Funcție delimitată - Bounded function
În matematică , o funcție f definită pe un anumit set X cu valori reale sau complexe se numește delimitată dacă setul valorilor sale este delimitat . Cu alte cuvinte, există un număr real M astfel încât
pentru toți x în X . Se spune că o funcție care nu este delimitată este nelimitată .
Dacă f este reală evaluată și f ( x ) ≤ A pentru toți x în X , atunci se spune ca funcția să fie delimitate ( de la) de mai sus de către A . Dacă f ( x ) ≥ B pentru toți x în X , atunci funcția este declarat a fi delimitate (de) mai jos de B . O funcție cu valoare reală este delimitată dacă și numai dacă este delimitată de sus și de jos.
Un caz special important este o secvență mărginită , unde X este considerat mulțimea N a numerelor naturale . Astfel o secvență f = ( a 0 , a 1 , a 2 , ...) este mărginită dacă există un număr real M astfel încât
pentru fiecare număr natural n . Setul tuturor secvențelor delimitate formează spațiul secvenței .
Definirea marginire pot fi generalizate la funcții f: X → Y cu valori într - un spațiu mai general Y prin cerința ca imaginea f (X) este un set mărginit în Y .
Noțiuni conexe
Mai slab decât limitarea este limitarea locală . O familie de funcții delimitate poate fi delimitată uniform .
Un operator de mărginit T: X → Y nu este o funcție mărginită în sensul definiției acestei pagini ( cu excepția cazului în T = 0 ), dar are proprietatea mai slabă de conservare marginire : mărginite seturi M ⊆ X sunt mapate la seturile de mărginite T (M) ⊆ Y. Această definiție poate fi extinsă la orice funcție f : X → Y dacă X și Y permit conceptul unui set mărginit. Limita poate fi determinată, de asemenea, privind un grafic.
Exemple
- Funcția sinus sin: R → R este mărginită întrucât pentru toate .
- Funcția , definită pentru toate x-urile reale cu excepția −1 și 1, este nelimitată. Pe măsură ce x se apropie de -1 sau 1, valorile acestei funcții devin din ce în ce mai mari. Această funcție poate fi făcută delimitată dacă se consideră că domeniul său este, de exemplu, [2, ∞) sau (−∞, −2].
- Funcția , definită pentru toate x-urile reale , este delimitată.
- Funcția trigonometrică inversă arctangentă definită ca: y = arctan ( x ) sau x = tan ( y ) este în creștere pentru toate numerele reale x și mărginită cu - π/2< y <π/2 radiani
- Prin teorema delimitării , fiecare funcție continuă pe un interval închis, cum ar fi f : [0, 1] → R , este delimitată. Mai general, orice funcție continuă dintr-un spațiu compact într-un spațiu metric este delimitată.
- Toate funcțiile complexe f : C → C care sunt întregi sunt fie nelimitate, fie constante ca o consecință a teoremei lui Liouville . În special, păcatul complex: C → C trebuie să fie nelimitat, deoarece este întreg.
- Funcția f care ia valoarea 0 pentru x număr rațional și 1 pentru x număr irațional (cf. funcția Dirichlet ) este mărginită. Astfel, o funcție nu trebuie să fie „drăguță” pentru a fi delimitată. Setul tuturor funcțiilor mărginite definite pe [0, 1] este mult mai mare decât setul de funcții continue din acel interval. Mai mult, funcțiile continue nu trebuie să fie delimitate; de exemplu, funcțiile și definite de și sunt ambele continue, dar niciuna nu este delimitată. (Cu toate acestea, o funcție continuă trebuie să fie delimitată dacă domeniul său este închis și delimitat.)
