Lista politopilor și compușilor obișnuiți - List of regular polytopes and compounds

Exemplu de politopi obișnuiți

Poligoane regulate (2D)
Convex	Stea
{5}	{5/2}
Poliedre regulate (3D)
Convex	Stea
{5,3}	{5 / 2,5}
Teselări 2D obișnuite
Euclidian	Hiperbolic
{4,4}	{5,4}
Politopi 4D obișnuiți
Convex	Stea
{5,3,3}	{5 / 2,5,3}
Teselări 3D obișnuite
Euclidian	Hiperbolic
{4,3,4}	{5,3,4}

Acest articol enumeră politopii obișnuiți și compușii politopi obișnuiți din spațiile euclidiene , sferice și hiperbolice .

Simbolul Schläfli descrie fiecare tessellation regulat al unei n -sphere, euclidiene și spații hiperbolice. Un simbol Schläfli care descrie un n -politop descrie echivalent o teselare a unei sfere ( n  - 1). În plus, simetria unui politop regulat sau teselare este exprimată ca un grup Coxeter , pe care Coxeter îl exprimă identic simbolului Schläfli, cu excepția delimitării între paranteze drepte, o notație care se numește notație Coxeter . Un alt simbol înrudit este diagrama Coxeter-Dynkin care reprezintă un grup de simetrie fără inele și reprezintă politopul regulat sau teselarea cu un inel pe primul nod. De exemplu, cubul are simbolul Schläfli {4,3} și cu simetria sa octaedrică , [4,3] sau, este reprezentat de diagrama Coxeter .

Politopii obișnuiți sunt grupați după dimensiune și subgrupate prin forme convexe, neconvexe și infinite. Formele neconvexe folosesc aceleași vârfuri ca formele convexe, dar au fațete intersectate . Formele infinite teselează un spațiu euclidian cu o dimensiune inferioară.

Formele infinite pot fi extinse pentru a tessela un spațiu hiperbolic . Spațiul hiperbolic este ca un spațiu normal la scară mică, dar liniile paralele diverg la distanță. Acest lucru permite figurilor de vârf să aibă defecte unghiulare negative , cum ar fi realizarea unui vârf cu șapte triunghiuri echilaterale și permiterea acestuia să stea plat. Nu se poate face într-un plan regulat, dar poate fi la scara corectă a unui plan hiperbolic.

O definiție mai generală a polytopes regulate , care nu au simboluri simple , Schläfli include polytopes oblic regulate și apeirotopes oblic regulate cu nonplanar fațete sau figuri vertex .

Prezentare generală

Acest tabel prezintă un rezumat al numărului regulat de politopi în funcție de dimensiune.

Dim.	Finit			Euclidian	Hiperbolic			Compuși
					Compact		Paracompact
	Convex	Stea	Oblic	Convex	Convex	Stea	Convex	Convex	Stea
1	1	nici unul	nici unul	1	nici unul	nici unul	nici unul	nici unul	nici unul
2	${\ displaystyle \ infty}$	${\ displaystyle \ infty}$	${\ displaystyle \ infty}$	1	1	nici unul	nici unul	${\ displaystyle \ infty}$	${\ displaystyle \ infty}$
3	5	4	?	3	${\ displaystyle \ infty}$	${\ displaystyle \ infty}$	${\ displaystyle \ infty}$	5	nici unul
4	6	10	?	1	4	nici unul	11	26	20
5	3	nici unul	?	3	5	4	2	nici unul	nici unul
6	3	nici unul	?	1	nici unul	nici unul	5	nici unul	nici unul
7	3	nici unul	?	1	nici unul	nici unul	nici unul	3	nici unul
8	3	nici unul	?	1	nici unul	nici unul	nici unul	6	nici unul
9+	3	nici unul	?	1	nici unul	nici unul	nici unul		nici unul

Nu există teselări stelare regulate euclidiene în niciun număr de dimensiuni.

O singură dimensiune

O diagramă Coxeter reprezintă „planurile” oglinzii ca noduri și pune un inel în jurul unui nod dacă un punct nu este pe plan. Un dion {},, este un punct p și imaginea sa în oglindă punctul p ' , iar segmentul de linie dintre ele.

Un politop unidimensional sau 1-politop este un segment de linie închis , delimitat de cele două puncte finale ale acestuia. Un politop 1 este regulat prin definiție și este reprezentat de simbolul Schläfli {} sau de o diagramă Coxeter cu un singur nod inelat,. Norman Johnson îl numește dion și îi dă simbolul Schläfli {}.

Deși trivial ca politop, apare ca marginile poligoanelor și altor politopi cu dimensiuni superioare. Este utilizat în definiția prismelor uniforme, cum ar fi simbolul Schläfli {} × {p}, sau diagrama Coxeterca produs cartezian al unui segment de linie și al unui poligon regulat.

Două dimensiuni (poligoane)

Politopii bidimensionali se numesc poligoane . Poligoanele regulate sunt echilaterale și ciclice . Un poligon regulat p-gonal este reprezentat de simbolul Schläfli {p}.

De obicei, numai poligoanele convexe sunt considerate obișnuite, dar poligoanele stelare , precum pentagrama , pot fi, de asemenea, considerate regulate. Folosesc aceleași vârfuri ca formele convexe, dar se conectează într-o conectivitate alternativă care trece în jurul cercului de mai multe ori pentru a fi finalizată.

Poligoanele stelare ar trebui numite mai degrabă neconvexe decât concav, deoarece marginile care se intersectează nu generează vârfuri noi și toate vârfurile există pe o margine de cerc.

Convex

Simbolul Schläfli {p} reprezintă un p -gon regulat .

Nume	Triunghi ( 2-simplex )	Pătrat ( 2-ortoplex ) ( 2-cub )	Pentagon ( politop 2-pentagonal )	Hexagon	Heptagon	Octogon
Schläfli	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{8}
Simetrie	D 3 , [3]	D 4 , [4]	D 5 , [5]	D 6 , [6]	D 7 , [7]	D 8 , [8]
Coxeter
Imagine
Nume	Nonagon (Eneagon)	Decagon	Hendecagon	Dodecagon	Tridecagon	Tetradecagon
Schläfli	{9}	{10}	{11}	{12}	{13}	{14}
Simetrie	D 9 , [9]	D 10 , [10]	D 11 , [11]	D 12 , [12]	D 13 , [13]	D 14 , [14]
Dynkin
Imagine
Nume	Pentadecagonul	Hexadecagon	Heptadecagon	Octadecagon	Enneadecagon	Icosagon	... p-gon
Schläfli	{15}	{16}	{17}	{18}	{19}	{20}	{ p }
Simetrie	D 15 , [15]	D 16 , [16]	D 17 , [17]	D 18 , [18]	D 19 , [19]	D 20 , [20]	D p , [p]
Dynkin
Imagine

Sferic

Digonul regulat {2} poate fi considerat a fi un poligon regulat degenerat . Poate fi realizat nedegenerativ în unele spații neeuclidiene, cum ar fi pe suprafața unei sfere sau a unui tor .

Nume	Monogon	Digon
Simbolul Schläfli	{1}	{2}
Simetrie	D 1 , []	D 2 , [2]
Diagrama Coxeter	sau
Imagine

Stele

Există infinit multe politopuri stelare regulate în două dimensiuni, ale căror simboluri Schläfli constau din numere raționale { n / m }. Se numesc poligoane stelare și împărtășesc aceleași aranjamente de vârf ale poligoanelor regulate convexe.

În general, pentru orice număr natural n , există stele n-ascuțite stele poligonale regulate cu simboluri Schläfli { n / m } pentru toate m astfel încât m < n / 2 (strict vorbind { n / m } = { n / ( n - m )}) și m și n sunt coprimă (ca atare, toate stelațiile unui poligon cu un număr prim de laturi vor fi stele regulate). Cazurile în care m și n nu sunt coprimă se numesc poligoane compuse .

Nume	Pentagramă	Heptagramele		Octagramă	Eneagramele		Decagram	... n-grame
Schläfli	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3}	{ p / q }
Simetrie	D 5 , [5]	D 7 , [7]		D 8 , [8]	D 9 , [9],		D 10 , [10]	D p , [ p ]
Coxeter
Imagine

Poligoane stelare regulate până la 20 de laturi

{11/2}	{11/3}	{11/4}	{11/5}	{12/5}	{13/2}	{13/3}	{13/4}	{13/5}	{13/6}
{14/3}	{14/5}	{15/2}	{15/4}	{15/7}	{16/3}	{16/5}	{16/7}
{17/2}	{17/3}	{17/4}	{17/5}	{17/6}	{17/7}	{17/8}	{18/5}	{18/7}
{19/2}	{19/3}	{19/4}	{19/5}	{19/6}	{19/7}	{19/8}	{19/9}	{20/3}	{20/7}	{20/9}

Pot exista poligoane stelare care pot exista doar ca plăci sferice, similar monogonului și digonului (de exemplu: {3/2}, {5/3}, {5/4}, {7/4}, {9 / 5}), însă acestea nu par a fi studiate în detaliu.

Există, de asemenea , poligoane stelare eșuate , cum ar fi piangle , care nu acoperă suprafața unui cerc finit de multe ori.

Inclinarea poligoanelor

În spațiul tridimensional, un poligon regulat este denumit poligon antiprismatic , cu dispunerea vârfului unui antiprism și un subset de margini, zig-zagând între poligoanele de sus și de jos.

Exemplu de înclinare regulată în poligon în zig-zag

Hexagon	Octogon	Decagonuri
D 3d , [2 + , 6]	D 4d , [2 + , 8]	D 5d , [2 + , 10]
{3} # {}	{4} # {}	{5} # {}	{5/2} # {}	{5/3} # {}

În 4 dimensiuni, un poligon regulat poate avea vârfuri pe un tor Clifford și este legat de o deplasare Clifford . Spre deosebire de poligoanele de înclinare antiprismatice, poligoanele de înclinare cu rotații duble pot include un număr impar de laturi.

Acestea pot fi văzute în poligoanele Petrie ale 4-politopilor conveși reguli, văzuți ca poligoane plane regulate în perimetrul proiecției planului Coxeter:

Pentagon	Octogon	Dodecagon	Triacontagon
5-celule	16-celule	24 de celule	600 de celule

Trei dimensiuni (poliedre)

În trei dimensiuni, politopii se numesc poliedre :

Un poliedru regulat cu simbolul Schläfli {p, q}, diagrame Coxeter, are un tip de față regulat {p} și o figură de vârf regulată {q}.

O figură de vârf (a unui poliedru) este un poligon, văzut prin conectarea acelor vârfuri care sunt la o margine distanță de un vârf dat. Pentru poliedre regulate , această figură de vârf este întotdeauna un poligon regulat (și plan).

Existența unui poliedru regulat {p, q} este constrânsă de o inegalitate, legată de defectul unghiului figurii vârfului :

${\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}}> {\ frac {1} {2}}: {\ text {Poliedru (existent în 3 spații euclidiene)}} \\ [6pt] & {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} = {\ frac {1} {2}}: {\ text {Placarea planului euclidian}} \\ [6pt] & {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} <{\ frac {1} {2}}: {\ text {Hyperbolic placarea cu plăci}} \ end {align}}}$

Prin enumerarea permutațiilor , găsim cinci forme convexe, patru forme stelare și trei plăci, toate cu poligoane {p} și {q} limitate la: {3}, {4}, {5}, {5/2}, și {6}.

Dincolo de spațiul euclidian, există un set infinit de plăci hiperbolice regulate.

Convex

Cele cinci poliedre regulate convexe se numesc solide platonice . Cifra vârfului este dată cu fiecare număr de vârfuri. Toate aceste poliedre au o caracteristică Euler (χ) de 2.

