Función Chebyshev - Chebyshev function

En matemáticas , la función de Chebyshev es una de dos funciones relacionadas. La primera función de Chebyshev ϑ ( x ) o θ ( x ) viene dada por

${\ Displaystyle \ vartheta (x) = \ sum _ {p \ leq x} \ log p}$

donde denota el logaritmo natural , con la suma que se extiende sobre todos los números primos p que son menores o iguales ax . ${\ Displaystyle \ log}$

La segunda función de Chebyshev ψ ( x ) se define de manera similar, con la suma que se extiende sobre todas las potencias primas sin exceder  x

${\ Displaystyle \ psi (x) = \ sum _ {k \ in \ mathbb {N}} \ sum _ {p ^ {k} \ leq x} \ log p = \ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n) = \ sum _ {p \ leq x} \ left \ lfloor \ log _ {p} x \ right \ rfloor \ log p,}$

donde Λ es la función de von Mangoldt . Las funciones de Chebyshev, especialmente la segunda ψ ( x ) , se utilizan a menudo en demostraciones relacionadas con números primos , porque normalmente es más sencillo trabajar con ellas que con la función de conteo de primos , π ( x ) (Ver la fórmula exacta , a continuación.) Ambas funciones de Chebyshev son asintóticas  ax , un enunciado equivalente al teorema de los números primos .

Ambas funciones llevan el nombre de Pafnuty Chebyshev .

Relaciones

Se puede ver que la segunda función de Chebyshev está relacionada con la primera escribiéndola como

${\ Displaystyle \ psi (x) = \ sum _ {p \ leq x} k \ log p}$

donde k es el único entero tal que p ^k ≤ x y x < p ^{k + 1} . Los valores de k se dan en OEIS :  A206722 . Una relación más directa viene dada por

${\ Displaystyle \ psi (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ vartheta \ left (x ^ {\ frac {1} {n}} \ right).}$

Tenga en cuenta que esta última suma tiene solo un número finito de términos que no desaparecen, como

${\ Displaystyle \ vartheta \ left (x ^ {\ frac {1} {n}} \ right) = 0 \ quad {\ text {para}} \ quad n> \ log _ {2} x \ = {\ frac {\ log x} {\ log 2}}.}$

La segunda función de Chebyshev es el logaritmo del mínimo común múltiplo de los números enteros de 1  an .

${\ Displaystyle \ operatorname {lcm} (1,2, \ dots, n) = e ^ {\ psi (n)}.}$

Los valores de mcm (1,2, ..., n ) para la variable entera n se dan en OEIS :  A003418 .

Asintóticas y límites

Se conocen los siguientes límites para las funciones de Chebyshev: (en estas fórmulas, p _k es el k- ésimo número primo p ₁ = 2 , p ₂ = 3 , etc.)

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ vartheta (p_ {k}) & \ geq k \ left (\ log k + \ log \ log k-1 + {\ frac {\ log \ log k-2.050735} {\ log k}} \ right) && {\ text {para}} k \ geq 10 ^ {11}, \\ [8px] \ vartheta (p_ {k}) & \ leq k \ left (\ log k + \ log \ log k-1 + {\ frac {\ log \ log k-2} {\ log k}} \ right) && {\ text {for}} k \ geq 198, \\ [8px] | \ vartheta (x) - x | & \ leq 0.006788 {\ frac {x} {\ log x}} && {\ text {para}} x \ geq 10 \, 544 \, 111, \\ [8px] | \ psi (x) -x | & \ leq 0.006409 {\ frac {x} {\ log x}} && {\ text {para}} x \ geq e ^ {22}, \\ [8px] 0.9999 {\ sqrt {x}} & <\ psi (x) - \ vartheta (x) <1.00007 {\ sqrt {x}} + 1.78 {\ sqrt [{3}] {x}} && {\ text {para}} x \ geq 121. \ end {alineado }}}$

Además, bajo la hipótesis de Riemann ,

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} | \ vartheta (x) -x | & = O \ left (x ^ {{\ frac {1} {2}} + \ varepsilon} \ right) \\ | \ psi ( x) -x | & = O \ left (x ^ {{\ frac {1} {2}} + \ varepsilon} \ right) \ end {alineado}}}$

para cualquier ε > 0 .

Existen límites superiores tanto para ϑ ( x ) como para ψ ( x ) tales que,

${\ displaystyle {\ begin {alineado} \ vartheta (x) y <1,000028x \\\ psi (x) y <1,03883x \ end {alineado}}}$

para cualquier x > 0 .

Se da una explicación de la constante 1.03883 en OEIS :  A206431 .

