n -spatiu conectat

În matematică ramura de topologie algebrică , în special teoria omotopie , n -connectedness (uneori, n conexitate -Simplu ) generalizează conceptele de cale-connectedness și connectedness simplu . A spune că un spațiu este n -conectat înseamnă a spune că primele sale n grupuri de homotopie sunt banale și a spune că o hartă este n -conectată înseamnă că este un izomorfism „până la dimensiunea n, în homotopie ”.

Se spune că un spațiu topologic X este n- conectat (pentru pozitiv n ) atunci când este ne-gol, conectat la cale și primele sale n grupuri de homotopie dispar identic, adică

{\ displaystyle \ pi _ {i} (X) \ cong 0, \ quad 1 \ leq i \ leq n,}

unde denotă al i -lea grup de homotopie și 0 denotă grupul trivial. ${\ displaystyle \ pi _ {i} (X)}$

Cerințele de a fi non-goale și conectate la cale pot fi interpretate ca (-1) conectate și respectiv 0 conectate , ceea ce este util în definirea hărților conectate 0 și 1 conectate, ca mai jos. Setul 0 homotopie poate fi definit ca:

{\ displaystyle \ pi _ {0} (X, *): = [(S ^ {0}, *), (X, *)].}

Acesta este doar un set ascuțit , nu un grup, cu excepția cazului în care X este el însuși un grup topologic ; punctul distins este clasa hărții triviale, trimiterea S ⁰ până la punctul de bază al X . Folosind acest set, un spațiu este conectat la 0 dacă și numai dacă setul de homotopie 0 este setul cu un singur punct. Definiția grupurilor de homotopie și acest set de homotopie necesită ca X să fie ascuțit (să aibă un punct de bază ales), ceea ce nu se poate face dacă X este gol.

Un spațiu topologic X este conectat la cale dacă și numai dacă grupul său de homotopie 0 dispare identic, deoarece conexiunea la cale implică faptul că orice două puncte x ₁ și x ₂ din X pot fi conectate cu o cale continuă care începe în x ₁ și se termină în x ₂ , care este echivalent cu afirmația că fiecare mapare de la S ⁰ (un set discret de două puncte) la X poate fi deformată continuu la o hartă constantă. Cu această definiție, putem defini X pentru a fi n- conectat dacă și numai dacă

{\ displaystyle \ pi _ {i} (X) \ simeq 0, \ quad 0 \ leq i \ leq n.}

Exemple

Un spațiu X este conectat (-1) dacă și numai dacă este ne-gol.
Un spațiu X este 0-conectat dacă și numai dacă este ne-gol și conectat la cale .
Un spațiu este 1-conectat dacă și numai dacă este pur și simplu conectat .
O n -sferă este ( n - 1) conectată.

n- hartă conectată

Noțiunea relativă corespunzătoare noțiunii absolute a unui spațiu n- conectat este o hartă n- conectată , care este definită ca o hartă a cărei fibră de omotopie Ff este un spațiu ( n - 1) conectat. În ceea ce privește grupurile de homotopie, înseamnă că o hartă este n- conectată dacă și numai dacă: ${\ displaystyle f \ colon X \ to Y}$

${\ displaystyle \ pi _ {i} (f) \ colon \ pi _ {i} (X) {\ overset {\ sim} {\ to}} \ pi _ {i} (Y)}$ este un izomorfism pentru și ${\ displaystyle i <n}$
${\ displaystyle \ pi _ {n} (f) \ colon \ pi _ {n} (X) \ twoheadrightarrow \ pi _ {n} (Y)}$ este o surjecție.