Nume	Schläfli {p, q}	Coxeter	Imagine (solidă)	Imagine (sferă)	Fețe {p}	Margini	Vârfuri {q}	Simetrie	Dual
Tetraedru ( 3-simplex )	{3,3}				4 {3}	6	4 {3}	T d [3,3] (* 332)	(de sine)
Cub hexagonal ( 3 cuburi )	{4,3}				6 {4}	12	8 {3}	O h [4,3] (* 432)	Octaedru
Octahedron ( 3-ortoplex )	{3,4}				8 {3}	12	6 {4}	O h [4,3] (* 432)	cub
Dodecaedru	{5,3}				12 {5}	30	20 {3}	I h [5,3] (* 532)	Icosaedru
Icosaedru	{3,5}				20 {3}	30	12 {5}	I h [5,3] (* 532)	Dodecaedru

Sferic

În geometria sferică , există poliedre sferice regulate ( acoperiri ale sferei ) care altfel ar fi degenerate ca politopi. Acestea sunt osedrele {2, n} și duedra lor duală {n, 2}. Coxeter numește aceste cazuri teselări „improprii”.

Primele câteva cazuri (n de la 2 la 6) sunt enumerate mai jos.

Hosohedra

Nume	Schläfli {2, p}	Diagrama Coxeter	Imagine (sferă)	Fețe {2} π / p	Margini	Vârfuri {p}	Simetrie	Dual
Ososedru digonal	{2,2}			2 {2} π / 2	2	2 {2} π / 2	D 2h [2,2] (* 222)	De sine
Hosoedru trigonal	{2,3}			3 {2} π / 3	3	2 {3}	D 3h [2,3] (* 322)	Diedru trigonal
Hosoedru pătrat	{2,4}			4 {2} π / 4	4	2 {4}	D 4h [2,4] (* 422)	Diedru pătrat
Ososedru pentagonal	{2,5}			5 {2} π / 5	5	2 {5}	D 5h [2,5] (* 522)	Diedru pentagonal
Ososedru hexagonal	{2,6}			6 {2} π / 6	6	2 {6}	D 6h [2,6] (* 622)	Diedru hexagonal

Dihedra

Nume	Schläfli {p, 2}	Diagrama Coxeter	Imagine (sferă)	Fețe {p}	Margini	Vârfuri {2}	Simetrie	Dual
Diedru digonal	{2,2}			2 {2} π / 2	2	2 {2} π / 2	D 2h [2,2] (* 222)	De sine
Diedru trigonal	{3,2}			2 {3}	3	3 {2} π / 3	D 3h [3,2] (* 322)	Hosoedru trigonal
Diedru pătrat	{4,2}			2 {4}	4	4 {2} π / 4	D 4h [4,2] (* 422)	Hosoedru pătrat
Diedru pentagonal	{5,2}			2 {5}	5	5 {2} π / 5	D 5h [5,2] (* 522)	Ososedru pentagonal
Diedru hexagonal	{6,2}			2 {6}	6	6 {2} π / 6	D 6h [6,2] (* 622)	Ososedru hexagonal

Staredele și osedrele { p / q , 2} și {2, p / q } există, de asemenea, pentru orice poligon stelar { p / q }.

Stele

Poliedrele stelare obișnuite se numesc poliedre Kepler – Poinsot și există patru dintre ele, bazate pe aranjamentele de vârf ale dodecaedrului {5,3} și icosaedrului {3,5}:

Ca plăci sferice , aceste forme stelare se suprapun sferei de mai multe ori, numită densitatea acesteia , fiind 3 sau 7 pentru aceste forme. Imaginile din faianță arată o singură față poligonică sferică în galben.

Nume	Imagine (scheletică)	Imagine (solidă)	Imagine (sferă)	Diagrama stelației	Schläfli {p, q} și Coxeter	Fețe {p}	Margini	Vârfuri {q} verf.	χ	Densitate	Simetrie	Dual
Dodecaedru mic stelat					{5 / 2,5}	12 {5/2}	30	12 {5}	−6	3	I h [5,3] (* 532)	Mare dodecaedru
Mare dodecaedru					{5,5 / 2}	12 {5}	30	12 {5/2}	−6	3	I h [5,3] (* 532)	Dodecaedru mic stelat
Mare dodecaedru stelat					{5 / 2,3}	12 {5/2}	30	20 {3}	2	7	I h [5,3] (* 532)	Mare icosaedru
Mare icosaedru					{3,5 / 2}	20 {3}	30	12 {5/2}	2	7	I h [5,3] (* 532)	Mare dodecaedru stelat

Există infinit de multe poliedre stelare eșuate . Acestea sunt, de asemenea, plăci sferice cu poligoane stelare în simbolurile lor Schläfli, dar nu acoperă o sferă finit de multe ori. Câteva exemple sunt {5 / 2,4}, {5 / 2,9}, {7 / 2,3}, {5 / 2,5 / 2}, {7 / 2,7 / 3}, {4, 5/2} și {3,7 / 3}.

Poliedre înclinate

Poliedrele înclinate regulat sunt generalizări la setul de poliedru regulat, care includ posibilitatea figurilor de vârf nonplanare .

Pentru poliedrele înclinate în 4 dimensiuni, Coxeter a oferit un simbol Schläfli modificat {l, m | n} pentru aceste figuri, cu {l, m} implicând figura vertexului , m l-goni în jurul unui vârf și găurile n -gonale. Figurile lor de vârf sunt poligoane înclinate , în zig-zag între două planuri.

Poliedrele înclinate obișnuite, reprezentate prin {l, m | n}, urmează această ecuație:

2 sin (π / l) sin (π / m) = cos (π / n)

Patru dintre ele pot fi văzute în 4 dimensiuni ca un subset de fețe a patru politopi obișnuiți , care împărtășesc același aranjament de vârf și aranjament de margine :

{4, 6 | 3}	{6, 4 | 3}	{4, 8 | 3}	{8, 4 | 3}

Patru dimensiuni

4-politopii obișnuiți cu simbolul Schläfli au celule de tip , fețe de tip , figuri de margine și figuri de vârf . ${\ displaystyle \ {p, q, r \}}$${\ displaystyle \ {p, q \}}$${\ displaystyle \ {p \}}$${\ displaystyle \ {r \}}$${\ displaystyle \ {q, r \}}$

• O figură de vârf (a unui 4-politop) este un poliedru, văzut prin dispunerea vârfurilor vecine în jurul unui vârf dat. Pentru 4-politopi obișnuiți, această figură de vârf este un poliedru regulat.
• O figură de margine este un poligon, văzut prin dispunerea fețelor în jurul unei margini. Pentru 4-politopi obișnuiți, această figură de margine va fi întotdeauna un poligon regulat.

Existența unui 4-politop regulat este constrânsă de existența poliedrelor regulate . Un nume sugerat pentru 4-politopi este „policoron”. ${\ displaystyle \ {p, q, r \}}$${\ displaystyle \ {p, q \}, \ {q, r \}}$

Fiecare va exista într-un spațiu dependent de această expresie:

${\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {p}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {r}} \ right) - \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {q}} \ right)}$

${\ displaystyle> 0}$ : Fagure hipersferic cu 3 spații sau 4-politop

${\ displaystyle = 0}$ : Fagure euclidian cu 3 spații

${\ displaystyle <0}$ : Fagure hiperbolic cu 3 spații

Aceste constrângeri permit 21 de forme: 6 sunt convexe, 10 sunt neconvexe, una este un fagure euclidian cu 3 spații și 4 sunt faguri hiperbolici.

Caracteristica Euler pentru 4-politopi conveși este zero: ${\ displaystyle \ chi}$${\ displaystyle \ chi = V + FEC = 0}$

Convex

Cei 6 politopi regulari conveși sunt prezentați în tabelul de mai jos. Toți acești 4-politopi au o caracteristică Euler (χ) de 0.

Nume	Schläfli {p, q, r}	Coxeter	Celule {p, q}	Fețe {p}	Muchii {r}	Vârfuri {q, r}	Dual {r, q, p}
5 celule ( 4 simplex )	{3,3,3}		5 {3,3}	10 {3}	10 {3}	5 {3,3}	(de sine)
8-celule ( 4-cub ) (Tesseract)	{4,3,3}		8 {4,3}	24 {4}	32 {3}	16 {3,3}	16-celule
16 celule ( 4-ortoplex )	{3,3,4}		16 {3,3}	32 {3}	24 {4}	8 {3,4}	Tesseract
24 de celule	{3,4,3}		24 {3,4}	96 {3}	96 {3}	24 {4,3}	(de sine)
120 de celule	{5,3,3}		120 {5,3}	720 {5}	1200 {3}	600 {3,3}	600 de celule
600 de celule	{3,3,5}		600 {3,3}	1200 {3}	720 {5}	120 {3,5}	120 de celule

5-celule	8-celule	16-celule	24 de celule	120 de celule	600 de celule
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
Wireframe ( poligonul Petrie ) înclină proiecțiile ortografice
Proiecții ortografice solide
anvelopa tetraedrica ( centrata pe celula / vertex)	plic cubic (centrat pe celulă)	plic cubic (centrat pe celulă)	anvelopa cuboctaedrica (centrata pe celula)	plic triacontedron trombat rombic (centrat pe celulă)	Pentakis icosidodecahedral plic (centrat pe vertex)
Diagramele Wireframe Schlegel ( proiecție în perspectivă )
(centrat pe celulă)	(centrat pe celulă)	(centrat pe celulă)	(centrat pe celulă)	(centrat pe celulă)	(centrat pe vertex)
Proiecții stereografice Wireframe ( hipersferice )

Sferic

Di-4-topuri și hoso-4-topuri există ca teselări regulate ale 3-sferei .

Regular di-4-Topes (2 fațete) includ: {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3,5,2 }, {p, 2,2} și lor HOSO-4-Tope duali (2 vârfuri): {2,3,3}, {2,4,3}, {2,3,4}, {2, 3,5}, {2,5,3}, {2,2, p }. 4-politopii de forma {2, p , 2} sunt aceiași cu {2,2, p }. Există, de asemenea, cazurile { p , 2, q } care au celule diedre și figuri de vertex hosoedrice.

Regular HOSO-4-Topes ca 3-sferă faguri

Schläfli {2, p , q }	Coxeter	Celulele {2, p } π / q	Fețe {2} π / p , π / q	Margini	Vârfuri	Figura de vârf { p , q }	Simetrie	Dual
{2,3,3}		4 {2,3} π / 3	6 {2} π / 3, π / 3	4	2	{3,3}	[2,3,3]	{3,3,2}
{2,4,3}		6 {2,4} π / 3	12 {2} π / 4, π / 3	8	2	{4,3}	[2,4,3]	{3,4,2}
{2,3,4}		8 {2,3} π / 4	12 {2} π / 3, π / 4	6	2	{3,4}	[2,4,3]	{4,3,2}
{2,5,3}		12 {2,5} π / 3	30 {2} π / 5, π / 3	20	2	{5,3}	[2,5,3]	{3,5,2}
{2,3,5}		20 {2,3} π / 5	30 {2} π / 3, π / 5	12	2	{3,5}	[2,5,3]	{5,3,2}

Stele

Există zece 4-politopi stelari obișnuiți , care sunt numiți 4-politopi Schläfli – Hess . Vârfurile lor se bazează pe convexele 120 de celule {5,3,3} și 600 de celule {3,3,5} .

Ludwig Schläfli a găsit patru dintre ele și le-a sărit pe ultimele șase, pentru că nu ar permite formele care nu au caracteristica Euler pe celule sau figuri de vârf (pentru tori cu găuri zero: F + V − E = 2). Edmund Hess (1843–1903) a completat lista completă a zece în cartea sa germană Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder (1883) [1] .

