${\displaystyle \log}$

De tweede Chebyshev-functie ψ ( x ) wordt op dezelfde manier gedefinieerd, waarbij de som zich uitstrekt over alle priemmachten en niet groter is dan  x

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{k\in \mathbb {N} }\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\left\lfloor \log _{p}x\right\rfloor \log p,}$

waarbij Λ de von Mangoldt-functie is . De Chebyshev-functies, vooral de tweede ψ ( x ) , worden vaak gebruikt in bewijzen die verband houden met priemgetallen , omdat het doorgaans eenvoudiger is om ermee te werken dan met de priemtelfunctie , π ( x ) (Zie de exacte formule , hieronder.) Beide Chebyshev-functies zijn asymptotisch voor  x , een verklaring die gelijk is aan de priemgetalstelling .

Beide functies zijn genoemd ter ere van Pafnuty Chebyshev .

Verhoudingen

Men kan zien dat de tweede Chebyshev-functie gerelateerd is aan de eerste door deze te schrijven als

${\ Displaystyle \ psi (x) = \ sum _ {p \ leq x} k \ log p}$

waarbij k de unieke geheel dusdanig dat p ^k ≤ x en x < p ^{k + 1} . De waarden van k zijn gegeven in OEIS :  A206722 . Een meer directe relatie wordt gegeven door

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta \left(x^{\frac {1}{n}}\right).}$

Merk op dat deze laatste som slechts een eindig aantal niet-verdwijnende termen heeft, zoals:

${\displaystyle \vartheta \left(x^{\frac {1}{n}}\right)=0\quad {\text{for}}\quad n>\log _{2}x\ ={\frac {\log x}{\log 2}}.}$

De tweede Chebyshev-functie is de logaritme van het kleinste gemene veelvoud van de gehele getallen van 1 tot  n .

${\ Displaystyle \ operatornaam {lcm} (1,2, \ dots, n) = e ^ {\ psi (n)}.}$

Waarden van lcm(1,2,..., n ) voor de integer-variabele n worden gegeven bij OEIS :  A003418 .

Asymptotiek en grenzen

De volgende grenzen zijn bekend voor de Chebyshev-functies: (in deze formules is p _k het k de priemgetal p ₁ = 2 , p ₂ = 3 , etc.)

${\displaystyle {\begin {uitgelijnd}\vartheta (p_{k})&\geq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2.050735}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 10^{11},\\[8px]\vartheta (p_{k})&\leq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 198,\\[8px]|\vartheta (x)- x|&\leq 0.006788{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq 10\,544\,111,\\[8px]|\psi (x)-x |&\leq 0.006409{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq e^{22},\\[8px]0.9999{\sqrt {x}}&<\ psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}&&{\text{for }}x\geq 121.\end{uitgelijnd }}}$

Bovendien, onder de Riemann-hypothese ,

${\displaystyle {\begin{uitgelijnd}|\vartheta (x)-x|&=O\left(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }\right)\\|\psi ( x)-x|&=O\left(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }\right)\end{aligned}}}$

voor elke ε > 0 .

Bovengrenzen bestaan ​​voor zowel ϑ ( x ) als ψ ( x ) zodat,

${\displaystyle {\begin{uitgelijnd}\vartheta (x)&<1.000028x\\\psi (x)&<1.03883x\end{uitgelijnd}}}$

voor elke x > 0 .

Een verklaring van de constante 1.03883 wordt gegeven bij OEIS :  A206431 .

De exacte formule

In 1895 bewees Hans Carl Friedrich von Mangoldt een expliciete uitdrukking voor ψ ( x ) als een som over de niet-triviale nullen van de Riemann-zetafunctie :

${\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {\zeta '(0)} {\zeta (0)}}-{\tfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).}$

(De numerieke waarde van ζ ' (0)/ζ (0)is log(2π) .) Hier loopt ρ over de niet-triviale nullen van de zeta-functie, en ψ ₀ is hetzelfde als ψ , behalve dat het bij zijn sprongdiscontinuïteiten (de priemmachten) de waarde halverwege tussen de waarden naar links neemt en rechts:

${\displaystyle \psi _{0}(x)={\tfrac {1}{2}}\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\ Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\tfrac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9 ,11,13,16,\dots \\[5px]\psi (x)&{\mbox{anders.}}\end{cases}}}$

Uit de Taylor-reeks voor de logaritme kan de laatste term in de expliciete formule worden opgevat als een sommatie vanx ^ω/ωover de triviale nullen van de zeta-functie, ω = −2, −4, −6, ... , dwz

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-2k}}{-2k}}={\tfrac {1}{2}}\log \left(1- x^{-2}\rechts).}$

Evenzo is de eerste term, x =x ¹/1, komt overeen met de eenvoudige pool van de zeta-functie bij 1. Omdat het een pool is in plaats van een nul, verklaart dit het tegenovergestelde teken van de term.

Eigendommen

Een stelling van Erhard Schmidt stelt dat er voor een expliciete positieve constante K oneindig veel natuurlijke getallen x zijn zodat

${\displaystyle \psi (x)-x<-K{\sqrt {x}}}$

en oneindig veel natuurlijke getallen x zodanig dat

${\displaystyle \psi (x)-x>K{\sqrt {x}}.}$

In beetje- o notatie , kan men schrijven de bovenstaande als

${\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\right).}$

Hardy en Littlewood bewijzen het sterkere resultaat, dat

${\ Displaystyle \ psi (x) -x \ neq o \ left ({\ sqrt {x}} \ log \ log \ log x \ right).}$

Relatie met primorials

De eerste Chebyshev-functie is de logaritme van de primorial van x , aangeduid met x # :

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p=\log \prod _{p\leq x}p=\log \left(x\#\right).}$

Dit bewijst dat de oer x # asymptotisch gelijk is aan e ^{(1 + o (1)) x} , waarbij " o " de kleine- o- notatie is (zie grote O- notatie ) en samen met de priemgetalstelling het asymptotische gedrag van p _n # .

