Ohraničená funkce - Bounded function

Schematická ilustrace ohraničené funkce (červená) a neomezené (modrá). Intuitivně graf omezené funkce zůstává v horizontálním pásmu, zatímco graf neomezené funkce nikoli.

V matematice se funkce f definovaná na nějaké množině X se skutečnými nebo komplexními hodnotami nazývá ohraničená, pokud je množina jejích hodnot ohraničená . Jinými slovy, existuje skutečné číslo M takové, že

${\ Displaystyle | f (x) | \ leq M}$

pro všechny x v X . Funkce, která není ohraničená, je prý nevázaná .

Pokud f je reálná a f ( x ) ≤ pro všechny x v X , pak funkce se říká, že omezená (z) výše od A . Pokud f ( x ) ≥ B pro všechny x v X , pak funkce se říká, že omezená (z) níže podle B . Funkce se skutečnou hodnotou je ohraničena právě tehdy, je-li ohraničena shora a zdola.

Důležitý zvláštní případ je omezená posloupnost , kde X je vzat být množina N z přirozených čísel . Tak sekvence f = ( ₀ , ₁ , ₂ , ...), je omezená, pokud existuje reálné číslo M tak, že

${\ displaystyle | a_ {n} | \ leq M}$

pro každé přirozené číslo n . Sada všech ohraničených sekvencí tvoří sekvenční prostor . ${\ displaystyle l^{\ infty}}$

Definice omezenosti je možné zobecnit na funkce f: X → Y hodnot přičemž v obecnějším prostoru Y tím, že vyžaduje, aby obraz f (X) je omezená množina v Y .

Související pojmy

Slabší než ohraničenost je místní ohraničenost . Skupina omezených funkcí může být jednotně ohraničená .

Ohraničené operátor T: X → Y není omezená funkce ve smyslu definice této stránky (není-li T = 0 ° C ), ale má slabší vlastnosti zachování omezenosti : ohraničené množiny M ⊆ X jsou mapovány do omezených množin T (M) ⊆ Y. Tuto definici lze rozšířit na jakoukoli funkci f  : X → Y, pokud X a Y umožňují koncept ohraničené množiny. Ohraničenost lze také určit pohledem na graf.

Příklady

• Sine funkce sin: R → R je omezená, protože pro všechny .${\ Displaystyle | \ sin (x) | \ leq 1}$${\ displaystyle x \ in \ mathbf {R}}$
• Funkce definovaná pro všechna reálná x kromě −1 a 1 je neomezená. Jak se x blíží −1 nebo 1, hodnoty této funkce jsou čím dál větší. Tuto funkci lze omezit, pokud její doménu považujeme například za [2, ∞) nebo (−∞, −2].${\ Displaystyle f (x) = (x^{2} -1)^{-1}}$

• Funkce , které jsou definovány pro všechna reálná x , je omezená.${\ textstyle f (x) = (x^{2} +1)^{-1}}$
• Cyklometrická funkce arkustangens definována jako: y = arctan ( x ) nebo x = tan ( y ), se zvyšuje ve všech reálných čísel x a ohraničených s - π/2< y <π/2 radiány
• Podle věty o omezenosti je každá spojitá funkce v uzavřeném intervalu, například f  : [0, 1] → R , ohraničena. Obecněji je jakákoli spojitá funkce z kompaktního prostoru do metrického prostoru ohraničena.
• Všechny komplexní funkce f  : C → C, které jsou celé, jsou v důsledku Liouvilleovy věty buď neomezené nebo konstantní . Zejména komplexní hřích: C → C musí být neomezený, protože je celý.
• Funkce f, která nabývá hodnoty 0 pro x racionální číslo a 1 pro x iracionální číslo (viz Dirichletova funkce ), je ohraničená. Funkce tedy nemusí být „hezká“, aby byla ohraničená. Sada všech ohraničených funkcí definovaných na [0, 1] je mnohem větší než sada spojitých funkcí v tomto intervalu. Spojité funkce navíc nemusí být ohraničeny; například funkce a definované pomocí a jsou obě spojité, ale žádná není ohraničená. (Spojitá funkce však musí být ohraničená, pokud je její doména uzavřená i ohraničená.)${\ Displaystyle g: \ mathbb {R} ^{2} \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle h: (0,1)^{2} \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle g (x, y): = x+y}$${\ Displaystyle h (x, y): = {\ frac {1} {x+y}}}$

Reference

Viz také

• Ohraničená sada
• Kompaktní podpora
• Místní ohraničenost
• Rovnoměrná ohraničenost