Geometrie hiperbolică - Hyperbolic geometry

Linii printr-un punct dat P și asimptotice la linia R

Un triunghi scufundat într-un plan în formă de șa (un paraboloid hiperbolic ), împreună cu două linii ultra-paralele divergente

În matematică , geometria hiperbolică (numita geometrie Lobachevskian sau Bolyai - Lobachevskian geometrie ) este o geometrie non-euclidiană . Postulat paralelă a geometriei euclidiene este înlocuit cu:

Pentru orice linie dată R și punctul P nu pe R , în planul care conține atât linia R și punctul P există cel puțin două linii distincte prin P care nu se intersecteaza R .

( A se compara cele de mai sus cu axioma lui Playfair , versiunea moderna a lui Euclid e postulat paralel .)

Planul hiperbolic geometria este de asemenea geometria șeii suprafețelor și pseudospherical suprafețe , suprafețe cu o constantă negativ Gaussian curbură .

O utilizare modernă a geometriei hiperbolice este în teoria relativității speciale , în special modelul Minkowski .

Când geometrii și-au dat seama pentru prima dată că lucrează cu altceva decât geometria euclidiană standard, ei și-au descris geometria sub multe nume diferite; Felix Klein a dat în cele din urmă subiectului denumirea de geometrie hiperbolică pentru ao include în secvența acum rareori folosită geometrie eliptică ( geometrie sferică ), geometrie parabolică ( geometrie euclidiană ) și geometrie hiperbolică. În fosta Uniune Sovietică , este denumită în mod obișnuit geometrie lobachevskiană, numită după unul dintre descoperitorii săi, geometrul rus Nikolai Lobachevsky .

Această pagină este în principal despre geometria hiperbolică bidimensională (plană) și diferențele și asemănările dintre geometria euclidiană și cea hiperbolică. Vedeți spațiul hiperbolic pentru mai multe informații despre geometria hiperbolică extinsă la trei și mai multe dimensiuni.

Proprietăți

Relația cu geometria euclidiană

Comparația geometriilor eliptice, euclidiene și hiperbolice în două dimensiuni

Geometria hiperbolică este mai strâns legată de geometria euclidiană decât pare: singura diferență axiomatică este postulatul paralel . Când postulatul paralel este eliminat din geometria euclidiană, geometria rezultată este geometria absolută . Există două tipuri de geometrie absolută, euclidiană și hiperbolică. Toate teoremele geometriei absolute, inclusiv primele 28 de propoziții ale cărții unu din Elementele lui Euclid , sunt valabile în geometria euclidiană și hiperbolică. Propozițiile 27 și 28 din cartea lui Euclid Unul dintre elemente dovedesc existența unor linii paralele / care nu se intersectează.

Această diferență are și multe consecințe: conceptele care sunt echivalente în geometria euclidiană nu sunt echivalente în geometria hiperbolică; trebuie introduse noi concepte. Mai mult, datorită unghiului de paralelism , geometria hiperbolică are o scală absolută , o relație între măsurători de distanță și unghi.

Linii

Liniile simple din geometria hiperbolică au exact aceleași proprietăți ca liniile drepte simple din geometria euclidiană. De exemplu, două puncte definesc în mod unic o linie, iar segmentele de linie pot fi extinse infinit.

Două linii care se intersectează au aceleași proprietăți ca două linii care se intersectează în geometria euclidiană. De exemplu, două linii distincte se pot intersecta în cel mult un punct, liniile care se intersectează formează unghiuri opuse egale, iar unghiurile adiacente ale liniilor care se intersectează sunt suplimentare .

Când se introduce o a treia linie, atunci pot exista proprietăți ale liniilor care se intersectează care diferă de liniile care se intersectează în geometria euclidiană. De exemplu, având în vedere două linii care se intersectează, există infinit de multe linii care nu intersectează niciuna dintre liniile date.

Aceste proprietăți sunt toate independente de modelul utilizat, chiar dacă liniile pot arăta radical diferite.

Liniile care nu se intersectează / paralele

Liniile printr - un anumit punct P și asimptotic la linia R .

Liniile care nu se intersectează în geometria hiperbolică au, de asemenea, proprietăți care diferă de liniile care nu se intersectează în geometria euclidiană :

Pentru orice linie R și orice punct P , care nu se află pe R , în planul care conține linia R și punctul P , există cel puțin două linii distincte prin P , care nu se intersecteaza R .

Acest lucru implică faptul că există prin P un număr infinit de linii coplanare care nu se intersectează R .

Aceste linii care nu se intersectează sunt împărțite în două clase:

Două dintre linii ( x și y în diagramă) sunt paralele limitative (uneori numite paralel critic, horoparalel sau doar paralel): există una în direcția fiecăruia dintre punctele ideale la „capetele” lui R , apropiindu-se asimptotic de R , mereu mai aproape de R , dar niciodată întâlnindu-l.
Toate celelalte linii care nu se intersectează au un punct de distanță minimă și diferă de ambele părți ale acelui punct și sunt numite ultraparalele , divergente paralele sau uneori neintersectate .

Unele geometri folosesc pur și simplu expresia „ paralele linii“ înseamnă „ limitatoare paralele linii“, cu ultraparallel linii ceea ce înseamnă pur și simplu nu se intersectează .

