Rajoitettu kuva

Koska rajoitettu kuva tai rajoittaa toiminto on tarkoitettu analyysin ja toiminnallinen analyysi kuvaa, jonka kuvan joukko on rajoitettu. Rajoitetut kuvaukset muodostavat normalisoidun vektoritilan ja sisältävät monia muita tärkeitä yhdistämisjoukkoja , kuten jatkuvat toiminnot pienikokoisella tuella tai rajatut jatkuvat toiminnot .

Rajoitetun kartoituksen käsite on erotettava rajoitetun lineaarisen kartoituksen käsitteestä . Tälle kuvaluokalle vain rajoitettujen osajoukkojen kuva on jälleen rajoitettu.

määritelmä

Rajoitetun (punainen) ja rajoittamattoman toiminnon (sininen) kaavioesitys. Rajoitetun funktion arvot pysyvät katkoviivoilla koko toimialueellaan. Rajoittamattoman funktion arvot menevät kohti ääretöntä.

Yleistä kutsutaan luvuksi

${\ displaystyle f \ kaksoispiste X \ - S}$

rajoitettu, kun heidän kuvajoukkonsa on rajoitettu . Tarkemmin sanottuna tämä tarkoittaa: ${\ displaystyle f (X)}$

• Jos reaaliarvoinen funktio tai kompleksi-funktio , niin tämä vastaa${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ sup \ {| f (x) | \; | \; x \ X: ssä \} <\ infty}$.

Funktion kuvajoukko sisältyy tällöin selvästi äärelliseen väliin todellisessa arvossa olevassa tapauksessa tai ympyrään, joka on kompleksisessa tasossa.

• Jos standardoitu huone on normi, tämä vastaa${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {S}}$

${\ displaystyle \ sup \ {\ | f (x) \ | _ {S} \; | \; x \ X: ssä \} <\ infty}$.

• On metrinen tilaa ja niin tämä vastaa${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle \ operaattorin nimi {diam} (f (X)) = \ sup \ {d (f (x), f (y)) \; | \; x, y \ X: ssä \} <\ infty}$.

Erityisesti määritelmäryhmän rakenteelle ei aseteta vaatimuksia.

Asetettu kaikkien rajoitettu kuvia ja on merkitty tai , jos tai tai jos on ilmeistä, yhteydessä. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle B (X; S)}$${\ displaystyle B (X)}$${\ displaystyle S = \ mathbb {C}}$${\ displaystyle S = \ mathbb {R}}$${\ displaystyle S}$

Esimerkkejä

Rajoittavat sekvenssit ovat rajoitetun toimintoja, esimerkiksi, tai yleisen metrinen avaruus. ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Sinin on rajoitettu, koska se koskee kaikkia . ${\ displaystyle f \ kaksoispiste \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}, \ quad f (x): = \ sin (x)}$${\ displaystyle | {\ sin (x)} | \ leq 1}$${\ displaystyle x \ sisään \ mathbb {R}}$

Jos toiminto on jatkuva, se on myös rajattu. Koska kompaktiversiossa vakio-funktiona oletetaan maksimi ja minimi ja se pätee . ${\ displaystyle f \ kaksoispiste [0,1] \ - \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle [0,1]}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f ([0,1]) \ subseteq [\ min f, \ max f]}$

Edellinen esimerkki on erityistapaus seuraavasta tosiasiasta: Jos kompakti topologinen tila ja metrinen tila, niin jokainen jatkuva kartoitus on rajattu. Koska jatkuvuus olemassa jokaisessa pisteessä sisällyttämistä, niin että ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle x \ in K}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {x}> 0}$

${\ displaystyle f (B _ {\ varepsilon _ {x}} (x)) \ osajoukko B_ {1} (f (x))}$

sovelletaan. Koska tiiviys on, kuitenkin , avoin kansi on määritelty tällä tavoin on äärellinen osittainen kansi , jossa on ja näin seuraa ${\ displaystyle (B _ {\ varepsilon _ {x}} (x)) _ {x \ K}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle (B _ {\ varepsilon _ {x_ {i}}} (x_ {i})) _ {i = 1, \ pistettä, n}}$

${\ displaystyle f (K) \ osajoukko \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} B_ {1} (f (x_ {i}))}$.

Joten on rajoitettu. ${\ displaystyle f}$

Esimerkki epäjatkuvasta rajoitetusta toiminnosta on Dirichlet-funktio .

rakenne

Jos vektoritilan rakenne kestää, summaus ja skalaarinen kertolasku voidaan määrittää pisteittäin, ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle B (X; S)}$

${\ displaystyle (f + g) (x): = f (x) + g (x)}$ja ,${\ displaystyle (\ lambda f) (x): = \ lambda f (x) {\ text {kaikille} x x X: ssä}$

jolloin rajattujen karttojen joukosta tulee luonnollisesti vektoritila.

Jos normalisoitu tila on, normi voidaan selittää ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle B (X; S)}$

${\ displaystyle \ | f \ | _ {B (X, S)}: = \ sup _ {x \ X: ssä \ | f (x) \ | _ {S}}$,

missä normi viittaa. Tämä on täsmälleen ylinormi , siihen viitataan myös nimellä tai kun kaikki siihen liittyvät tilat ovat tyhjät. ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {S}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ infty}}$${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ operaattorin nimi {sup}}}$

Jos myös Banach-tila on täydellinen , se on myös Banach-tila. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle B (X; S)}$

Jos tila on kompakti , jokainen jatkuva kuvaus on rajoitettu. Inkluusio pätee sitten ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle C (X, S) \ osajoukko B (X, S)}$.

Jos kompakti ja Banach-tila, niin jatkuvat funktiot muodostavat suljettujen funktioiden suljetun alitilan. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$

Tärkeät alatilat rajoitetuista yhdistelyistä, joiden arvot ovat ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$

• jatkuvien funktioiden kompakti kantaja ,${\ displaystyle C_ {c} (X)}$
• jatkuvien funktioiden että kadota äärettömyyteen ja${\ displaystyle C_ {0} (X)}$
• rajoittuu jatkuva toimintoja .${\ displaystyle C_ {b} (X)}$

Sitten sulkeumat ovat voimassa

${\ displaystyle B (X) \ supset C_ {b} (X) \ supset C_ {0} (X) \ supset C_ {c} (X)}$.

kirjallisuus

• Hans Wilhelm Alt : Lineaarinen toiminnallinen analyysi . 6. painos. Springer-Verlag, Berliini Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3 , doi : 10.1007 / 978-3-642-22261-0 .