La fórmula exacta

En 1895, Hans Carl Friedrich von Mangoldt demostró una expresión explícita para ψ ( x ) como una suma sobre los ceros no triviales de la función zeta de Riemann :

${\ Displaystyle \ psi _ {0} (x) = x- \ sum _ {\ rho} {\ frac {x ^ {\ rho}} {\ rho}} - {\ frac {\ zeta '(0)} {\ zeta (0)}} - {\ tfrac {1} {2}} \ log (1-x ^ {- 2}).}$

(El valor numérico de ζ ′ (0)/ζ (0)es log (2π) .) Aquí ρ pasa por encima de los ceros no triviales de la función zeta, y ψ ₀ es lo mismo que ψ , excepto que en sus discontinuidades de salto (los poderes primos) toma el valor a mitad de camino entre los valores a la izquierda y el derecho:

${\ Displaystyle \ psi _ {0} (x) = {\ tfrac {1} {2}} \ left (\ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n) + \ sum _ {n <x} \ Lambda (n) \ right) = {\ begin {cases} \ psi (x) - {\ tfrac {1} {2}} \ Lambda (x) & x = 2,3,4,5,7,8,9 , 11,13,16, \ dots \\ [5px] \ psi (x) & {\ mbox {de lo contrario.}} \ End {cases}}}$

De la serie de Taylor para el logaritmo , el último término de la fórmula explícita puede entenderse como una suma dex ^ω/ωsobre los ceros triviales de la función zeta, ω = −2, −4, −6, ... , es decir

${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {- 2k}} {- 2k}} = {\ tfrac {1} {2}} \ log \ left (1- x ^ {- 2} \ right).}$

Del mismo modo, el primer término, x =x ¹/1, corresponde al polo simple de la función zeta en 1. Ser un polo en lugar de un cero representa el signo opuesto del término.

Propiedades

Un teorema de Erhard Schmidt establece que, para alguna constante positiva explícita K , hay infinitos números naturales x tales que

${\ Displaystyle \ psi (x) -x <-K {\ sqrt {x}}}$

e infinitos números naturales x tales que

${\ Displaystyle \ psi (x) -x> K {\ sqrt {x}}.}$

En notación pequeña o , se puede escribir lo anterior como

${\ Displaystyle \ psi (x) -x \ neq o \ left ({\ sqrt {x}} \ right).}$

Hardy y Littlewood demuestran el resultado más fuerte, que

${\ Displaystyle \ psi (x) -x \ neq o \ left ({\ sqrt {x}} \ log \ log \ log x \ right).}$

Relación con los primitivos

La primera función de Chebyshev es el logaritmo del primorial de x , denotado x # :

${\ Displaystyle \ vartheta (x) = \ sum _ {p \ leq x} \ log p = \ log \ prod _ {p \ leq x} p = \ log \ left (x \ # \ right).}$

Esto prueba que el primorial x # es asintóticamente igual a e ^{(1 + o (1)) x} , donde " o " es la notación pequeña- o (ver notación O grande ) y junto con el teorema del número primo establece el comportamiento asintótico de p _n # .

Relación con la función de conteo de primos

La función de Chebyshev se puede relacionar con la función de conteo de primos de la siguiente manera. Definir

${\ Displaystyle \ Pi (x) = \ sum _ {n \ leq x} {\ frac {\ Lambda (n)} {\ log n}}.}$

Luego

${\ Displaystyle \ Pi (x) = \ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n) \ int _ {n} ^ {x} {\ frac {dt} {t \ log ^ {2} t}} + {\ frac {1} {\ log x}} \ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n) = \ int _ {2} ^ {x} {\ frac {\ psi (t) \, dt } {t \ log ^ {2} t}} + {\ frac {\ psi (x)} {\ log x}}.}$

La transición de Π a la función de conteo de primos , π , se realiza a través de la ecuación

${\ Displaystyle \ Pi (x) = \ pi (x) + {\ tfrac {1} {2}} \ pi \ left ({\ sqrt {x}} \ right) + {\ tfrac {1} {3} } \ pi \ left ({\ sqrt [{3}] {x}} \ right) + \ cdots}$

Ciertamente π ( x ) ≤ x , por lo que en aras de la aproximación, esta última relación puede reformularse en la forma

${\ Displaystyle \ pi (x) = \ Pi (x) + O \ left ({\ sqrt {x}} \ right).}$

La hipótesis de Riemann

La hipótesis de Riemann establece que todos los ceros no triviales de la función zeta tienen parte real1/2. En este caso, | x ^ρ | = √ x , y se puede demostrar que