Există 4 aranjamente de margine unice și 7 aranjamente de față unice de la acești 10 politopi stelari obișnuiți, arătați ca proiecții ortogonale :

Nume	Cadru de sarma	Solid	Schläfli {p, q, r} Coxeter	Celule {p, q}	Fețe {p}	Muchii {r}	Vârfuri {q, r}	Densitate	χ	Grup de simetrie	Dual {r, q, p}
Icosaedric 120 de celule (600 de celule cu fațete)			{3,5,5 / 2}	120 {3,5}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {5,5 / 2}	4	480	H 4 [5,3,3]	Mic stelat de 120 de celule
Mic stelat de 120 de celule			{5 / 2,5,3}	120 {5 / 2,5}	720 {5/2}	1200 {3}	120 {5,3}	4	−480	H 4 [5,3,3]	Icosaedric 120 de celule
Mare 120 de celule			{5,5 / 2,5}	120 {5,5 / 2}	720 {5}	720 {5}	120 {5 / 2,5}	6	0	H 4 [5,3,3]	Auto-dual
Grand 120 de celule			{5,3,5 / 2}	120 {5,3}	720 {5}	720 {5/2}	120 {3,5 / 2}	20	0	H 4 [5,3,3]	Mare cu 120 de celule stelate
Mare cu 120 de celule stelate			{5 / 2,3,5}	120 {5 / 2,3}	720 {5/2}	720 {5}	120 {3,5}	20	0	H 4 [5,3,3]	Grand 120 de celule
Grand stelat cu 120 de celule			{5 / 2,5,5 / 2}	120 {5 / 2,5}	720 {5/2}	720 {5/2}	120 {5,5 / 2}	66	0	H 4 [5,3,3]	Auto-dual
Mare mare 120 de celule			{5,5 / 2,3}	120 {5,5 / 2}	720 {5}	1200 {3}	120 {5 / 2,3}	76	−480	H 4 [5,3,3]	Mare icosaedru de 120 de celule
Mare icosaedrică 120 de celule (mare fațetă de 600 de celule)			{3,5 / 2,5}	120 {3,5 / 2}	1200 {3}	720 {5}	120 {5 / 2,5}	76	480	H 4 [5,3,3]	Mare mare 120 de celule
Grand 600 de celule			{3,3,5 / 2}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {3,5 / 2}	191	0	H 4 [5,3,3]	Mare mare cu 120 de celule stelate
Mare mare cu 120 de celule stelate			{5 / 2,3,3}	120 {5 / 2,3}	720 {5/2}	1200 {3}	600 {3,3}	191	0	H 4 [5,3,3]	Grand 600 de celule

Există 4 permutări potențiale cu 4-politopi stelari potențiali eșuați : {3,5 / 2,3}, {4,3,5 / 2}, {5 / 2,3,4}, {5 / 2,3,5 / 2}. Celulele și figurile vertexului lor există, dar nu acoperă o hipersferă cu un număr finit de repetări.

Cinci și mai multe dimensiuni

În cinci dimensiuni , un politop obișnuit poate fi numit ca unde este tipul cu 4 fețe, este tipul de celulă, este tipul de față și este figura feței, este figura de margine și este figura de vârf. ${\ displaystyle \ {p, q, r, s \}}$${\ displaystyle \ {p, q, r \}}$${\ displaystyle \ {p, q \}}$${\ displaystyle \ {p \}}$${\ displaystyle \ {s \}}$${\ displaystyle \ {r, s \}}$${\ displaystyle \ {q, r, s \}}$

O figură de vârf (a unui 5-politop) este un 4-politop, văzut prin dispunerea vârfurilor învecinate fiecărui vârf.

O figură de margine (a unui 5-politop) este un poliedru, văzut prin dispunerea fețelor în jurul fiecărei margini.

O figură a feței (a unui politop 5) este un poligon, văzut prin dispunerea celulelor în jurul fiecărei fețe.

Un 5-politop obișnuit există numai dacă și sunt 4-politopi obișnuiți. ${\ displaystyle \ {p, q, r, s \}}$${\ displaystyle \ {p, q, r \}}$${\ displaystyle \ {q, r, s \}}$

Spațiul în care se potrivește se bazează pe expresia:

${\ displaystyle {\ frac {\ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ pi} {q}} \ right)} {\ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ pi} {p }} \ right)}} + {\ frac {\ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ pi} {r}} \ right)} {\ sin ^ {2} \ left ({\ frac { \ pi} {s}} \ right)}}}$

${\ displaystyle <1}$ : Teselare sferică în 4 spații sau politop în 5 spații

${\ displaystyle = 1}$ : Teselare euclidiană cu 4 spații

${\ displaystyle> 1}$ : teselare hiperbolică în 4 spații

Enumerarea acestor constrângeri produce 3 politopi conveși, zero politopi neconvexe, 3 teselări cu 4 spații și 5 teselări hiperbolice cu 4 spații. Nu există politopi reguli neconveși în cinci dimensiuni sau mai mare.

Convex

În dimensiunile 5 și mai mari, există doar trei tipuri de politopi conveși.

Nume	Simbol Schläfli {p 1 , ..., p n −1 }	Coxeter	k -faces	Tipul fațetei	Figura Vertex	Dual
n -simplex	{3 n −1 }	...	${\ displaystyle {{n + 1} \ alegeți {k + 1}}}$	{3 n −2 }	{3 n −2 }	Auto-dual
n -cub	{4,3 n −2 }	...	${\ displaystyle 2 ^ {nk} {n \ alege k}}$	{4,3 n −3 }	{3 n −2 }	n -orthoplex
n -orthoplex	{3 n −2 , 4}	...	${\ displaystyle 2 ^ {k + 1} {n \ alege {k + 1}}}$	{3 n −2 }	{3 n −3 , 4}	n -cub

Există, de asemenea, cazuri necorespunzătoare în care unele numere din simbolul Schläfli sunt 2. De exemplu, {p, q, r, ... 2} este un politop sferic regulat necorespunzător ori de câte ori {p, q, r ...} este un regulat politop sferic și {2, ... p, q, r} este un politop sferic regulat necorespunzător ori de câte ori {... p, q, r} este un politop sferic regulat. Astfel de politopi pot fi folosiți și ca fațete, producând forme precum {p, q, ... 2 ... y, z}.

5 dimensiuni

Nume	Simbol Schläfli {p, q, r, s} Coxeter	Fațete {p, q, r}	Celule {p, q}	Fețe {p}	Margini	Vârfuri	Figură de față {s}	Figura de margine {r, s}	Figura de vârf {q, r, s}
5-simplex	{3,3,3,3}	6 {3,3,3}	15 {3,3}	20 {3}	15	6	{3}	{3,3}	{3,3,3}
5-cub	{4,3,3,3}	10 {4,3,3}	40 {4,3}	80 {4}	80	32	{3}	{3,3}	{3,3,3}
5-ortoplex	{3,3,3,4}	32 {3,3,3}	80 {3,3}	80 {3}	40	10	{4}	{3,4}	{3,3,4}

5-simplex

5-cub

5-ortoplex

6 dimensiuni

Nume	Schläfli	Vârfuri	Margini	Fețe	Celulele	4 fețe	5 fețe	χ
6-simplex	{3,3,3,3,3}	7	21	35	35	21	7	0
6-cub	{4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12	0
6-ortoplex	{3,3,3,3,4}	12	60	160	240	192	64	0

6-simplex

6-cub

6-ortoplex

7 dimensiuni

Nume	Schläfli	Vârfuri	Margini	Fețe	Celulele	4 fețe	5 fețe	6 fețe	χ
7-simplex	{3,3,3,3,3,3}	8	28	56	70	56	28	8	2
7-cub	{4,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	14	2
7-ortoplex	{3,3,3,3,3,4}	14	84	280	560	672	448	128	2

7-simplex

7-cub

7-ortoplex

8 dimensiuni

Nume	Schläfli	Vârfuri	Margini	Fețe	Celulele	4 fețe	5 fețe	6 fețe	7 fețe	χ
8-simplex	{3,3,3,3,3,3,3}	9	36	84	126	126	84	36	9	0
8-cub	{4,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	0
8-ortoplex	{3,3,3,3,3,3,4}	16	112	448	1120	1792	1792	1024	256	0

8-simplex

8-cub

8-ortoplex

9 dimensiuni

Nume	Schläfli	Vârfuri	Margini	Fețe	Celulele	4 fețe	5 fețe	6 fețe	7 fețe	8 fețe	χ
9-simplex	{3 8 }	10	45	120	210	252	210	120	45	10	2
9-cub	{4,3 7 }	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	2
9-ortoplex	{3 7 , 4}	18	144	672	2016	4032	5376	4608	2304	512	2

9-simplex

9-cub

9-ortoplex

10 dimensiuni

Nume	Schläfli	Vârfuri	Margini	Fețe	Celulele	4 fețe	5 fețe	6 fețe	7 fețe	8 fețe	9 fețe	χ
10-simplex	{3 9 }	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11	0
10-cub	{4,3 8 }	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	0
10-ortoplex	{3 8 , 4}	20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024	0

10-simplex

10-cub

10-ortoplex

...

Non-convex

Nu există politopi reguli neconveși în cinci dimensiuni sau mai mari, cu excepția hosotopilor formați din politopi reguli neconveși cu dimensiuni inferioare.

Politopi proiecționali regulat

Există un politop proiectiv regulat ( n +1) atunci când o teselare n- sferică regulată originală , {p, q, ...}, este central simetrică . Un astfel de politop se numește hemi- {p, q, ...} și conține jumătate din numărul de elemente. Coxeter dă un simbol {p, q, ...} / 2, în timp ce McMullen scrie {p, q, ...} _{h / 2} cu h ca număr al coxeterului .

Poligoanele regulate cu părți uniforme au poligoane proiective hemi- 2n- gon, {2p} / 2.

Există 4 poliedre proiective regulate legate de 4 din 5 solide platonice .

Hemi-cubul și hemi-octaedrul se generalizează ca hemi- n -cuburi și hemi- n - ortoplexuri în orice dimensiune.

Poliedre proiective regulate

Hemi-politopi regulari tridimensionali

Nume	Coxeter McMullen	Imagine	Fețe	Margini	Vârfuri	χ
Hemi-cub	{4,3} / 2 {4,3} 3		3	6	4	1
Hemi-octaedru	{3,4} / 2 {3,4} 3		4	6	3	1
Hemi-dodecaedru	{5,3} / 2 {5,3} 5		6	15	10	1
Hemiicosaedru	{3,5} / 2 {3,5} 5		10	15	6	1

4-politopi proiecționali regulat

În 4-dimensiuni 5 din 6 convexe, 4-politopi obișnuiți generează 4-politopi proiectivi. Cele 3 cazuri speciale sunt hemi-24-celule, hemi-600-celule și hemi-120-celule.

Hemi-politopi regulari 4-dimensionali

Nume	Simbolul Coxeter	Simbolul McMullen	Celulele	Fețe	Margini	Vârfuri	χ
Hemi- tesseract	{4,3,3} / 2	{4,3,3} 4	4	12	16	8	0
Hemi- 16 celule	{3,3,4} / 2	{3,3,4} 4	8	16	12	4	0
Hemi- 24 celule	{3,4,3} / 2	{3,4,3} 6	12	48	48	12	0
Hemi- 120 celule	{5,3,3} / 2	{5,3,3} 15	60	360	600	300	0
Hemi -600 celule	{3,3,5} / 2	{3,3,5} 15	300	600	360	60	0

5-politopi proiecți regulat

Există doar 2 hemi-politopi proiecționali normali conveși în dimensiunile 5 sau mai mari.