Aceste paralele limitative fac un unghi θ cu PB ; acest unghi depinde doar de curbura Gaussiană a planului și de distanța PB și se numește unghiul paralelismului .

Pentru liniile ultraparalele, teorema ultraparalelă afirmă că există o linie unică în planul hiperbolic care este perpendiculară pe fiecare pereche de linii ultraparalele.

Cercuri și discuri

În geometria hiperbolică, circumferința unui cerc de rază r este mai mare decât . ${\ displaystyle 2 \ pi r}$

Fie , unde este curbura Gaussiană a planului. În geometria hiperbolică, este negativ, deci rădăcina pătrată are un număr pozitiv. ${\ displaystyle R = {\ frac {1} {\ sqrt {-K}}}}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle K}$

Atunci circumferința unui cerc de rază r este egală cu:

{\ displaystyle 2 \ pi R \ sinh {\ frac {r} {R}} \ ,.}

Iar zona discului închis este:

{\ displaystyle 4 \ pi R ^ {2} \ sinh ^ {2} {\ frac {r} {2R}} = 2 \ pi R ^ {2} \ left (\ cosh {\ frac {r} {R} } -1 \ dreapta) \ ,.}

Prin urmare, în geometria hiperbolică, raportul dintre circumferința unui cerc și raza acestuia este întotdeauna strict mai mare decât , deși poate fi făcut în mod arbitrar aproape prin selectarea unui cerc suficient de mic. ${\ displaystyle 2 \ pi}$

Dacă curbura gaussiană a planului este -1, curbura geodezică a unui cerc de rază r este: ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ tanh (r)}}}$

Hipercicluri și horocicluri

Hiperciclete și pseudogon în modelul discului Poincare

În geometria hiperbolică, nu există o linie ale cărei puncte să fie echidistante de o altă linie. În schimb, punctele care au toate aceeași distanță ortogonală de la o linie dată se află pe o curbă numită hiperciclu .

O altă curbă specială este horociclu , o curbă ale cărei raze normale ( linii perpendiculare ) se limitează toate paralel între ele (toate converg asimptotic într-o direcție către același punct ideal , centrul horociclului).

Prin fiecare pereche de puncte există două horocicluri. Centrele horociclurilor sunt punctele ideale ale bisectoarei perpendiculare a segmentului de linie dintre ele.

Având în vedere trei puncte distincte, toate se află fie pe o linie, hiperciclu , horociclu sau cerc.

Lungimea liniei segmentului este lungimea cea mai scurtă dintre două puncte. Lungimea arcului unei hiperciclete care leagă două puncte este mai lungă decât cea a segmentului de linie și mai scurtă decât cea a unui horociclu, conectând aceleași două puncte. Lungimea arcul ambelor horocicluri care leagă două puncte sunt egale. Lungimea arcului unui cerc între două puncte este mai mare decât lungimea arcului unui horociclu care leagă două puncte.

Dacă curbura Gaussiană a planului este -1, curbura geodezică a unui horociclu este 1 și a unui hiperciclu este între 0 și 1.

Triunghiuri

Spre deosebire de triunghiurile euclidiene, unde unghiurile adună întotdeauna până la π radiani (180 °, un unghi drept ), în geometria hiperbolică suma unghiurilor unui triunghi hiperbolic este întotdeauna strict mai mică decât π radiani (180 °, un unghi drept ). Diferența este denumită defect .

Aria unui triunghi hiperbolic este dată de defectul său în radiani înmulțit cu R ² . În consecință, toate triunghiurile hiperbolice au o zonă mai mică sau egală cu R ² π. Aria unui triunghi ideal hiperbolic în care toate cele trei unghiuri sunt 0 ° este egală cu acest maxim.

Ca și în geometria euclidiană , fiecare triunghi hiperbolic are un cerc . În geometria hiperbolică, dacă toate cele trei vârfuri ale sale se află pe un horociclu sau un hiperciclu , atunci triunghiul nu are un cerc circumscris .

Ca și în geometria sferică și eliptică , în geometria hiperbolică dacă două triunghiuri sunt similare, ele trebuie să fie congruente.

Apeirogon regulat

o apeirogon și circumscrisă horocycle în modelul de disc Poincare

Un poligon special în geometria hiperbolică este apeirogonul regulat , un poligon uniform cu un număr infinit de laturi.

În geometria euclidiană , singura modalitate de a construi un astfel de poligon este de a face ca lungimile laterale să tindă la zero și apeirogonul să nu se distingă de un cerc sau să facă unghiurile interioare să tindă la 180 de grade, iar apeirogonul să se apropie de o linie dreaptă.

Cu toate acestea, în geometria hiperbolică, un apeirogon regulat are laturi de orice lungime (adică rămâne un poligon).

Bisectoarele laterale și unghiulare vor fi, în funcție de lungimea laturii și unghiul dintre laturi, paralele limitative sau divergente (a se vedea liniile de mai sus ). Dacă bisectoarele sunt paralele limitative, apeirogonul poate fi înscris și circumscris prin horocicluri concentrice .