Ultima condiție este frecvent confuză; se datorează faptului că dispariția ( n - 1) grupului de homotopie a fibrei de omotopie Ff corespunde unei surjecții pe grupele ^an- ^{a de} homotopie, în secvența exactă:

{\ displaystyle \ pi _ {n} (X) {\ overset {\ pi _ {n} (f)} {\ to}} \ pi _ {n} (Y) \ to \ pi _ {n-1} (Ff).}

Dacă grupul din dreapta dispare, atunci harta din stânga este o surjecție. ${\ displaystyle \ pi _ {n-1} (Ff)}$

Exemple de dimensiuni reduse:

O hartă conectată (hartă 0-conectată) este una care se află pe componentele căii (grupul 0 homotopie); acest lucru corespunde faptului că fibra homotopică este ne-goală.
O hartă pur și simplu conectată (o hartă cu 1 conexiune) este una care este un izomorfism pe componentele căii (grupul 0 homotopie) și pe grupul fundamental (primul grup homotop).

n -conectivitatea pentru spații poate fi la rândul său definită în termeni de n -conectivitate a hărților: un spațiu X cu punct de bază x ₀ este un spațiu n- conectat dacă și numai dacă includerea punctului de bază este o hartă n -conectată. Setul de punct unic este contractibil, deci toate grupurile sale de homotopie dispar și astfel „izomorfismul sub n și pe la n ” corespunde primelor n grupuri de homotopie ale X care dispar. ${\ displaystyle x_ {0} \ hookrightarrow X}$

Interpretare

Este instructiv pentru un subset: o n incluziune -connected este un astfel încât, până la dimensiunea n - 1, homotopies în mai mare spațiu X poate fi homotoped în homotopies în subgrupul A . ${\ displaystyle A \ hookrightarrow X}$

De exemplu, pentru ca o hartă de includere să fie conectată la 1, trebuie să fie: ${\ displaystyle A \ hookrightarrow X}$

pe ${\ displaystyle \ pi _ {0} (X),}$
unu-la-unu pe și ${\ displaystyle \ pi _ {0} (A) \ to \ pi _ {0} (X),}$
pe ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X).}$

One-to-one on înseamnă că dacă există o cale care leagă două puncte trecând prin X, există o cale în A care le conectează, în timp ce pe înseamnă că de fapt o cale în X este homotopă cu o cale în A. ${\ displaystyle \ pi _ {0} (A) \ to \ pi _ {0} (X)}$ ${\ displaystyle a, b \ în A}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X)}$

Cu alte cuvinte, o funcție care este un izomorfism implică doar faptul că orice elemente care sunt homotopice în X sunt abstract homotopice în A - homotopia din A poate fi fără legătură cu homotopia din X - în timp ce este n- conectată (deci și pe ) înseamnă că (până la dimensiunea n - 1) homotopies în X poate fi împins în homotopies în a . ${\ displaystyle \ pi _ {n-1} (A) \ to \ pi _ {n-1} (X)}$ ${\ displaystyle \ pi _ {n-1} (A)}$ ${\ displaystyle \ pi _ {n} (X)}$

Aceasta oferă o explicație mai concretă pentru utilitatea definiției n- conectivității: de exemplu, un spațiu în care includerea scheletului k este n -conectat (pentru n > k ) - cum ar fi includerea unui punct în n -sfera - are proprietatea că orice celule cu dimensiuni cuprinse între k și n nu afectează tipurile de homotopie cu dimensiuni inferioare.

Aplicații

Conceptul de n- conexiune este utilizat în teorema Hurewicz care descrie relația dintre omologia singulară și grupurile de homotopie superioare.

În topologia geometrică , cazurile în care includerea unui spațiu definit geometric, cum ar fi spațiul imersiunilor într-un spațiu topologic mai general, cum ar fi spațiul tuturor hărților continue între două spații asociate sunt n- conectate, se spune că satisfac o omotopie principiu sau „h-principiu”. Există o serie de tehnici generale puternice pentru dovedirea principiilor h. ${\ displaystyle M \ to N,}$ ${\ displaystyle X (M) \ to X (N),}$

Languages

In other projects

n -spatiu conectat - n-connected space

Cuprins