Nume	Schläfli	4 fețe	Celulele	Fețe	Margini	Vârfuri	χ
hemi- penteract	{4,3,3,3} / 2	5	20	40	40	16	1
hemi- pentacross	{3,3,3,4} / 2	16	40	40	20	5	1

Apeirotopi

Un apeirotop sau politop infinit este un politop care are infinit de multe fațete . Un n -apirotop este un n -politop infinit : un 2-apeirotop sau apeirogon este un poligon infinit, un 3-apeirotop sau apeiroedru este un poliedru infinit etc.

Există două clase geometrice principale ale apeirotopului:

• Faguri regulate în n dimensiuni, care umple complet un spațiu n- dimensional.
• Regulate apeirotopes oblic , care cuprinde un n colector -dimensional într - un spațiu mai mare.

O dimensiune (apeirogoni)

Apeirogonul drept este o teselare regulată a liniei, împărțind- o în infinit de multe segmente egale. Are infinit multe vârfuri și muchii. Simbolul său Schläfli este {∞} și diagrama Coxeter.

... ...

Există ca limită a p -gon, deoarece p tinde spre infinit, după cum urmează:

Nume	Monogon	Digon	Triunghi	Pătrat	Pentagon	Hexagon	Heptagon	p-gon	Apeirogon
Schläfli	{1}	{2}	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{ p }	{∞}
Simetrie	D 1 , []	D 2 , [2]	D 3 , [3]	D 4 , [4]	D 5 , [5]	D 6 , [6]	D 7 , [7]	[p]
Coxeter	sau
Imagine

Apeirogonii din planul hiperbolic , în special apeirogonul regulat , {∞}, pot avea o curbură la fel ca poligoanele finite ale planului euclidian, cu vârfurile circumscrise mai degrabă de horocicluri sau hipercicluri decât de cercuri .

Apeirogonii obișnuiți, care sunt convertiți la infinit, au simbolul {∞} și există pe horocicluri, în timp ce mai general pot exista pe hipercicluri.

{∞}	{πi / λ}
Apeirogon pe horocycle	Apeirogon pe hiperciclu

Deasupra sunt două apeirogoni hiperbolici obișnuiți în modelul discului Poincaré , cea dreaptă prezintă linii de reflecție perpendiculare ale domeniilor fundamentale divergente , separate de lungimea λ.

Ajustați apeirogonii

Un apeirogon înclinat în două dimensiuni formează o linie în zig-zag în plan. Dacă zig-zagul este egal și simetric, atunci apeirogonul este regulat.

Apeirogonii pot fi construiți în orice număr de dimensiuni. În trei dimensiuni, un apeirogon înclinat regulat trasează o spirală elicoidală și poate fi stânga sau dreaptă.

2-dimensiuni	3-dimensiuni
Zig-zag apeirogon	Helix apeirogon

Două dimensiuni (apeirohedra)

Placări euclidiene

Există trei teselări regulate ale planului. Toate cele trei au o caracteristică Euler (χ) de 0.

Nume	Tiglă pătrată (cvadrilă)	Placi triunghiulare (deltille)	Placi hexagonale (hextille)
Simetrie	p4m, [4,4], (* 442)	p6m, [6,3], (* 632)
Schläfli {p, q}	{4,4}	{3,6}	{6,3}
Diagrama Coxeter
Imagine

Există două plăci regulate necorespunzătoare: {∞, 2}, un diedru apeirogonal , format din două apeirogoni , fiecare umplând jumătate din plan; și în al doilea rând, dualul său, {2, ∞}, un osedru apeirogonal , văzut ca un set infinit de linii paralele.

{∞, 2} ,

{2, ∞} ,

Acoperiri cu stele euclidiene

Nu există plăci regulate ale poligoanelor stelare . Există multe enumerări care se potrivesc în plan (1 / p + 1 / q = 1/2), cum ar fi {8 / 3,8}, {10 / 3,5}, {5 / 2,10}, {12 / 5,12} etc., dar niciuna nu se repetă periodic.

Placări hiperbolice

Teselările de spațiu 2 hiperbolic sunt plăci hiperbolice . Există infinit de multe plăci obișnuite în H ² . Așa cum s-a menționat mai sus, fiecare pereche întreagă pozitivă { p , q } astfel încât 1 / p  + 1 / q <1/2 dă o placă hiperbolică. De fapt, pentru triunghiul general Schwarz ( p ,  q ,  r ) același lucru este valabil și pentru 1 / p  + 1 / q  + 1 / r <1.

Există o serie de moduri diferite de a afișa planul hiperbolic, inclusiv modelul de disc Poincaré care mapează planul într-un cerc, așa cum se arată mai jos. Trebuie să se recunoască faptul că toate fețele poligonului din plăcile de mai jos sunt de dimensiuni egale și par să devină mai mici doar lângă margini datorită proiecției aplicate, foarte asemănătoare cu efectul unui obiectiv de ochi de pe cameră .

Există infinit de mulți 3-apeirotopi plate (apeirohedra) ca plăci regulate ale planului hiperbolic, de forma {p, q}, cu p + q <pq / 2. ( enumerate anterior mai sus ca teselări)

• {3,7}, {3,8}, {3,9} ... {3, ∞}
• {4,5}, {4,6}, {4,7} ... {4, ∞}
• {5,4}, {5,5}, {5,6} ... {5, ∞}
• {6,4}, {6,5}, {6,6} ... {6, ∞}
• {7,3}, {7,4}, {7,5} ... {7, ∞}
• {8,3}, {8,4}, {8,5} ... {8, ∞}
• {9,3}, {9,4}, {9,5} ... {9, ∞}
• ...
• {∞, 3}, {∞, 4}, {∞, 5} ... {∞, ∞}

O probă:

Tabel hiperbolic regulat v t e
Teselări sferice (necorespunzătoare / platonice) / euclidiene / hiperbolice (disc Poincaré: compact / paracompact / noncompact ) cu simbolul lor Schläfli
p \ q	2	3	4	5	6	7	8	...	∞	...	iπ / λ
2	{2 , 2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	{2,6}	{2,7}	{2,8}		{2, ∞}		{2, iπ / λ}
3	{3,2}	( tetraedru ) {3,3}	( octaedru ) {3,4}	( icosaedru ) {3,5}	( deltille ) {3,6}	{3,7}	{3,8}		{3, ∞}		{3, iπ / λ}
4	{4,2}	( cub ) {4,3}	( cvadrilă ) {4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}		{4, ∞}		{4, iπ / λ}
5	{5,2}	( dodecaedru ) {5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}		{5, ∞}		{5, iπ / λ}
6	{6,2}	( hextille ) {6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}		{6, ∞}		{6, iπ / λ}
7	{7,2}	{7,3}	{7,4}	{7,5}	{7,6}	{7,7}	{7,8}		{7, ∞}		{7, iπ / λ}
8	{8,2}	{8,3}	{8,4}	{8,5}	{8,6}	{8,7}	{8,8}		{8, ∞}		{8, iπ / λ}
...
∞	{∞, 2}	{∞, 3}	{∞, 4}	{∞, 5}	{∞, 6}	{∞, 7}	{∞, 8}	{∞, ∞}	{∞, iπ / λ}
...
iπ / λ	{iπ / λ, 2}	{iπ / λ, 3}	{iπ / λ, 4}	{iπ / λ, 5}	{iπ / λ, 6}	{iπ / λ, 7}	{iπ / λ, 8}	{iπ / λ, ∞}	{iπ / λ, iπ / λ}

Acoperiri cu stele hiperbolice

Există 2 forme infinite de tilings hiperbolice ale căror fețe sau figuri vertex sunt poligoane stele: { m / 2, m } și duals lor { m , m / 2} cu m = 7, 9, 11, .... { m / 2, m } plăcile sunt stelări ale plăcilor { m , 3}, în timp ce plăcile duale { m , m / 2} sunt fațetări ale plăcilor {3, m } și mărimile plăcilor { m , 3}.

Modelele { m / 2, m } și { m , m / 2} continuă pentru m impare <7 ca poliedre : când m = 5, obținem micul dodecaedru stelat și marele dodecaedru , iar când m = 3, cazul degenerează la un tetraedru . Ceilalți doi poliedri Kepler – Poinsot ( marele dodecaedru stelat și marele icosaedru ) nu au analogi de plăci hiperbolice regulate. Dacă m este egal, în funcție de modul în care alegem să definim { m / 2}, putem obține fie capace duble degenerate ale altor plăci, fie plăci compuse .

Nume	Schläfli	Diagrama Coxeter	Imagine	Tipul feței {p}	Figura de vârf {q}	Densitate	Simetrie	Dual
Placă heptagrammatică de comandă-7	{7 / 2,7}			{7/2}	{7}	3	* 732 [7,3]	Tiglă heptagonală de ordin heptagrammic
Tiglă heptagonală de ordin heptagrammic	{7,7 / 2}			{7}	{7/2}	3	* 732 [7,3]	Placă heptagrammatică de comandă-7
Plăci eneagramatice Order-9	{9 / 2,9}			{9/2}	{9}	3	* 932 [9,3]	Tiglă enneagonală de ordin eneagramatic
Tiglă eneagonală de ordin eneagramatic	{9,9 / 2}			{9}	{9/2}	3	* 932 [9,3]	Plăci eneagramatice Order-9
Placare hendecagrammică Order-11	{11 / 2,11}			{11/2}	{11}	3	* 11.3.2 [11,3]	Placare hendecagonală de ordin Hendecagrammic
Tiglă hendecagonală de ordin Hendecagrammic	{11,11 / 2}			{11}	{11/2}	3	* 11.3.2 [11,3]	Placare hendecagrammică Order-11
Comanda- p p -grammic Tigla	{ p / 2, p }			{ p / 2}	{ p }	3	* p 32 [p, 3]	p -grammic ordinul p Tigla -gonal
p -grammic ordinul p Tigla -gonal	{ p , p / 2}			{ p }	{ p / 2}	3	* p 32 [p, 3]	Comanda- p p -grammic Tigla

Află apeirohedra în spațiul 3 euclidian

Există trei apeirohedra obișnuite în spațiul 3 euclidian, cu cifre regulate ale vârfului poligonului . Aceștia împărtășesc același aranjament de vârf și aranjament de margine cu 3 faguri uniformi conveși .

• 6 pătrate în jurul fiecărui vârf: {4,6 | 4}
• 4 hexagoane în jurul fiecărui vârf: {6,4 | 4}
• 6 hexagoane în jurul fiecărui vârf: {6,6 | 3}

Poliedre înclinate regulat
{4,6 | 4}	{6,4 | 4}	{6,6 | 3}

Există treizeci de apeiroedre obișnuite în spațiul 3 euclidian. Acestea includ cele enumerate mai sus, precum și alte 8 apeiroedre "pure", toate legate de fagure cubice, {4,3,4}, cu altele cu fețe poligonale înclinate: {6,6} ₄ , {4,6} ₄ , {6,4} ₆ , {∞, 3} ^a , {∞, 3} ^b , {∞, 4} ^{. * 3} , {∞, 4} _6,4 , {∞, 6} _4,4 , și {∞, 6} _6,3 .

Află apeirohedra în 3 spații hiperbolice

Există 31 apeirohedra obișnuite în 3 spații hiperbolice:

• 14 sunt compacte: {8,10 | 3}, {10,8 | 3}, {10,4 | 3}, {4,10 | 3}, {6,4 | 5}, {4,6 | 5 }, {10,6 | 3}, {6,10 | 3}, {8,8 | 3}, {6,6 | 4}, {10,10 | 3}, {6,6 | 5}, {8,6 | 3} și {6,8 | 3}.
• 17 sunt paracompacte: {12,10 | 3}, {10,12 | 3}, {12,4 | 3}, {4,12 | 3}, {6,4 | 6}, {4,6 | 6 }, {8,4 | 4}, {4,8 | 4}, {12,6 | 3}, {6,12 | 3}, {12,12 | 3}, {6,6 | 6}, {8,6 | 4}, {6,8 | 4}, {12,8 | 3}, {8,12 | 3} și {8,8 | 4}.