Dacă bisectoarele sunt divergente paralele, atunci un pseudogon (distinct diferit de un apeirogon) poate fi înscris în hipercicluri (toate vârfurile sunt la aceeași distanță a unei linii, axa, de asemenea, punctul mediu al segmentelor laterale sunt toate echidistante față de aceeași axă. )

Teselări

Placarea rombitriheptagonală a planului hiperbolic, văzută în modelul discului Poincaré

La fel ca planul euclidian, este de asemenea posibil să teselăm planul hiperbolic cu poligoane regulate ca fețe .

Există un număr infinit de plăci uniforme bazate pe triunghiurile Schwarz ( p q r ) unde 1 / p + 1 / q + 1 / r <1, unde p , q , r sunt fiecare ordine de simetrie de reflecție în trei puncte ale triunghi de domeniu fundamental , grupul de simetrie este un grup de triunghi hiperbolic . Există, de asemenea, infinit de multe plăci uniforme care nu pot fi generate din triunghiurile Schwarz, unele de exemplu necesitând patrulaterele ca domenii fundamentale.

Curbură gaussiană standardizată

Deși geometria hiperbolică se aplică pentru orice suprafață cu o curbură gaussiană negativă constantă , este obișnuit să presupunem o scară în care curbura K este -1.

Acest lucru are ca rezultat simplificarea unor formule. Câteva exemple sunt:

Aria unui triunghi este egală cu defectul său unghiular în radiani .
Aria unui sector horociclic este egală cu lungimea arcului său horociclic.
Un arc al unui horociclu astfel încât o linie care este tangentă la un punct final limitează paralel cu raza prin celălalt punct final are o lungime de 1.
Raportul dintre lungimile arcului dintre două raze a două horocicluri concentrice în care horociclurile se află la o distanță de 1 este e : 1.

Sisteme de coordonate carteziene

În geometria hiperbolică, suma unghiurilor unui patrulater este întotdeauna mai mică de 360 de grade, iar dreptunghiurile hiperbolice diferă mult de dreptunghiurile euclidiene, deoarece nu există linii echidistante, deci un dreptunghi euclidian propriu-zis ar trebui să fie închis prin două linii și două hipercicluri. . Toate acestea complică sistemele de coordonate.

Cu toate acestea, există diferite sisteme de coordonate pentru geometria planului hiperbolic. Toate se bazează pe alegerea unui punct (originea) pe o linie direcționată aleasă ( axa x ) și după aceea există multe alegeri.

Coordonatele Lobachevski x și y se găsesc prin aruncarea unei perpendiculare pe axa x . x va fi eticheta piciorului perpendicularei. y va fi distanța de-a lungul perpendicularei punctului dat de la picior (pozitiv pe o parte și negativ pe cealaltă).

Un alt sistem de coordonate măsoară distanța de la punctul la horociclu prin originea centrată în jurul și lungimea de-a lungul acestui horociclu. ${\ displaystyle (0, + \ infty)}$

Alte sisteme de coordonate utilizează modelul Klein sau modelul discului Poincare descris mai jos și iau coordonatele euclidiene ca fiind hiperbolice.

Distanţă

Construiți un sistem de coordonate cartezian, după cum urmează. Alegeți o linie ( axa x ) în planul hiperbolic (cu o curbură standardizată de -1) și etichetați punctele de pe ea prin distanța lor față de un punct de origine ( x = 0) de pe axa x (pozitiv pe o parte) și negativ pe de altă parte). Pentru orice punct din plan, se pot defini coordonatele x și y prin aruncarea unei perpendiculare pe axa x . x va fi eticheta piciorului perpendicularei. y va fi distanța de-a lungul perpendicularei punctului dat de la picior (pozitiv pe o parte și negativ pe cealaltă). Apoi, distanța dintre două astfel de puncte va fi

{\ displaystyle \ operatorname {dist} (\ langle x_ {1}, y_ {1} \ rangle, \ langle x_ {2}, y_ {2} \ rangle) = \ operatorname {arcosh} \ left (\ cosh y_ { 1} \ cosh (x_ {2} -x_ {1}) \ cosh y_ {2} - \ sinh y_ {1} \ sinh y_ {2} \ right) \ ,.}

Această formulă poate fi derivată din formulele despre triunghiurile hiperbolice .

Tensorul metric corespunzătoare este: . ${\ displaystyle (\ mathrm {d} s) ^ {2} = \ cosh ^ {2} y \, (\ mathrm {d} x) ^ {2} + (\ mathrm {d} y) ^ {2} }$

În acest sistem de coordonate, liniile drepte sunt fie perpendiculare pe axa x (cu ecuația x = o constantă), fie descrise prin ecuații de formă

{\ displaystyle \ tanh y = A \ cosh x + B \ sinh x \ quad {\ text {when}} \ quad A ^ {2} <1 + B ^ {2}}

unde A și B sunt parametri reali care caracterizează linia dreaptă.

Istorie

De la publicarea Elementelor lui Euclid în jurul anului 300 î.Hr., mulți geometri au încercat să dovedească postulatul paralel . Unii au încercat să o demonstreze asumându-și negarea și încercând să obțină o contradicție . Printre aceștia se numărau Proclus , Ibn al-Haytham (Alhacen), Omar Khayyám , Nasīr al-Dīn al-Tūsī , Witelo , Gersonides , Alfonso și mai târziu Giovanni Gerolamo Saccheri , John Wallis , Johann Heinrich Lambert și Legendre . Încercările lor au fost sortite eșecului (așa cum știm acum, postulatul paralel nu este demonstrabil din celelalte postulate), dar eforturile lor au condus la descoperirea geometriei hiperbolice.