Relatie met de prime-telfunctie

De Chebyshev-functie kan als volgt worden gerelateerd aan de priemtelfunctie. Bepalen

${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.}$

Dan

${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\int _{n}^{x}{\frac {dt}{t\log ^{2}t}} +{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\int _{2}^{x}{\frac {\psi (t)\,dt }{t\log ^{2}t}}+{\frac {\psi (x)}{\log x}}.}$

De overgang van Π naar de prime-telfunctie , π , wordt gemaakt door de vergelijking

${\displaystyle \Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi \left({\sqrt {x}}\right)+{\tfrac {1}{3} }\pi \left({\sqrt[{3}]{x}}\right)+\cdots }$

Zeker π ( x ) ≤ x , dus voor de benadering kan deze laatste relatie worden herschikt in de vorm

${\displaystyle \pi (x)=\Pi (x)+O\left({\sqrt {x}}\right).}$

De Riemann-hypothese

De Riemann-hypothese stelt dat alle niet-triviale nullen van de zeta-functie een reëel deel hebben1/2. In dit geval | x ^ρ | = √ x , en het kan worden aangetoond dat

${\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=O\left({\sqrt {x}}\log ^{2}x\right).}$

Door het bovenstaande impliceert dit:

${\displaystyle \pi (x)=\operatornaam {li} (x)+O\left({\sqrt {x}}\log x\right).}$

Goed bewijs dat de hypothese waar zou kunnen zijn, komt van het feit voorgesteld door Alain Connes en anderen, dat als we de formule van von Mangoldt differentiëren met betrekking tot x, we x = e ^{u krijgen} . Manipulerend, we hebben de "Trace-formule" voor de exponentiële van de Hamiltoniaanse operator die voldoet aan

${\displaystyle \left.\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+i{\hat {H}}\right)\right|n\geq \zeta \left({\tfrac {1} {2}}+iE_{n}\right)=0,}$

en

${\displaystyle \sum _{n}e^{iuE_{n}}=Z(u)=e^{\frac {u}{2}}-e^{-{\frac {u}{2}} }{\frac {d\psi _{0}}{du}}-{\frac {e^{\frac {u}{2}}}{e^{3u}-e^{u}}}= \operatornaam {Tr} \left(e^{iu{\hat {H}}}\right),}$

waarbij de "trigonometrische som" kan worden beschouwd als het spoor van de operator ( statistische mechanica ) e ^iuĤ , wat alleen waar is als ρ =1/2+ iE ( n ) .

Met behulp van de semiklassieke benadering voldoet het potentieel van H = T + V aan:

${\displaystyle {\frac {Z(u)u^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\pi }}}\sim \int _{-\infty }^{\infty }e^ {i\left(uV(x)+{\frac {\pi }{4}}\right)}\,dx}$

met Z ( u ) → 0 als  u → ∞ .

oplossing voor deze niet-lineaire integraalvergelijking kan (onder andere) worden verkregen door:

${\displaystyle V^{-1}(x)\circa {\sqrt {4\pi }}\cdot {\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1 }{2}}}}N(x)}$

om de inverse van de potentiaal te verkrijgen:

${\displaystyle \pi N(E)=\operatornaam {Arg} \xi \left({\tfrac {1}{2}}+iE\right).}$

Gladmakende functie

De afvlakkingsfunctie is gedefinieerd als:

${\displaystyle \psi _{1}(x)=\int _{0}^{x}\psi (t)\,dt.}$

Het kan worden aangetoond dat

${\displaystyle \psi _{1}(x)\sim {\frac {x^{2}}{2}}.}$

Variatieformulering

De Chebyshev-functie geëvalueerd op x = e ^t minimaliseert de functionele

${\displaystyle J[f]=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(s)\zeta '(s+c)}{\zeta (s+c)(s+c)} }\,ds-\int _{0}^{\infty }\!\!\!\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(s)f(t)\,ds \,dt,}$

zo

${\displaystyle f(t)=\psi \left(e^{t}\right)e^{-ct}\quad {\text{for }}c>0.}$

Opmerkingen:

• ^ Pierre Dusart, "Schattingen van sommige functies over priemgetallen zonder RH". arXiv:1002.0442
• ^ Pierre Dusart, "scherper grenzen voorψ,θ,π, p _k ", Rapport de recherche niet. 1998-06, Université de Limoges. Een verkorte versie verscheen als "De k th prime is groter dan k (log k + log log k 1)voor k 2",Mathematics of Computation, Vol. 68, nr. 225 (1999), blz. 411-415.
• ^ Erhard Schmidt, "Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze",Mathematische Annalen,57(1903), blz. 195-204.
• ^ G.H. Hardy en JE Littlewood, "Bijdragen aan de theorie van de Riemann Zeta-functie en de theorie van de verdeling van priemgetallen",Acta Mathematica,41(1916), blz. 119-196.
• ^ Davenport, Harold(2000). In multiplicatieve getaltheorie . springer. blz. 104.ISBN 0-387-95097-4. Zoeken naar boeken met Google.

Referenties

• Apostol, Tom M. (1976), Inleiding tot analytische getaltheorie , Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929 , Zbl  0.335,10001

Externe links

• Weisstein, Eric W. "Chebyshev-functies" . MathWereld .
• "Mangoldt summatory functie" . PlaneetMath .
• "Chebyshev-functies" . PlaneetMath .
• Riemann's expliciete formule , met afbeeldingen en films with