Trei dimensiuni (4 apeirotopi)

Tessellations of Euclidean 3-space

Există o singură teselare regulată nedegenerată a 3 spații ( faguri ), {4, 3, 4}:

Nume	Schläfli {p, q, r}	Coxeter	Tipul de celulă {p, q}	Tipul feței {p}	Figura de margine {r}	Figura de vârf {q, r}	χ	Dual
Fagure cubice	{4,3,4}		{4,3}	{4}	{4}	{3,4}	0	Auto-dual

Teselări necorespunzătoare ale spațiului 3 euclidian

Există șase teselări regulate necorespunzătoare, perechi bazate pe cele trei plăci euclidiene regulate. Celulele și figurile lor de vârf sunt toate osedre regulate {2, n}, diedre , {n, 2} și plăci euclidiene. Aceste placări regulate necorespunzătoare sunt legate în mod constructiv de faguri prismatici uniformi prin operații de trunchiere. Sunt analogi de dimensiuni superioare ale placării apeirogonale de ordinul 2 și ale osedrului apeirogonal .

Schläfli {p, q, r}	Diagrama Coxeter	Tipul de celulă {p, q}	Tipul feței {p}	Figura de margine {r}	Figura de vârf {q, r}
{2,4,4}		{2,4}	{2}	{4}	{4,4}
{2,3,6}		{2,3}	{2}	{6}	{3,6}
{2,6,3}		{2,6}	{2}	{3}	{6,3}
{4,4,2}		{4,4}	{4}	{2}	{4,2}
{3,6,2}		{3,6}	{3}	{2}	{6,2}
{6,3,2}		{6,3}	{6}	{2}	{3,2}

Teselări de 3-spațiu hiperbolic

Există zece faguri reguli plati cu 3 spații hiperbolice: ( enumerate anterior mai sus ca teselări)

• 4 sunt compacte: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4} și {5,3,5}
• în timp ce 6 sunt paracompacte: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3, 6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} și {6,3,6}.

4 faguri regulati compacti {5,3,4} {5,3,5} {4,3,5} {3,5,3}

4 din 11 faguri reguli paracompacti {3,4,4} {3,6,3} {4,4,3} {4,4,4}

Teselările de spațiu hiperbolic 3 pot fi numite faguri hiperbolici . Există 15 faguri hiperbolici în H ³ , 4 compacte și 11 paracompacte.

4 faguri regulati compacti

Nume	Simbol Schläfli {p, q, r}	Coxeter	Tipul de celulă {p, q}	Tipul feței {p}	Figura de margine {r}	Figura de vârf {q, r}	χ	Dual
Fagure icosaedric	{3,5,3}		{3,5}	{3}	{3}	{5,3}	0	Auto-dual
Comanda-5 fagure cubice	{4,3,5}		{4,3}	{4}	{5}	{3,5}	0	{5,3,4}
Fagure dodecaedrică de ordinul 4	{5,3,4}		{5,3}	{5}	{4}	{3,4}	0	{4,3,5}
Fagure dodecaedric de ordinul 5	{5,3,5}		{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	0	Auto-dual

Există, de asemenea, 11 faguri de paracompact H ³ (cei cu celule infinite (euclidiene) și / sau figuri de vârf): {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4, 4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3, 5} și {6,3,6}.

11 faguri reguli paracompacti

Nume	Simbol Schläfli {p, q, r}	Coxeter	Tipul de celulă {p, q}	Tipul feței {p}	Figura de margine {r}	Figura de vârf {q, r}	χ	Dual
Fagure tetraedric de comandă-6	{3,3,6}		{3,3}	{3}	{6}	{3,6}	0	{6,3,3}
Fagure hexagonale cu plăci	{6,3,3}		{6,3}	{6}	{3}	{3,3}	0	{3,3,6}
Fagure octaedric de comandă-4	{3,4,4}		{3,4}	{3}	{4}	{4,4}	0	{4,4,3}
Fagure de piatră pătrată	{4,4,3}		{4,4}	{4}	{3}	{4,3}	0	{3,3,4}
Fagure de piatră triunghiulară	{3,6,3}		{3,6}	{3}	{3}	{6,3}	0	Auto-dual
Comanda-6 fagure cubice	{4,3,6}		{4,3}	{4}	{4}	{3,6}	0	{6,3,4}
Fagure de ceramică hexagonală Order-4	{6,3,4}		{6,3}	{6}	{4}	{3,4}	0	{4,3,6}
Comanda-4 fagure de piatră pătrate	{4,4,4}		{4,4}	{4}	{4}	{4,4}	0	{4,4,4}
Fagure dodecaedric de ordinul 6	{5,3,6}		{5,3}	{5}	{5}	{3,6}	0	{6,3,5}
Fagure de ceramică hexagonală Order-5	{6,3,5}		{6,3}	{6}	{5}	{3,5}	0	{5,3,6}
Fagure hexagonale cu plăci hexagonale Order-6	{6,3,6}		{6,3}	{6}	{6}	{3,6}	0	Auto-dual

Soluțiile necompacte există ca grupuri Lorentzian Coxeter și pot fi vizualizate cu domenii deschise în spațiul hiperbolic (tetraedrul fundamental având unele părți inaccesibile dincolo de infinit). Toate fagurii cu celule hiperbolice sau cifre de vârf și care nu au 2 în simbolul lor Schläfli sunt necompacte.

Faguri sferici (improprii / platonici) / euclidieni / hiperbolici ( compacti / paracompacti / necompacti) {p, 3, r}

{ p , 3} \ r	2	3	4	5	6	7	8	... ∞
{2,3}	{2,3,2}	{2,3,3}	{2,3,4}	{2,3,5}	{2,3,6}	{2,3,7}	{2,3,8}	{2,3, ∞}
{3,3}	{3,3,2}	{3,3,3}	{3,3,4}	{3,3,5}	{3,3,6}	{3,3,7}	{3,3,8}	{3,3, ∞}
{4,3}	{4,3,2}	{4,3,3}	{4,3,4}	{4,3,5}	{4,3,6}	{4,3,7}	{4,3,8}	{4,3, ∞}
{5,3}	{5,3,2}	{5,3,3}	{5,3,4}	{5,3,5}	{5,3,6}	{5,3,7}	{5,3,8}	{5,3, ∞}
{6,3}	{6,3,2}	{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{6,3,7}	{6,3,8}	{6,3, ∞}
{7,3}	{7,3,2}	{7,3,3}	{7,3,4}	{7,3,5}	{7,3,6}	{7,3,7}	{7,3,8}	{7,3, ∞}
{8,3}	{8,3,2}	{8,3,3}	{8,3,4}	{8,3,5}	{8,3,6}	{8,3,7}	{8,3,8}	{8,3, ∞}
... {∞, 3}	{∞, 3,2}	{∞, 3,3}	{∞, 3,4}	{∞, 3,5}	{∞, 3,6}	{∞, 3,7}	{∞, 3,8}	{∞, 3, ∞}

{p, 4, r} { p , 4} \ r 2 3 4 5 6 ∞ {2,4} {2,4,2} {2,4,3} {2,4,4} {2,4,5} {2,4,6} {2,4, ∞} {3,4} {3,4,2} {3,4,3} {3,4,4} {3,4,5} {3,4,6} {3,4, ∞} {4,4} {4,4,2} {4,4,3} {4,4,4} {4,4,5} {4,4,6} {4,4, ∞} {5,4} {5,4,2} {5,4,3} {5,4,4} {5,4,5} {5,4,6} {5,4, ∞} {6,4} {6,4,2} {6,4,3} {6,4,4} {6,4,5} {6,4,6} {6,4, ∞} {∞, 4} {∞, 4,2} {∞, 4,3} {∞, 4,4} {∞, 4,5} {∞, 4,6} {∞, 4, ∞}

{p, 5, r} { p , 5} \ r 2 3 4 5 6 ∞ {2,5} {2,5,2} {2,5,3} {2,5,4} {2,5,5} {2,5,6} {2,5, ∞} {3,5} {3,5,2} {3,5,3} {3,5,4} {3,5,5} {3,5,6} {3,5, ∞} {4,5} {4,5,2} {4,5,3} {4,5,4} {4,5,5} {4,5,6} {4,5, ∞} {5,5} {5,5,2} {5,5,3} {5,5,4} {5,5,5} {5,5,6} {5,5, ∞} {6,5} {6,5,2} {6,5,3} {6,5,4} {6,5,5} {6,5,6} {6,5, ∞} {∞, 5} {∞, 5,2} {∞, 5,3} {∞, 5,4} {∞, 5,5} {∞, 5,6} {∞, 5, ∞}

{p, 6, r} { p , 6} \ r 2 3 4 5 6 ∞ {2,6} {2,6,2} {2,6,3} {2,6,4} {2,6,5} {2,6,6} {2,6, ∞} {3,6} {3,6,2} {3,6,3} {3,6,4} {3,6,5} {3,6,6} {3,6, ∞} {4,6} {4,6,2} {4,6,3} {4,6,4} {4,6,5} {4,6,6} {4,6, ∞} {5,6} {5,6,2} {5,6,3} {5,6,4} {5,6,5} {5,6,6} {5,6, ∞} {6,6} {6,6,2} {6,6,3} {6,6,4} {6,6,5} {6,6,6} {6,6, ∞} {∞, 6} {∞, 6,2} {∞, 6,3} {∞, 6,4} {∞, 6,5} {∞, 6,6} {∞, 6, ∞}

{ p , 7, r } { p , 7} \ r 2 3 4 5 6 ∞ {2,7} {2,7,2} {2,7,3} {2,7,4} {2,7,5} {2,7,6} {2,7, ∞} {3,7} {3,7,2} {3,7,3} {3,7,4} {3,7,5} {3,7,6} {3,7, ∞} {4,7} {4,7,2} {4,7,3} {4,7,4} {4,7,5} {4,7,6} {4,7, ∞} {5,7} {5,7,2} {5,7,3} {5,7,4} {5,7,5} {5,7,6} {5,7, ∞} {6,7} {6,7,2} {6,7,3} {6,7,4} {6,7,5} {6,7,6} {6,7, ∞} {∞, 7} {∞, 7,2} {∞, 7,3} {∞, 7,4} {∞, 7,5} {∞, 7,6} {∞, 7, ∞}

{p, 8, r} { p , 8} \ r 2 3 4 5 6 ∞ {2,8} {2,8,2} {2,8,3} {2,8,4} {2,8,5} {2,8,6} {2,8, ∞} {3,8} {3,8,2} {3,8,3} {3,8,4} {3,8,5} {3,8,6} {3,8, ∞} {4,8} {4,8,2} {4,8,3} {4,8,4} {4,8,5} {4,8,6} {4,8, ∞} {5,8} {5,8,2} {5,8,3} {5,8,4} {5,8,5} {5,8,6} {5,8, ∞} {6,8} {6,8,2} {6,8,3} {6,8,4} {6,8,5} {6,8,6} {6,8, ∞} {∞, 8} {∞, 8,2} {∞, 8,3} {∞, 8,4} {∞, 8,5} {∞, 8,6} {∞, 8, ∞}

{p, ∞, r} { p , ∞} \ r 2 3 4 5 6 ∞ {2, ∞} {2, ∞, 2} {2, ∞, 3} {2, ∞, 4} {2, ∞, 5} {2, ∞, 6} {2, ∞, ∞} {3, ∞} {3, ∞, 2} {3, ∞, 3} {3, ∞, 4} {3, ∞, 5} {3, ∞, 6} {3, ∞, ∞} {4, ∞} {4, ∞, 2} {4, ∞, 3} {4, ∞, 4} {4, ∞, 5} {4, ∞, 6} {4, ∞, ∞} {5, ∞} {5, ∞, 2} {5, ∞, 3} {5, ∞, 4} {5, ∞, 5} {5, ∞, 6} {5, ∞, ∞} {6, ∞} {6, ∞, 2} {6, ∞, 3} {6, ∞, 4} {6, ∞, 5} {6, ∞, 6} {6, ∞, ∞} {∞, ∞} {∞, ∞, 2} {∞, ∞, 3} {∞, ∞, 4} {∞, ∞, 5} {∞, ∞, 6} {∞, ∞, ∞}

Nu există faguri stelari hiperbolici obișnuiți în H ³ : toate formele cu un poliedru stelar regulat ca celulă, figură de vârf sau ambele ajung să fie sferice.

