Korlátozott funkció - Bounded function

Egy korlátos (piros) és egy korlátlan (kék) függvény sematikus illusztrációja. Intuitív módon a korlátozott függvény grafikonja vízszintes sávban marad, míg a korlátlan függvény grafikonja nem.

A matematika , a függvény f meghatározott egyes set X a valós vagy komplex értékek úgynevezett korlátos , ha a beállított az értékeknek korlátos . Más szavakkal, létezik egy M valós szám , hogy

${\ displaystyle | f (x) | \ leq M}$

minden x -re az X -ben . Hogy a funkció nem korlátos azt mondják, hogy korlátos .

Ha f van valós értékű és f ( x ) ≤ A minden X az X , akkor a függvény azt mondják, hogy korlátos (a) a fenti a A . Ha f ( x ) ≥ B az összes X a X , akkor a függvény azt mondják, hogy korlátos (a) az alábbi által B . Egy valós értékű függvény akkor és csak akkor van korlátozva, ha felülről és alulról korlátos.

Fontos speciális eset egy korlátozott sorozat , ahol X -et a természetes számok N halmazának tekintjük . Így az f = ( a ₀ , a ₁ , a ₂ , ...) sorozatot korlátozza, ha létezik M valós szám , amely

${\ displaystyle | a_ {n} | \ leq M}$

minden n természetes számra . Az összes határolt sorozat halmaza képezi a szekvenciateret . ${\ displaystyle l^{\ infty}}$

A korlátosság definíciója általánosítható az f: X → Y függvényekre, amelyek értékeket vesznek fel egy általánosabb Y térben , megkövetelve, hogy az f (X) kép egy korlátos halmaz legyen Y -ban .

Kapcsolódó fogalmak

A korlátosságnál gyengébb a lokális határ . A korlátozott funkciók családja egységesen korlátozott lehet .

A T: X → Y korlátos operátor az oldal definíciója értelmében nem korlátos függvény (kivéve, ha T = 0 ), de gyengébb tulajdonsága, hogy megőrzi a korlátot : Az M ⊆ X határolt halmazok a T (M) határolt halmazokhoz vannak leképezve ⊆ Y. Ez a definíció kiterjeszthető bármely f  : X → Y függvényre, ha X és Y lehetővé teszi a korlátos halmaz fogalmát. A határoltságot grafikon nézésével is meg lehet határozni.

Példák

• A szinuszfüggvény sin: R → R korlátos, mivel mindenre .${\ displaystyle | \ sin (x) | \ leq 1}$${\ displaystyle x \ in \ mathbf {R}}$
• Az −1 és 1 kivételével minden valós x -re definiált függvény korlátlan. Amint x megközelíti az -1 vagy 1 értéket, ennek a függvénynek az értékei egyre nagyobbak lesznek. Ezt a függvényt korlátossá tehetjük, ha úgy tekintjük a tartományát, mint például [2, ∞) vagy (−∞, −2].${\ displaystyle f (x) = (x^{2} -1)^{-1}}$

• A függvény , amely minden valós x -re van definiálva , korlátos.${\ texttyle f (x) = (x^{2} +1)^{-1}}$
• A inverz trigonometrikus függvény cotanges definiáljuk: y = arctan ( x ) vagy X = tan ( y ) van növekszik az összes valós számok x és határolt - π/2< y <π/2 radiánok
• A korlátossági tétel szerint minden zárt intervallumú folytonos függvény , például f  : [0, 1] → R , korlátos. Általánosságban elmondható, hogy a kompakt térből a metrikus térbe történő minden folyamatos funkció korlátozott.
• Minden komplex értékű f  : C → C függvény, amely teljes , vagy korlátlan, vagy állandó Liouville-tétel következtében . Különösen a bonyolult bűnnek: C → C kell korlátlannak lennie, mivel az egész.
• Az f függvény, amely x racionális számhoz 0, és x irracionális számhoz 1 értéket vesz fel (vö. Dirichlet -függvény ) , korlátos. Így egy függvénynek nem kell „szépnek” lennie ahhoz, hogy korlátozott legyen. A [0, 1] -n definiált összes korlátos függvény halmaz sokkal nagyobb, mint az adott intervallum folyamatos függvényeinek halmaza . Ezenkívül a folyamatos funkciókat nem kell korlátozni; például a függvények és által definiált és mindkettő folyamatos, de egyik sem határolt. (A folyamatos függvényt azonban be kell határolni, ha tartománya zárt és határolt.)${\ displaystyle g: \ mathbb {R} ^{2} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle h: (0,1)^{2} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle g (x, y): = x+y}$${\ displaystyle h (x, y): = {\ frac {1} {x+y}}}$

Hivatkozások

Lásd még

• Határolt készlet
• Kompakt támogatás
• Helyi korlát
• Egységes korlát