Teoremele lui Alhacen, Khayyam și al-Tūsī pe patrulatere , inclusiv patrulaterul Ibn al-Haytham – Lambert și patrulaterul Khayyam – Saccheri , au fost primele teoreme despre geometria hiperbolică. Lucrările lor despre geometria hiperbolică au avut o influență considerabilă asupra dezvoltării sale în rândul geometrilor europeni de mai târziu, inclusiv Witelo, Gersonides, Alfonso, John Wallis și Saccheri.

În secolul al XVIII-lea, Johann Heinrich Lambert a introdus funcțiile hiperbolice și a calculat aria unui triunghi hiperbolic .

Dezvoltări din secolul al XIX-lea

În secolul al XIX-lea, geometria hiperbolică a fost explorată pe larg de Nikolai Ivanovich Lobachevsky , János Bolyai , Carl Friedrich Gauss și Franz Taurinus . Spre deosebire de predecesorii lor, care doreau doar să elimine postulatul paralel din axiomele geometriei euclidiene, acești autori și-au dat seama că au descoperit o nouă geometrie. Gauss i-a scris într-o scrisoare din 1824 către Franz Taurinus că a construit-o, dar Gauss nu și-a publicat opera. Gauss a numit-o „ geometrie non-euclidiană ” determinând mai mulți autori moderni să considere în continuare „geometria non-euclidiană” și „geometria hiperbolică” drept sinonime. Taurinus a publicat rezultate despre trigonometria hiperbolică în 1826, susținând că geometria hiperbolică este auto-consistentă, dar credea în continuare în rolul special al geometriei euclidiene. Sistemul complet al geometriei hiperbolice a fost publicat de Lobachevsky în 1829/1830, în timp ce Bolyai l-a descoperit independent și a fost publicat în 1832.

În 1868, Eugenio Beltrami a furnizat modele (vezi mai jos) de geometrie hiperbolică și a folosit acest lucru pentru a dovedi că geometria hiperbolică era consecventă dacă și numai dacă geometria euclidiană era.

Termenul de „geometrie hiperbolică” a fost introdus de Felix Klein în 1871. Klein a urmat inițiativa lui Arthur Cayley de a utiliza transformările geometriei proiective pentru a produce izometrii . Ideea a folosit o secțiune conică sau cvadrică pentru a defini o regiune și a folosit un raport transversal pentru a defini o metrică . Transformările proiective care părăsesc secțiunea conică sau cvadric stabilă sunt izometriile. "Klein a arătat că, dacă absolutul Cayley este o curbă reală, atunci partea planului proiectiv din interiorul său este izometrică față de planul hiperbolic ..."

Pentru mai multă istorie, consultați articolul despre geometria non-euclidiană și referințele Coxeter și Milnor .

Consecințe filosofice

Descoperirea geometriei hiperbolice a avut consecințe filosofice importante . Înainte de descoperirea sa, mulți filozofi (de exemplu Hobbes și Spinoza ) priveau rigoarea filosofică în termenii „metodei geometrice”, referindu-se la metoda de raționament folosită în Elementele lui Euclid .

Kant din Critica rațiunii pure a ajuns la concluzia că spațiul (în geometria euclidiană ) și timpul nu sunt descoperite de oameni ca trăsături obiective ale lumii, ci fac parte dintr-un cadru sistematic inevitabil pentru organizarea experiențelor noastre.

Se spune că Gauss nu a publicat nimic despre geometria hiperbolică din teama „zbuciumului beoților ”, care i-ar strica statutul de princeps mathematicorum (latină, „Prințul matematicienilor”). „Zgomotul beoților” a venit și a plecat și a dat un impuls unor îmbunătățiri majore în rigoarea matematică , filozofia analitică și logica . Geometria hiperbolică sa dovedit în cele din urmă consecventă și, prin urmare, este o altă geometrie validă.

Geometria universului (numai dimensiuni spațiale)

Deoarece geometria euclidiană, hiperbolică și eliptică sunt toate consistente, se pune întrebarea: care este geometria reală a spațiului și, dacă este hiperbolică sau eliptică, care este curbura sa?

Lobachevsky a încercat deja să măsoare curbura universului prin măsurarea paralaxei lui Sirius si tratarea Sirius ca punct ideal al unui unghi de paralelism . Și-a dat seama că măsurătorile sale nu erau suficient de precise pentru a da un răspuns clar, dar a ajuns la concluzia că, dacă geometria universului este hiperbolică, atunci lungimea absolută este de cel puțin un milion de ori diametrul orbitei terestre (2 000 000 UA , 10 parsec ). Unii susțin că măsurătorile sale au fost greșite metodologic.

Henri Poincaré , cu experimentul său de gândire sferă-lume , a ajuns la concluzia că experiența de zi cu zi nu exclude neapărat alte geometrii.