Patru dimensiuni (5 apeirotopi)

Tessellations of Euclidean 4-space

Există trei tipuri de teselări regulate ( faguri de miere ) care pot tesela spațiul euclidian cu patru dimensiuni:

3 faguri euclidieni obișnuiți

Nume	Simbol Schläfli {p, q, r, s}	Tipul fațetei {p, q, r}	Tipul de celulă {p, q}	Tipul feței {p}	Figură de față {s}	Figura de margine {r, s}	Figura de vârf {q, r, s}	Dual
Fagure teseractic	{4,3,3,4}	{4,3,3}	{4,3}	{4}	{4}	{3,4}	{3,3,4}	Auto-dual
Fagure cu 16 celule	{3,3,4,3}	{3,3,4}	{3,3}	{3}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,4,3,3}
Fagure cu 24 de celule	{3,4,3,3}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{3}	{3,3}	{4,3,3}	{3,3,4,3}

Porțiune proiectată de {4,3,3,4} (fagure teseractic )

Porțiune proiectată de {3,3,4,3} (fagure cu 16 celule)

Porțiune proiectată de {3,4,3,3} (fagure cu 24 de celule)

Există, de asemenea, cele două cazuri necorespunzătoare {4,3,4,2} și {2,4,3,4}.

Există trei faguri reguli plăcuți cu 4 spații euclidiene:

• {4,3,3,4}, {3,3,4,3} și {3,4,3,3}.

Există șapte faguri cu convex regulat plat de 4 spații hiperbolice:

• 5 sunt compacte: {3,3,3,5}, {5,3,3,3}, {4,3,3,5}, {5,3,3,4}, {5,3,3 , 5}
• 2 sunt paracompacte: {3,4,3,4} și {4,3,4,3}.

Există patru faguri de stea obișnuiți cu 4 spații hiperbolice:

• {5 / 2,5,3,3}, {3,3,5,5 / 2}, {3,5,5 / 2,5} și {5,5 / 2,5,3}.

Teselări de 4-spațiu hiperbolic

Există șapte faguri obișnuiți conveși și patru faguri-stea în spațiul H ⁴ . Cinci convexe sunt compacte, iar două sunt paracompacte.

Cinci faguri reguli compacti în H ⁴ :

5 faguri regulati compacti

Nume	Simbol Schläfli {p, q, r, s}	Tipul fațetei {p, q, r}	Tipul de celulă {p, q}	Tipul feței {p}	Figură de față {s}	Figura de margine {r, s}	Figura de vârf {q, r, s}	Dual
Comanda-5 fagure de 5 celule	{3,3,3,5}	{3,3,3}	{3,3}	{3}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,3}
Fagure de 120 de celule	{5,3,3,3}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{3}	{3,3}	{3,3,3}	{3,3,3,5}
Fagure teseractic Order-5	{4,3,3,5}	{4,3,3}	{4,3}	{4}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,4}
Comanda-4 fagure de 120 celule	{5,3,3,4}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{4}	{3,4}	{3,3,4}	{4,3,3,5}
Fagure de comandă-5 120 de celule	{5,3,3,5}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	Auto-dual

Cele două paracompact regulate H ⁴ fagurii sunt: {3,4,3,4}, {4,3,4,3}.

2 faguri reguli paracompacti

Nume	Simbol Schläfli {p, q, r, s}	Tipul fațetei {p, q, r}	Tipul de celulă {p, q}	Tipul feței {p}	Figură de față {s}	Figura de margine {r, s}	Figura de vârf {q, r, s}	Dual
Fagure de comandă-4 cu 24 de celule	{3,4,3,4}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{4}	{3,4}	{4,3,4}	{4,3,4,3}
Fagure cub fagure	{4,3,4,3}	{4,3,4}	{4,3}	{4}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,4,3,4}

Soluțiile necompacte există ca grupuri Lorentzian Coxeter și pot fi vizualizate cu domenii deschise în spațiul hiperbolic (celula fundamentală 5 având câteva părți inaccesibile dincolo de infinit). Toate fagurii care nu sunt afișați în setul de tabele de mai jos și nu au 2 în simbolul lor Schläfli sunt necompacte.

Faguri sferici / euclidieni / hiperbolici ( compacti / paracompacti / necompacti ) {p, q, r, s}
q = 3, s = 3 relatii cu publicul 3 4 5 3 {3,3,3,3} {3,3,4,3} {3,3,5,3} 4 {4,3,3,3} {4,3,4,3} {4,3,5,3} 5 {5,3,3,3} {5,3,4,3} {5,3,5,3}	q = 3, s = 4 relatii cu publicul 3 4 3 {3,3,3,4} {3,3,4,4} 4 {4,3,3,4} {4,3,4,4} 5 {5,3,3,4} {5,3,4,4}	q = 3, s = 5 relatii cu publicul 3 4 3 {3,3,3,5} {3,3,4,5} 4 {4,3,3,5} {4,3,4,5} 5 {5,3,3,5} {5,3,4,5}
q = 4, s = 3 relatii cu publicul 3 4 3 {3,4,3,3} {3,4,4,3} 4 {4,4,3,3} {4,4,4,3}	q = 4, s = 4 relatii cu publicul 3 4 3 {3,4,3,4} {3,4,4,4} 4 {4,4,3,4} {4,4,4,4}	q = 4, s = 5 relatii cu publicul 3 4 3 {3,4,3,5} {3,4,4,5} 4 {4,4,3,5} {4,4,4,5}
q = 5, s = 3 relatii cu publicul 3 4 3 {3,5,3,3} {3,5,4,3} 4 {4,5,3,3} {4,5,4,3}

Teselări stelare ale spațiului 4 hiperbolic

Există patru faguri-stea obișnuiți în spațiul H ⁴ , toate compacte:

4 faguri de stea obișnuiți compacti

Nume	Simbol Schläfli {p, q, r, s}	Tipul fațetei {p, q, r}	Tipul de celulă {p, q}	Tipul feței {p}	Figură de față {s}	Figura de margine {r, s}	Figura de vârf {q, r, s}	Dual	Densitate
Fagure mic cu 120 de celule stelate	{5 / 2,5,3,3}	{5 / 2,5,3}	{5 / 2,5}	{5/2}	{3}	{3,3}	{5,3,3}	{3,3,5,5 / 2}	5
Fagure de miere de 600 de celule de ordin pentagrammic	{3,3,5,5 / 2}	{3,3,5}	{3,3}	{3}	{5/2}	{5,5 / 2}	{3,5,5 / 2}	{5 / 2,5,3,3}	5
Fagure de miere de 120 de celule de ordinul 5 icosaedric	{3,5,5 / 2,5}	{3,5,5 / 2}	{3,5}	{3}	{5}	{5 / 2,5}	{5,5 / 2,5}	{5,5 / 2,5,3}	10
Fagure mare cu 120 de celule	{5,5 / 2,5,3}	{5,5 / 2,5}	{5,5 / 2}	{5}	{3}	{5,3}	{5 / 2,5,3}	{3,5,5 / 2,5}	10

Cinci dimensiuni (6 apeirotopi)

Există un singur fagure plat regulat cu 5 spații euclidiene: ( enumerate anterior mai sus ca teselări)

• {4,3,3,3,4}

Există cinci faguri de regulă reguli cu 5 spații hiperbolice, toate paracompacte: ( enumerate anterior mai sus ca teselări)

• {3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,4,3,3,4} și { 4,3,3,4,3}

Tessellations of Euclidean 5-space

Fagure hypercubic este singura familie de faguri regulate , care pot forma un mozaic fiecare dimensiune, cinci sau mai mare, formate de hipercub fațete, patru în jurul valorii de fiecare creastă .

Nume	Schläfli { p 1 , p 2 , ..., p n −1 }	Tipul fațetei	Figura Vertex	Dual
Gresie pătrată	{4,4}	{4}	{4}	Auto-dual
Fagure cubice	{4,3,4}	{4,3}	{3,4}	Auto-dual
Fagure teseractic	{4,3 2 , 4}	{4,3 2 }	{3 2 , 4}	Auto-dual
Fagure cu 5 cuburi	{4,3 3 , 4}	{4,3 3 }	{3 3 , 4}	Auto-dual
Fagure cu 6 cuburi	{4,3 4 , 4}	{4,3 4 }	{3 4 , 4}	Auto-dual
Fagure cu 7 cuburi	{4,3 5 , 4}	{4,3 5 }	{3 5 , 4}	Auto-dual
Fagure de 8 cuburi	{4,3 6 , 4}	{4,3 6 }	{3 6 , 4}	Auto-dual
n- fagure hipercubic	{4,3 n − 2 , 4}	{4,3 n − 2 }	{3 n − 2 , 4}	Auto-dual

În E ⁵ , există și cazuri necorespunzătoare {4,3,3,4,2}, {2,4,3,3,4}, {3,3,4,3,2}, {2,3 , 3,4,3}, {3,4,3,3,2} și {2,3,4,3,3}. În E ⁿ , {4,3 ^{n − 3} , 4,2} și {2,4,3 ^{n − 3} , 4} sunt întotdeauna teselări euclidiene necorespunzătoare.

Teselări de 5-spațiu hiperbolic

Există 5 faguri obișnuiți în H ⁵ , toți paracompacti, care includ fațete infinite (euclidiene) sau figuri de vârf: {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3, 3,3,4,3}, {3,4,3,3,4} și {4,3,3,4,3}.

Nu există teselări regulate compacte ale spațiului hiperbolic de dimensiunea 5 sau mai mare și nu există teselări regulate paracompacte în spațiul hiperbolic de dimensiunea 6 sau mai mare.

5 faguri reguli paracompacti

Nume	Simbol Schläfli {p, q, r, s, t}	Tipul fațetei {p, q, r, s}	Tip cu 4 fețe {p, q, r}	Tipul de celulă {p, q}	Tipul feței {p}	Cifra celulară {t}	Figura de față {s, t}	Figura de margine {r, s, t}	Figura de vârf {q, r, s, t}	Dual
5-fagure de ortoplex	{3,3,3,4,3}	{3,3,3,4}	{3,3,3}	{3,3}	{3}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,3,4,3}	{3,4,3,3,3}
Fagure cu fagure cu 24 de celule	{3,4,3,3,3}	{3,4,3,3}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{3}	{3,3}	{3,3,3}	{4,3,3,3}	{3,3,3,4,3}
Fagure cu fagure cu 16 celule	{3,3,4,3,3}	{3,3,4,3}	{3,3,4}	{3,3}	{3}	{3}	{3,3}	{4,3,3}	{3,4,3,3}	auto-dual
Comanda-4 fagure de fagure cu 24 de celule	{3,4,3,3,4}	{3,4,3,3}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{4}	{3,4}	{3,3,4}	{4,3,3,4}	{4,3,3,4,3}
Fagure de tip fagure teseractic	{4,3,3,4,3}	{4,3,3,4}	{4,3,3}	{4,3}	{4}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,3,4,3}	{3,4,3,3,4}

Deoarece nu există n -politopi stelari obișnuiți pentru n  ≥ 5, care ar putea fi celule potențiale sau figuri de vârf, nu mai există faguri de stea hiperbolici în H ⁿ pentru n  ≥ 5.