${\ Displaystyle \ sum _ {\ rho} {\ frac {x ^ {\ rho}} {\ rho}} = O \ left ({\ sqrt {x}} \ log ^ {2} x \ right).}$

Por lo anterior, esto implica

${\ Displaystyle \ pi (x) = \ operatorname {li} (x) + O \ left ({\ sqrt {x}} \ log x \ right).}$

Buena evidencia de que la hipótesis podría ser cierta proviene del hecho propuesto por Alain Connes y otros, que si diferenciamos la fórmula de von Mangoldt con respecto a x obtenemos x = e ^u . Manipulando, tenemos la "Fórmula de seguimiento" para el exponencial del operador hamiltoniano que satisface

${\ Displaystyle \ left. \ zeta \ left ({\ tfrac {1} {2}} + i {\ hat {H}} \ right) \ right | n \ geq \ zeta \ left ({\ tfrac {1} {2}} + iE_ {n} \ right) = 0,}$

y

${\ Displaystyle \ sum _ {n} e ^ {iuE_ {n}} = Z (u) = e ^ {\ frac {u} {2}} - e ^ {- {\ frac {u} {2}} } {\ frac {d \ psi _ {0}} {du}} - {\ frac {e ^ {\ frac {u} {2}}} {e ^ {3u} -e ^ {u}}} = \ operatorname {Tr} \ left (e ^ {iu {\ hat {H}}} \ right),}$

donde la "suma trigonométrica" ​​puede considerarse como la traza del operador ( mecánica estadística ) e ^iuĤ , que solo es cierto si ρ =1/2+ iE ( n ) .

Usando el enfoque semiclásico, el potencial de H = T + V satisface:

${\ Displaystyle {\ frac {Z (u) u ^ {\ frac {1} {2}}} {\ sqrt {\ pi}}} \ sim \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {i \ left (uV (x) + {\ frac {\ pi} {4}} \ right)} \, dx}$

con Z ( u ) → 0 cuando  u → ∞ .

La solución a esta ecuación integral no lineal se puede obtener (entre otros) mediante

${\ Displaystyle V ^ {- 1} (x) \ approx {\ sqrt {4 \ pi}} \ cdot {\ frac {d ^ {\ frac {1} {2}}} {dx ^ {\ frac {1 } {2}}}} N (x)}$

para obtener la inversa del potencial:

${\ Displaystyle \ pi N (E) = \ operatorname {Arg} \ xi \ left ({\ tfrac {1} {2}} + iE \ right).}$

Función de suavizado

La función de suavizado se define como

${\ Displaystyle \ psi _ {1} (x) = \ int _ {0} ^ {x} \ psi (t) \, dt.}$

Se puede demostrar que

${\ Displaystyle \ psi _ {1} (x) \ sim {\ frac {x ^ {2}} {2}}.}$

Formulación variacional

La función de Chebyshev evaluada en x = e ^t minimiza la función

${\ Displaystyle J [f] = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {f (s) \ zeta '(s + c)} {\ zeta (s + c) (s + c)} } \, ds- \ int _ {0} ^ {\ infty} \! \! \! \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (s) f (t) \, ds \, dt,}$

entonces

${\ Displaystyle f (t) = \ psi \ left (e ^ {t} \ right) e ^ {- ct} \ quad {\ text {for}} c> 0.}$

Notas

• ^ Pierre Dusart, "Estimaciones de algunas funciones sobre primos sin RH". arXiv:1002.0442
• ^ Pierre Dusart, "Límites más precisos paraψ,θ,π, p _k ", Rapport de recherche no. 1998-06, Universidad de Limoges. Una versión abreviada apareció como "El k- ésimo primo es mayor que k (log k + log log k - 1)para k ≥ 2",Matemáticas de Computación, Vol. 68, núm. 225 (1999), págs. 411–415.
• ^ Erhard Schmidt, "Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze",Mathematische Annalen,57(1903), págs. 195-204.
• ^ G .H. Hardy y JE Littlewood, "Contribuciones a la teoría de la función Zeta de Riemann y la teoría de la distribución de los primos",Acta Mathematica,41(1916) pp. 119-196.
• ^ Davenport, Harold(2000). En teoría de números multiplicativos . Saltador. pag. 104.ISBN 0-387-95097-4. Búsqueda de libros de Google.

Referencias

• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929 , Zbl  0.335,10001

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Funciones de Chebyshev" . MathWorld .
• "Función sumatoria de Mangoldt" . PlanetMath .
• "Funciones de Chebyshev" . PlanetMath .
• Fórmula explícita de Riemann , con imágenes y películas