Conjectura geometrizare oferă o listă completă de opt posibilități pentru geometria fundamentală a spațiului nostru. Problema în determinarea careia se aplică este că, pentru a ajunge la un răspuns definitiv, trebuie să putem să privim forme extrem de mari - mult mai mari decât orice pe Pământ sau poate chiar în galaxia noastră.

Geometria universului (relativitate specială)

Relativitatea specială plasează spațiul și timpul pe picior de egalitate, astfel încât să se ia în considerare geometria unui spațiu- timp unificat în loc să ia în considerare spațiul și timpul separat. Geometria Minkowski înlocuiește geometria galileană (care este spațiul euclidian tridimensional cu timpul relativității galileene ).

În relativitate, mai degrabă decât luarea în considerare a geometriilor euclidiene, eliptice și hiperbolice, geometriile adecvate de luat în considerare sunt spațiul Minkowski , spațiul de Sitter și spațiul anti-de Sitter , corespunzător curbei zero, pozitive și respectiv negative.

Geometria hiperbolică intră în relativitate specială prin rapiditate , care reprezintă viteza și este exprimată printr-un unghi hiperbolic . Studiul acestei geometrii a vitezei a fost numit geometrie cinematică . Spațiul vitezelor relativiste are o geometrie hiperbolică tridimensională, unde funcția distanței este determinată de la viteza relativă a punctelor „apropiate” (viteze).

Realizări fizice ale planului hiperbolic

Planul hiperbolic este un plan în care fiecare punct este un punct de șa . Există diferite pseudosfere în spațiul euclidian care au o zonă finită de curbură gaussiană negativă constantă.

Prin teorema lui Hilbert , nu este posibilă scufundarea izometrică a unui plan hiperbolic complet (o suprafață regulată completă de curbură gaussiană constantă negativă ) într-un spațiu euclidian tridimensional.

Alte modele utile de geometrie hiperbolică există în spațiul euclidian, în care metrica nu este păstrată. Un model de hârtie deosebit de cunoscut bazat pe pseudosferă se datorează lui William Thurston .

O colecție de planuri hiperbolice croșetate, în imitația unui recif de corali, de către Institute For Figuring

Un coral cu o geometrie similară pe Marea Barieră de Corali

Arta croșetării a fost utilizată (a se vedea Matematica și fibrele § Tricotat și croșetat ) pentru a demonstra planurile hiperbolice, prima astfel de demonstrație fiind făcută de Daina Taimiņa .

În 2000, Keith Henderson a demonstrat un model de hârtie rapid de realizat denumit „ mingea de fotbal hiperbolică ” (mai precis, o placă triunghiulară de ordine trunchiată-7 ).

Instrucțiunile cu privire la realizarea unei cuverturi hiperbolice, proiectate de Helaman Ferguson , au fost puse la dispoziție de Jeff Weeks .

Modele ale planului hiperbolic

Există diferite suprafețe pseudosferice care au pentru o zonă mare o curbură gaussiană negativă constantă, pseudosfera fiind cea mai cunoscută dintre ele.

Dar este mai ușor să faci geometrie hiperbolică pe alte modele.

Model de disc Poincaré cu plăci triheptagonale trunchiate

Linii printr-un punct dat și paralele cu o linie dată, ilustrate în modelul discului Poincaré

Există patru modele utilizate în mod obișnuit pentru geometria hiperbolică: modelul Klein , modelul discului Poincaré , modelul semi-plan Poincaré și modelul Lorentz sau hiperboloid . Aceste modele definesc un plan hiperbolic care satisface axiomele unei geometrii hiperbolice. În ciuda numelor lor, primele trei menționate mai sus au fost introduse ca modele ale spațiului hiperbolic de către Beltrami , nu de Poincaré sau Klein . Toate aceste modele pot fi extinse la mai multe dimensiuni.

Modelul Beltrami – Klein

Modelul Beltrami – Klein , cunoscut și sub numele de modelul discului proiectiv, modelul discului Klein și modelul Klein , poartă numele lui Eugenio Beltrami și Felix Klein .

Pentru cele două dimensiuni, acest model folosește interiorul cercului unitar pentru planul hiperbolic complet , iar acordurile acestui cerc sunt liniile hiperbolice.

Pentru dimensiuni superioare, acest model folosește interiorul mingii unitare , iar acordurile acestei n- mingi sunt liniile hiperbolice.

Acest model are avantajul că liniile sunt drepte, dar dezavantajul că unghiurile sunt distorsionate (maparea nu este conformă ) și, de asemenea, cercurile nu sunt reprezentate ca cercuri.
Distanța în acest model este jumătate din logaritmul raportului încrucișat , care a fost introdus de Arthur Cayley în geometria proiectivă .

Modelul discului Poincaré

Modelul discului Poincaré , cunoscut și sub numele de modelul discului conformal, folosește, de asemenea, interiorul cercului unitar , dar liniile sunt reprezentate de arcuri de cercuri care sunt ortogonale cu cercul limită, plus diametre ale cercului limită.