6 dimensiuni și mai mare (7-apeirotopi +)

Tessellations de 6-spațiu hiperbolic și mai mare

Nu există teselări regulate sau compacte paracompacte ale spațiului hiperbolic de dimensiunea 6 sau mai mare. Cu toate acestea, orice simbol Schläfli al formei {p, q, r, s, ...} care nu este acoperit mai sus (p, q, r, s, ... numere naturale peste 2 sau infinit) va forma o teselare necompactă a n -spatiu hiperbolic .

Politopi compuși

Compuși bidimensionali

Pentru orice număr natural n, există stele n-ascuțite stele poligonale regulate cu simboluri Schläfli {n / m} pentru toate m astfel încât m <n / 2 (strict vorbind {n / m} = {n / (n − m) }) și m și n sunt coprimă . Când m și n nu sunt coprimă, poligonul stelar obținut va fi un poligon regulat cu laturi n / m . O nouă cifră este obținută prin rotirea acestor n / m- goni regulate un vârf la stânga pe poligonul original până când numărul de vârfuri rotite este egal cu n / m minus unul și combinarea acestor figuri. Un caz extrem al acestui caz este în care n / m este 2, producând o figură constând din n / 2 segmente de linie dreaptă; aceasta se numește poligon stelar degenerat .

În alte cazuri în care n și m au un factor comun, se obține un poligon stelar pentru un n inferior , iar versiunile rotite pot fi combinate. Aceste cifre se numesc figuri stelare , poligoane stelare necorespunzătoare sau poligoane compuse . Aceeași notație { n / m } este adesea utilizată pentru ei, deși autorități precum Grünbaum (1994) consideră (cu o oarecare justificare) forma k { n } ca fiind mai corectă, unde de obicei k = m .

O altă complicație apare atunci când compunem două sau mai multe poligoane stelare, ca de exemplu două pentagrame, diferind printr-o rotație de 36 °, inscripționate într-un decagon. Acest lucru este scris corect în forma k { n / m }, ca 2 {5/2}, mai degrabă decât în ​​mod obișnuit {10/4}.

Notarea extinsă a lui Coxeter pentru compuși este de forma c { m , n , ...} [ d { p , q , ...}] e { s , t , ...}, indicând că d distinct { p , q , ...} împreună acoperă vârfurile de { m , n , ...} c ori și fațetele lui { s , t , ...} e ori. Dacă nu există niciun { m , n , ...} obișnuit , prima parte a notației este eliminată, lăsând [ d { p , q , ...}] e { s , t , ...}; opusul se aplică dacă nu există regulat { s , t , ...}. Dualul lui c { m , n , ...} [ d { p , q , ...}] e { s , t , ...} este e { t , s , ...} [ d { q , p , ...}] c { n , m , ...}. Dacă c sau e sunt 1, acestea pot fi omise. Pentru poligoane compuse, această notație se reduce la { nk } [ k { n / m }] { nk }: de exemplu, hexagrama poate fi scrisă astfel ca {6} [2 {3}] {6}.

Exemple pentru n = 2..10, nk ≤30

2 {2}

3 {2}

4 {2}

5 {2}

6 {2}

7 {2}

8 {2}

9 {2}

10 {2}

11 {2}

12 {2}

13 {2}

14 {2}

15 {2}

2 {3}

3 {3}

4 {3}

5 {3}

6 {3}

7 {3}

8 {3}

9 {3}

10 {3}

2 {4}

3 {4}

4 {4}

5 {4}

6 {4}

7 {4}

2 {5}

3 {5}

4 {5}

5 {5}

6 {5}

2 {5/2}

3 {5/2}

4 {5/2}

5 {5/2}

6 {5/2}

2 {6}

3 {6}

4 {6}

5 {6}

2 {7}

3 {7}

4 {7}

2 {7/2}

3 {7/2}

4 {7/2}

2 {7/3}

3 {7/3}

4 {7/3}

2 {8}

3 {8}

2 {8/3}

3 {8/3}

2 {9}

3 {9}

2 {9/2}

3 {9/2}

2 {9/4}

3 {9/4}

2 {10}

3 {10}

2 {10/3}

3 {10/3}

2 {11}

2 {11/2}

2 {11/3}

2 {11/4}

2 {11/5}

2 {12}

2 {12/5}

2 {13}

2 {13/2}

2 {13/3}

2 {13/4}

2 {13/5}

2 {13/6}

2 {14}

2 {14/3}

2 {14/5}

2 {15}

2 {15/2}

2 {15/4}

2 {15/7}

Poligoanele înclinate obișnuite creează, de asemenea, compuși, observați la marginile compusului prismatic al antiprismelor , de exemplu:

Poligon regulat compus

Pătrate oblice compuse		Hexagone compuse	Compusul decagoane skew
Două {2} # {}	Trei {2} # {}	Două {3} # {}	Două {5/3} # {}

Compuși tridimensionali

Un compus poliedru regulat poate fi definit ca un compus care, ca un poliedru regulat, este vertex-tranzitiv , margine-tranzitivă și față-tranzitiv . Cu această definiție există 5 compuși obișnuiți.

Simetrie	[4,3], O h	[5,3] + , I	[5,3], I h
Dualitate	Auto-dual			Perechi duale
Imagine
Sferic
Poliedre	2 {3,3}	5 {3,3}	10 {3,3}	5 {4,3}	5 {3,4}
Coxeter	{4,3} [2 {3,3} ] {3,4}	{5,3} [5 {3,3} ] {3,5}	2 {5,3} [10 {3,3} ] 2 {3,5}	2 {5,3} [5 {4,3} ]	[5 {3,4} ] 2 {3,5}

Notarea lui Coxeter pentru compușii obișnuiți este dată în tabelul de mai sus, încorporând simboluri Schläfli . Materialul din parantezele pătrate, [ d { p , q }], denotă componentele compusului: d separate { p , q }. Materialul dinaintea parantezelor pătrate denotă dispunerea vârfului compusului: c { m , n } [ d { p , q }] este un compus al lui d { p , q } care împarte vârfurile unui { m , n } numărat de c ori. Materialul după paranteze pătrate denotă aranjamentul fațetă a compusului: [ d { p , q }] e { s , t } este un compus d { p , q } 's împărtășind fețele { s , t } numărat e ori. Acestea pot fi combinate: astfel c { m , n } [ d { p , q }] e { s , t } este un compus al lui d { p , q } care împarte vârfurile lui { m , n } numărate c ori iar fețele lui { s , t } numărate de e ori. Această notație poate fi generalizată la compuși în orice număr de dimensiuni.

Compuși plan euclidian și hiperbolic

Există optsprezece familii cu doi parametri de teselări compuse regulate ale planului euclidian. În planul hiperbolic, sunt cunoscute cinci familii cu un singur parametru și șaptesprezece cazuri izolate, dar completitudinea acestei liste nu a fost încă dovedită.

Familiile de compuși euclidieni și hiperbolici 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞, p un număr întreg) sunt analogi cu octangula stelară sferică , 2 {3,3}.

Câteva exemple de compuși reguli euclidieni și hiperbolici

Auto-dual	Dualuri		Auto-dual
2 {4,4}	2 {6,3}	2 {3,6}	2 {∞, ∞}
{{4,4}} sau un {4,4} sau {4,4} [2 {4,4}] {4,4} + sau	[2 {6,3}] {3,6}	un {6,3} sau {6,3} [2 {3,6}] + sau	{{∞, ∞}} sau un {∞, ∞} sau {4, ∞} [2 {∞, ∞}] {∞, 4} + sau
	3 {6,3}	3 {3,6}	3 {∞, ∞}
	2 {3,6} [3 {6,3}] {6,3}	{3,6} [3 {3,6}] 2 {6,3} + +	+ +

Compuși cu patru dimensiuni

Proiecții ortogonale

75 {4,3,3}	75 {3,3,4}

Coxeter enumeră 32 de compuși obișnuiți de 4-politopi obișnuiți în cartea sa Regular Polytopes . McMullen adaugă șase în lucrarea sa New Regular Compounds of 4-Polytopes . În tabelele următoare, indicativul (var) indică faptul că compușii etichetați sunt diferiți de ceilalți compuși cu aceleași simboluri.

Compuși reguli auto-duali

Compus	Constitutiv	Simetrie	Aranjament de vârf	Aranjamentul celulei
120 {3,3,3}	5-celule	[5,3,3], comandă 14400	{5,3,3}	{3,3,5}
120 {3,3,3} (var)	5-celule	comanda 1200	{5,3,3}	{3,3,5}
720 {3,3,3}	5-celule	[5,3,3], comandă 14400	6 {5,3,3}	6 {3,3,5}
5 {3,4,3}	24 de celule	[5,3,3], comandă 14400	{3,3,5}	{5,3,3}

Compuși obișnuiți ca perechi duale

Compusul 1	Compusul 2	Simetrie	Aranjament vertex (1)	Aranjament celular (1)	Aranjament vertex (2)	Aranjament celular (2)
3 {3,3,4}	3 {4,3,3}	[3,4,3], ordinul 1152	{3,4,3}	2 {3,4,3}	2 {3,4,3}	{3,4,3}
15 {3,3,4}	15 {4,3,3}	[5,3,3], comandă 14400	{3,3,5}	2 {5,3,3}	2 {3,3,5}	{5,3,3}
75 {3,3,4}	75 {4,3,3}	[5,3,3], comandă 14400	5 {3,3,5}	10 {5,3,3}	10 {3,3,5}	5 {5,3,3}
75 {3,3,4}	75 {4,3,3}	[5,3,3], comandă 14400	{5,3,3}	2 {3,3,5}	2 {5,3,3}	{3,3,5}
75 {3,3,4}	75 {4,3,3}	comanda 600	{5,3,3}	2 {3,3,5}	2 {5,3,3}	{3,3,5}
300 {3,3,4}	300 {4,3,3}	[5,3,3] + , comandă 7200	4 {5,3,3}	8 {3,3,5}	8 {5,3,3}	4 {3,3,5}
600 {3,3,4}	600 {4,3,3}	[5,3,3], comandă 14400	8 {5,3,3}	16 {3,3,5}	16 {5,3,3}	8 {3,3,5}
25 {3,4,3}	25 {3,4,3}	[5,3,3], comandă 14400	{5,3,3}	5 {5,3,3}	5 {3,3,5}	{3,3,5}

Există doi compuși diferiți de 75 de tesseracte: unul împarte vârfurile unei 120 de celule, în timp ce celălalt împarte vârfurile unei 600 de celule. Prin urmare, rezultă imediat că compușii duali corespunzători ai 75 de 16 celule sunt, de asemenea, diferiți.