Acest model păstrează unghiuri și, prin urmare, este conform . Prin urmare, toate izometriile din acest model sunt transformări Möbius .
Cercurile cu totul în interiorul discului rămân cercuri, deși centrul euclidian al cercului este mai aproape de centrul discului decât este centrul hiperbolic al cercului.
Horociclurile sunt cercuri din interiorul discului, care sunt tangente la cercul limită, minus punctul de contact.
Hiperciclurile sunt corzi deschise și arcuri circulare în interiorul discului care se termină pe cercul de delimitare în unghiuri neortogonale.

Modelul semi-plan Poincaré

Modelul de jumătate de plan Poincaré ia jumătate din planul euclidian, delimitat de o linie B a planului, pentru a fi un model al planului hiperbolic. Linia B nu este inclusă în model.

Planul euclidian poate fi considerat un plan cu sistemul de coordonate carteziene și axa x este luată ca linia B, iar jumătatea planului este jumătatea superioară ( y > 0) a acestui plan.

Liniile hiperbolic sunt apoi fie pe jumătate cercuri ortogonale B sau raze perpendiculare pe B .
Lungimea unui interval pe o rază este dată prin măsură logaritmică, deci este invariantă sub o transformare omotetică ${\ displaystyle (x, y) \ mapsto (x, \ lambda y), \ quad \ lambda> 0.}$
La fel ca modelul discului Poincaré, acest model păstrează unghiuri și este astfel conform . Prin urmare, toate izometriile din acest model sunt transformări ale planului Möbius .
Modelul pe jumătate de plan este limita modelului de disc Poincaré a cărui limită este tangentă la B în același punct în timp ce raza modelului de disc merge la infinit.

Modelul hiperboloid

Modelul hiperboloid sau modelul Lorentz folosește un hiperboloid bidimensional de revoluție (a două foi, dar folosind una) încorporat în spațiul tridimensional Minkowski . Acest model este în general creditat la Poincaré, dar Reynolds spune că Wilhelm Killing a folosit acest model în 1885

Acest model are o aplicație directă la relativitatea specială , deoarece spațiul 3 Minkowski este un model pentru spațiu-timp , suprimând o dimensiune spațială. Se poate lua hiperboloidul pentru a reprezenta evenimentele pe care diferiți observatori în mișcare, radiați spre exterior într-un plan spațial dintr-un singur punct, vor ajunge într-un timp fix fix .
Distanța hiperbolică dintre două puncte de pe hiperboloid poate fi apoi identificată cu rapiditatea relativă dintre cei doi observatori corespunzători.
Modelul se generalizează direct la o dimensiune suplimentară, în care geometria hiperbolică tridimensională se referă la spațiul 4 Minkowski.

Modelul emisferei

Modelul emisferei nu este adesea folosit ca model de la sine, dar funcționează ca un instrument util pentru vizualizarea transformărilor dintre celelalte modele.

Modelul emisferei utilizează jumătatea superioară a sferei unitare : ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1, z> 0.}$

Liniile hiperbolice sunt semicercuri ortogonale la limita emisferei.

Modelul emisferei face parte dintr-o sferă Riemann și proiecții diferite dau modele diferite ale planului hiperbolic:

Proiecția stereografică de pe plan proiectează punctele corespunzătoare pe modelul discului Poincaré ${\ displaystyle (0,0, -1)}$ ${\ displaystyle z = 0}$
Proiecția stereografică de pe suprafață proiectează punctele corespunzătoare pe modelul hiperboloid ${\ displaystyle (0,0, -1)}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2} = - 1, z> 0}$
Proiecția stereografică de pe plan proiectează punctele corespunzătoare pe modelul semi-plan Poincaré ${\ displaystyle (-1,0,0)}$ ${\ displaystyle x = 1}$
Proiecția ortografică pe un plan proiectează punctele corespunzătoare pe modelul Beltrami – Klein . ${\ displaystyle z = C}$
Proiecția centrală din centrul sferei pe plan proiectează punctele corespunzătoare pe modelul Gans ${\ displaystyle z = 1}$

Vezi mai departe: Conexiunea între modele (mai jos)

Modelul Gans

În 1966, David Gans a propus un model de hiperboloid aplatizat în revista American Mathematical Monthly . Este o proiecție ortografică a modelului hiperboloid pe planul xy. Acest model nu este la fel de utilizat ca alte modele, dar este totuși destul de util în înțelegerea geometriei hiperbolice.

Spre deosebire de modelele Klein sau Poincaré, acest model utilizează întregul plan euclidian .
Liniile din acest model sunt reprezentate ca ramuri ale unei hiperbole .

Modelul trupei

Modelul de bandă folosește o porțiune din planul euclidian între două linii paralele. Distanța este păstrată de-a lungul unei linii prin mijlocul benzii. Presupunând că banda este dată de , metrica este dată de . ${\ displaystyle \ {z \ in \ mathbb {C}: | \ operatorname {Im} z | <\ pi / 2 \}}$ ${\ displaystyle | dz | \ sec (\ operatorname {Im} z)}$

Conexiune între modele

Discul Poincaré, modelele emisferice și hiperboloide sunt legate de proiecția stereografică de la -1. Modelul Beltrami – Klein este o proiecție ortografică din modelul emisferic. Modelul semi-plan Poincaré proiectat aici din modelul emisferic prin raze de la capătul stâng al modelului discului Poincaré.