Compuși cu stea auto-duală

Compus	Simetrie	Aranjament de vârf	Aranjamentul celulei
5 {5,5 / 2,5}	[5,3,3] + , comandă 7200	{5,3,3}	{3,3,5}
10 {5,5 / 2,5}	[5,3,3], comandă 14400	2 {5,3,3}	2 {3,3,5}
5 {5 / 2,5,5 / 2}	[5,3,3] + , comandă 7200	{5,3,3}	{3,3,5}
10 {5 / 2,5,5 / 2}	[5,3,3], comandă 14400	2 {5,3,3}	2 {3,3,5}

Compuși stelari obișnuiți ca perechi duale

Compusul 1	Compusul 2	Simetrie	Aranjament vertex (1)	Aranjament celular (1)	Aranjament vertex (2)	Aranjament celular (2)
5 {3,5,5 / 2}	5 {5 / 2,5,3}	[5,3,3] + , comandă 7200	{5,3,3}	{3,3,5}	{5,3,3}	{3,3,5}
10 {3,5,5 / 2}	10 {5 / 2,5,3}	[5,3,3], comandă 14400	2 {5,3,3}	2 {3,3,5}	2 {5,3,3}	2 {3,3,5}
5 {5,5 / 2,3}	5 {3,5 / 2,5}	[5,3,3] + , comandă 7200	{5,3,3}	{3,3,5}	{5,3,3}	{3,3,5}
10 {5,5 / 2,3}	10 {3,5 / 2,5}	[5,3,3], comandă 14400	2 {5,3,3}	2 {3,3,5}	2 {5,3,3}	2 {3,3,5}
5 {5 / 2,3,5}	5 {5,3,5 / 2}	[5,3,3] + , comandă 7200	{5,3,3}	{3,3,5}	{5,3,3}	{3,3,5}
10 {5 / 2,3,5}	10 {5,3,5 / 2}	[5,3,3], comandă 14400	2 {5,3,3}	2 {3,3,5}	2 {5,3,3}	2 {3,3,5}

Există, de asemenea, paisprezece compuși parțial obișnuiți , care sunt fie tranzitive la vârf, fie tranzitive la celule, dar nu ambii. Cei șapte compuși parțial regulați tranzitivi la vârf sunt dualii celor șapte compuși parțial regulați tranzitivi la celule.

Compuși parțial reguli ca perechi duale

Compus 1 Vertex-tranzitiv	Compus 2 Celulă tranzitivă	Simetrie
2 16-celule	2 teseracte	[4,3,3], ordin 384
25 cu 24 de celule (var)	25 cu 24 de celule (var)	comanda 600
100 de 24 de celule	100 de 24 de celule	[5,3,3] + , comandă 7200
200 de 24 de celule	200 de 24 de celule	[5,3,3], comandă 14400
5 600 de celule	5 120 de celule	[5,3,3] + , comandă 7200
10 600 de celule	10 120 de celule	[5,3,3], comandă 14400

Compuși stelari parțial reguli ca perechi duale

Compus 1 Vertex-tranzitiv	Compus 2 Celulă tranzitivă	Simetrie
5 {3,3,5 / 2}	5 {5 / 2,3,3}	[5,3,3] + , comandă 7200
10 {3,3,5 / 2}	10 {5 / 2,3,3}	[5,3,3], comandă 14400

Deși cele 5 celule și 24 celule sunt ambele dualiste, compușii lor duali ( compusul a două celule 5 și compusul a două celule 24 ) nu sunt considerați reguli, spre deosebire de compusul celor două tetraedre și diferiții compuși poligonali duali, deoarece nu sunt nici vârf-regulat, nici celul-regulat: nu sunt fațetări sau stelări ale vreunui 4-politop obișnuit.

Compuși euclidieni cu 3 spații

Singurii faguri compuși euclidieni obișnuiți sunt o familie infinită de compuși de faguri cubici , toți împărțind vârfuri și fețe cu un alt fagure cubic. Acest compus poate avea orice număr de faguri cubici. Notarea Coxeter este {4,3,4} [ d {4,3,4}] {4,3,4}.

Cinci dimensiuni și compuși superiori

Nu există compuși obișnuiți în cinci sau șase dimensiuni. Există trei compuși șapte-dimensiuni cunoscuți (16, 240 sau 480 de 7 simple ) și șase compuși de opt dimensiuni cunoscuți (16, 240 sau 480 de 8 cuburi sau 8-ortoplexuri ). Există, de asemenea, un compus de n -simplici în spațiul n- dimensional cu condiția ca n să fie unul mai mic decât o putere de doi și, de asemenea, doi compuși (unul dintre n -cuburi și unul dual din n- ortopexe) în n- spațiu dimensional dacă n este o putere a două.

Notarea Coxeter pentru acești compuși este (folosind α ⁿ = {3 ^{n −1} }, β ⁿ = {3 ^{n −2} , 4}, γ _n = {4,3 ^{n −2} }:

• 7-simplexuri: c γ ₇ [16 c α ₇ ] c β ₇ , unde c = 1, 15 sau 30
• 8-ortoplexuri: c γ ₈ [16 c β ₈ ]
• 8-cuburi: [16 c γ ₈ ] c β ₈

Cazurile generale (unde n = 2 ^k și d = 2 ^{2 k - k - 1} , k = 2, 3, 4, ...):

• Simplexuri: γ _{n −1} [ d α _{n −1} ] β _{n −1}
• Ortoplexuri: γ _n [ d β _n ]
• Hipercuburi: [ d γ _n ] β _n

Compuși faguri euclidieni

O familie cunoscută de faguri compuși euclidieni obișnuiți în cinci sau mai multe dimensiuni este o familie infinită de compuși de faguri hipercubici , toți împărțind vârfuri și fețe cu un alt fagure hipercubic. Acest compus poate avea orice număr de faguri hipercubici. Notarea Coxeter este δ _n [ d δ _n ] δ _n unde δ _n = {∞} când n = 2 și {4,3 ^{n −3} , 4} când n ≥ 3.

Politopi abstracte

Cele polytopes abstracte a apărut dintr - o încercare de a studia polytopes în afară de spațiul geometric în care sunt încorporate în. Acestea includ mozaicare de spațiu sferic, euclidian și hiperbolic, mozaicare altor varietati , si multe alte obiecte care nu au un bine definit topologie, dar în schimb poate fi caracterizată prin topologia lor „locală”. Există infinit de mulți în fiecare dimensiune. Vedeți acest atlas pentru un eșantion. Câteva exemple notabile de politopi abstracte regulați care nu apar în altă parte în această listă sunt 11 celule , {3,5,3} și 57 celule , {5,3,5}, care au poliedre proiective regulate ca celule și figuri de vârf.

Elementele unui poliedru abstract sunt corpul său (elementul maxim), fețele sale, muchiile, vârfurile și politopul nul sau setul gol. Aceste elemente abstracte pot fi mapate în spațiul obișnuit sau realizate ca figuri geometrice. Unele poliedre abstracte au realizări bine formate sau fidele , altele nu. Un steag este un set conectat de elemente ale fiecărei dimensiuni - pentru un poliedru care este corpul, o față, o margine a feței, un vârf al marginii și politopul nul. Un politop abstract se spune că este regulat dacă simetriile sale combinatorii sunt tranzitive pe steagurile sale - adică orice steag poate fi mapat pe oricare altul sub o simetrie a poliedrului. Politopii abstracte regulat rămân o zonă activă de cercetare.

Cinci astfel de poliedre abstracte regulate, care nu pot fi realizate cu fidelitate, au fost identificate de HSM Coxeter în cartea sa Regular Polytopes (1977) și din nou de JM Wills în lucrarea sa "The combinatorially regular polyhedra of index 2" (1987). Toate sunt echivalente topologic cu toroizii . Construcția lor, aranjând n fețe în jurul fiecărui vârf, poate fi repetată la nesfârșit ca acoperire a planului hiperbolic . În diagramele de mai jos, imaginile cu plăci hiperbolice au culori corespunzătoare celor ale imaginilor poliedrice.

Poliedru	Triacontahedron rombic medial	Dodecadodecaedru	Icosaedru triambic medial	Dodecadodecaedru ditrigonal	Dodecaedru excavat
Figura Vertex	{5}, {5/2}	(5,5 / 2) 2	{5}, {5/2}	(5,5 / 3) 3
Fețe	30 de rombi	12 pentagone 12 pentagrame	20 de hexagone	12 pentagone 12 pentagrame	20 de hexagrame
Gresie	{4, 5}	{5, 4}	{6, 5}	{5, 6}	{6, 6}
χ	−6	−6	−16	−16	−20

Acestea apar ca perechi duale după cum urmează:

• Medial rombice triacontahedron și dodecadodecahedron sunt duale între ele.
• Medial triambic icosaedru și ditrigonal dodecadodecahedron sunt duale între ele.
• Dodecaedrul excavat este auto - duală.

Vezi si

• Poligon
  • Poligon regulat
  • Poligon stelar
• Poliedru
  • Poliedru regulat (5 solide platonice regulate și 4 solide Kepler – Poinsot )
    • Poliedru uniform
• 4-politop
  • 4-politop regulat (16 4-politopi regulat, 4 convexe și 10 stele (Schläfli – Hess))
  • 4-politop uniform
• Teselare
  • Placaje de poligoane regulate
  • Fagure uniform convex
• Politop regulat
  • Politop uniform
• Harta regulată (teoria graficelor)

Note

Referințe

linkuri externe

• Solidele platonice
• Poliedre Kepler-Poinsot
• Foldere obișnuite de politip 4d
• Glosar multidimensional (Căutați Hexacosichoron și Hecatonicosachoron )
• Polytope Viewer
• Politopi și împachetarea optimă a punctelor p în n sfere dimensionale
• Un atlas de mici politopi reguli
• Poliedre regulate în timp I. Hubard, politopi, hărți și simetriile acestora
• Politopi stelari obișnuiți , Nan Ma

v t e Politopi reguli și uniformi conveși fundamentali în dimensiunile 2–10
Familie	A n	B n	I 2 (p) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
Poligon regulat	Triunghi	Pătrat	p-gon	Hexagon	Pentagon
Poliedru uniform	Tetraedru	Octahedron • Cub	Demicube		Dodecaedru • Icosaedru
Policoron uniform	Pentachoron	16-celule • Tesseract	Demitesseract	24 de celule	120 de celule • 600 de celule
5-politop uniform	5-simplex	5-ortoplex • 5-cub	5-demicub
6-politop uniform	6-simplex	6-ortoplex • 6-cub	6-demicub	1 22 • 2 21
7-politop uniform	7-simplex	7-ortoplex • 7-cub	7-demicube	1 32 • 2 31 • 3 21
8-politop uniform	8-simplex	8-ortoplex • 8-cub	8-demicub	1 42 • 2 41 • 4 21
9-politop uniform	9-simplex	9-ortoplex • 9-cub	9-demicube
10-politop uniform	10-simplex	10-ortoplex • 10-cub	10-demicube
Uniforme n - polytope	n - simplex	n - ortoplex • n - cub	n - demicub	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - politop pentagonal
Subiecte: Familii de politopi • Politop regulat • Lista politopilor și compușilor obișnuiți

v t e Faguri de bază, convexe, regulate și uniforme, în dimensiunile 2-9
Spaţiu	Familie	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$/ /${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {n-1}}$
E 2	Placi uniforme	{3 [3] }	δ 3	hδ 3	qδ 3	Hexagonal
E 3	Fagure convex uniform	{3 [4] }	δ 4	hδ 4	qδ 4
E 4	Uniform cu 4 faguri de miere	{3 [5] }	δ 5	hδ 5	qδ 5	Fagure cu 24 de celule
E 5	Uniform cu 5 faguri	{3 [6] }	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	Uniform cu 6 faguri de miere	{3 [7] }	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	Uniform cu 7 faguri de miere	{3 [8] }	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E 8	Uniform 8 faguri	{3 [9] }	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	Uniform cu 9 faguri de miere	{3 [10] }	δ 10	hδ 10	qδ 10
E 10	Uniform cu 10 faguri de miere	{3 [11] }	δ 11	hδ 11	qδ 11
E n -1	Uniform ( n -1) - fagure de miere	{3 [n] }	δ n	hδ n	qδ n	1 k2 • 2 k1 • k 21