Toate modelele descriu în esență aceeași structură. Diferența dintre ele este că acestea reprezintă diferite diagrame de coordonate stabilite pe același spațiu metric , și anume planul hiperbolic. Trăsătura caracteristică a planului hiperbolic în sine este că are o curbură gaussiană negativă constantă , care este indiferentă la diagrama de coordonate utilizată. De geodezicele sunt la fel de invariante: adică, geodezicele hartă a geodezicele sub transformare de coordonate. Geometria hiperbolică este în general introdusă în ceea ce privește geodezica și intersecțiile acestora pe planul hiperbolic.

Odată ce am ales o diagramă de coordonate (unul dintre „modele”), o putem încorpora oricând într-un spațiu euclidian de aceeași dimensiune, dar încorporarea nu este în mod clar izometrică (deoarece curbura spațiului euclidian este 0). Spațiul hiperbolic poate fi reprezentat de infinit de multe diagrame diferite; dar încastrările în spațiul euclidian datorită acestor patru diagrame specifice arată câteva caracteristici interesante.

Deoarece cele patru modele descriu același spațiu metric, fiecare poate fi transformat în celălalt.

Vezi, de exemplu:

Izometriile planului hiperbolic

Fiecare izometrie ( transformare sau mișcare ) a planului hiperbolic către sine poate fi realizată ca o compoziție de cel mult trei reflexii . În spațiul hiperbolic n- dimensional, ar putea fi necesare până la n +1 reflecții. (Acestea sunt valabile și pentru geometriile euclidiene și sferice, dar clasificarea de mai jos este diferită.)

Toate izometriile planului hiperbolic pot fi clasificate în aceste clase:

Conservarea orientării
- isometry de identitate - nimic nu se misca; reflexii zero; zero grade de libertate .
- inversarea printr-un punct (jumătate de rotație) - două reflexii prin linii reciproc perpendiculare care trec prin punctul dat, adică o rotație de 180 de grade în jurul punctului; două grade de libertate .
- rotație în jurul unui punct normal - două reflecții prin linii care trec prin punctul dat (include inversarea ca caz special); punctele se deplasează pe cercuri în jurul centrului; trei grade de libertate.
- „rotație” în jurul unui punct ideal (orolație) - două reflexii prin linii care duc la punctul ideal; punctele se deplasează de-a lungul horociclurilor centrate pe punctul ideal; două grade de libertate.
- translație de-a lungul unei linii drepte - două reflexii prin linii perpendiculare pe linia dată; indică deplasarea liniei date de-a lungul hiperciclurilor; trei grade de libertate.
Inversarea orientării
- reflecție printr-o linie - o reflecție; două grade de libertate.
- reflexie combinată printr-o linie și traducere de-a lungul aceleiași linii - reflexia și traducerea fac naveta; trei reflecții necesare; trei grade de libertate.

Geometria hiperbolică în artă

Celebrele tipărituri ale lui MC Escher Circle Limit III și Circle Limit IV ilustrează destul de bine modelul discului conform (modelul discului Poincaré ). Liniile albe din III nu sunt chiar geodezice (sunt hipercicluri ), dar sunt aproape de ele. De asemenea, este posibil să vedem destul de clar curbura negativă a planului hiperbolic, prin efectul său asupra sumei unghiurilor din triunghiuri și pătrate.

De exemplu, în Circle Limit III fiecare vârf aparține a trei triunghiuri și trei pătrate. În planul euclidian, unghiurile lor ar însuma 450 °; adică un cerc și un sfert. Din aceasta, vedem că suma unghiurilor unui triunghi în planul hiperbolic trebuie să fie mai mică de 180 °. O altă proprietate vizibilă este creșterea exponențială . În Circle Limit III , de exemplu, se poate vedea că numărul de pești la o distanță de n de centru crește exponențial. Peștii au o zonă hiperbolică egală, deci aria unei bile cu raza n trebuie să crească exponențial în n .

Arta croșetării a fost folosită pentru a demonstra planurile hiperbolice (în imaginea de mai sus), prima fiind realizată de Daina Taimiņa , a cărei carte Crochetează aventurile cu planuri hiperbolice a câștigat premiul pentru librarie / diagramă 2009 pentru titlul cel mai ciudat al anului .

HyperRogue este un joc de tip roguelike, amplasat pe diferite plăci din planul hiperbolic .

Dimensiuni superioare

Geometria hiperbolică nu se limitează la 2 dimensiuni; există o geometrie hiperbolică pentru fiecare număr mai mare de dimensiuni.

Structură omogenă

Spațiul hiperbolic de dimensiune n este un caz special al unui spațiu simetric riemannian de tip necompact, deoarece este izomorf pentru coeficient

{\ displaystyle \ mathrm {O} (1, n) / (\ mathrm {O} (1) \ times \ mathrm {O} (n)).}

Grupul ortogonal O (1, n ) acționează prin transformări care păstrează normele asupra spațiului Minkowski R ^{1, n} și acționează tranzitiv asupra hiperboloidului cu două foi ale vectorilor normei 1. Liniile asemănătoare timpului (adică cele cu tangențe pozitive-normă) prin origine trec prin punctele antipodale din hiperboloid, deci spațiul acestor linii dă un model de n- spațiu hiperbolic . Stabilizatorul oricărei linii special este izomorf cu produsul din ortogonale grupe O ( n ) și O (1), unde O ( n ) acționează asupra spațiului tangent al unui punct în hiperboloidul și O (1) reflectă linia prin origine. Multe dintre conceptele elementare din geometria hiperbolică pot fi descrise în termeni algebrici liniari : căile geodezice sunt descrise prin intersecții cu planuri prin origine, unghiurile diedrice între hiperplanuri pot fi descrise de produsele interioare ale vectorilor normali, iar grupurile de reflecție hiperbolică pot fi explicite. realizări matriciale.

În dimensiuni mici, există izomorfisme excepționale ale grupurilor Lie care dau modalități suplimentare de a considera simetriile spațiilor hiperbolice. De exemplu, în dimensiunea 2, izomorfismele SO ⁺ (1, 2) ≅ PSL (2, R ) ≅ PSU (1, 1) permit interpretarea modelului jumătății superioare a planului drept coeficientul SL (2, R ) / SO (2) și modelul discului Poincaré ca coeficient SU (1, 1) / U (1) . În ambele cazuri, grupurile de simetrie acționează prin transformări liniare fracționate, deoarece ambele grupuri sunt stabilizatorii care păstrează orientarea în PGL (2, C ) din subspaiile respective ale sferei Riemann. Transformarea Cayley nu numai că duce un model al planului hiperbolic la celălalt, dar realizează izomorfismul grupurilor de simetrie ca conjugare într-un grup mai mare. În dimensiunea 3, acțiunea liniară fracționată a PGL (2, C ) pe sfera Riemann este identificată cu acțiunea asupra limitei conformale a spațiului 3 hiperbolic indusă de izomorfismul O ⁺ (1, 3) ≅ PGL (2, C ) . Acest lucru permite studierea izometriilor spațiului 3 hiperbolic, luând în considerare proprietățile spectrale ale matricilor complexe reprezentative. De exemplu, transformările parabolice sunt conjugate cu translații rigide în modelul de jumătate de spațiu superior și sunt exact acele transformări care pot fi reprezentate de matrici triunghiulare superioare unipotente .

Vezi si

Note

Referințe

A'Campo, Norbert și Papadopoulos, Athanase, (2012) Note despre geometria hiperbolică , în: Strasbourg Master class on Geometry, pp. 1–182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 pagini, SBN ISBN 978-3-03719-105-7 , DOI 10.4171 / 105.
Coxeter, HSM , (1942) Geometrie non-euclidiană , University of Toronto Press, Toronto
Fenchel , Werner (1989). Geometria elementară în spațiul hiperbolic . De Gruyter Studii în matematică. 11 . Berlin-New York: Walter de Gruyter & Co.
Fenchel , Werner ; Nielsen, Jakob (2003). Asmus L. Schmidt (ed.). Grupuri discontinue de izometrii în planul hiperbolic . De Gruyter Studii în matematică. 29 . Berlin: Walter de Gruyter & Co.
Lobachevsky, Nikolai I., (2010) Pangeometry , Editat și tradus de Athanase Papadopoulos, Heritage of European Mathematics, Vol. 4. Zürich: European Mathematical Society (EMS). xii, 310 ~ p, ISBN 978-3-03719-087-6 / hbk
Milnor, John W. , (1982) Geometrie hiperbolică: primii 150 de ani , Bull. Amer. Matematica. Soc. (NS) Volumul 6, numărul 1, pp. 9–24.
Reynolds, William F., (1993) Hyperbolic Geometry on a Hyperboloid , American Mathematical Monthly 100: 442-455.
Stillwell, John (1996). Surse de geometrie hiperbolică . Istoria matematicii. 10 . Providence, RI: Societatea Americană de Matematică . ISBN 978-0-8218-0529-9. MR 1402697 .
Samuels, David, (martie 2006) Knit Theory Discover Magazine, volumul 27, numărul 3.
James W. Anderson, Geometrie hiperbolică , Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9
James W. Cannon, William J. Floyd, Richard Kenyon și Walter R. Parry (1997) Hyperbolic Geometry , MSRI Publications, volumul 31.

linkuri externe

Freeware Javascript pentru crearea schițelor în modelul de disc Poincaré al Universității de Geometrie Hiperbolică din New Mexico
„Cântecul de geometrie hiperbolică” Un scurt videoclip muzical despre elementele de bază ale geometriei hiperbolice, disponibil pe YouTube.
„Geometrie Lobachevskii” , Enciclopedia Matematicii , EMS Press , 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. „Spațiul Gauss – Bolyai – Lobachevsky” . MathWorld .
Weisstein, Eric W. „Geometrie hiperbolică” . MathWorld .
Mai multe despre geometria hiperbolică, inclusiv filme și ecuații pentru conversia între diferitele modele Universitatea din Illinois la Urbana-Champaign
Diagramele hiperbolice Voronoi au fost ușoare, Frank Nielsen
Stothers, Wilson (2000). „Geometrie hiperbolică” . Universitatea din Glasgow . Cite jurnal necesită |journal=( ajutor ) , site-ul de instruire interactiv.
Teselări planare hiperbolice
Modele ale planului hiperbolic

Languages

In other projects